循環小数

1/13 の循環節は何桁でしょうか？ これは割り算を始める前に答えることができます。

1. そもそも本当に循環するのでしょうか。十三は素数であり十を割り切らないため、底と共有する素因数はありません。約分されて消えるものはないので、循環しない部分は存在せず、最初の桁からすぐに循環が始まります。

   $$13\nmid 10,10=2\times 5$$

2. その長さは、余りが 1 になる最小の十の累乗です。十の累乗をたどり（13 を法とする）、その値に達した瞬間に止めてください。

   $$10^1\equiv 10,10^2\equiv 9,10^3\equiv 12,10^4\equiv 3,10^5\equiv 4,10^6\equiv 1(\mathrm{mod}13)$$

3. 六です。まだ何も割り算をしていないのに、サイクルが六桁だとわかりました。では実際に割り算をして、先ほどと同じ六つの数が余りとして現れるのを見てみましょう。

   $$k=6$$

4. まったく同じ順番で同じ数が現れます。それも当然で、k ステップ目の余りは、10 の k 乗を 13 で割った余りそのものだからです。その上に並んでいる桁の数字が、私たちの求めている答えです。

   $$\frac{1}{13}=0.\overline{076923}$$

5. 昔ながらの確かめ算も有効です。長さ六の純粋な循環部分に分母をかけると、九が六つ並んだ数になります。

   $$076923\times 13=999999$$

6. 13では12個の余りが候補となり、そのうち6個が使われました。ただし、どの6個でもよいわけではありません。qが素数なら、循環節の長さは必ずq − 1の約数になります。したがって13の場合、ありうる長さは1、2、3、4、6、12だけでした。

   $$k\mid q-1:6\mid 12,12=13-1$$

7. 素数がこれらの約数のどれに落ち着くのかについては、このツールでも、そして世界の誰にも予測しきれません。100 未満の対象となる二十三個の素数のうち、最大である q − 1 に 10 進数で達するのは九つです。これは約 39% であり、アルティンが予想した定数 0.3739（1927 年）に近い値です。これは現在でも予想のままです。10 を原始根に持つ素数が無数に存在することすら、まだ誰も証明できていないのです。

   $$\frac{9}{23}\approx 39\%\text{vs}A\approx 0.3739558$$

1/5（12進数）を読み込んで、循環がどれだけ続くかを求めてください。そのうえで、十二で数える世界がふだんの計算で得をするのか損をするのかを判断してください。

1. 十進法では五分の一はいちばん易しい分数です。0.2、一桁で終わります。十二は 2 × 2 × 3 であり、五を含みません。ですから約分されるものはなく、割り算の余りが尽きることもありません。判定のカードは循環小数に切り替わり、循環前の桁数は0と表示されます。先に片づける有限部分がないので、循環は最初の桁から始まります。

   $$5\nmid 12=2^2\times 3⟹\text{repeats};5\mid 10=2\times 5⟹\frac{1}{5}=0.2$$

2. 長さは、5で割った余りが1になる最小の十二のべき乗です。十二は五の倍数より二つ大きいので、代わりに二のべき乗をたどるほうが速く済みます。2、4、3、1。

   $$12\equiv 2(\mathrm{mod}5):2,4,3,1⟹k={\mathrm{ord}}_5(12)=4$$

3. 四歩、そして四は q − 1 です。五分の一の循環はこれ以上長くなりようがありません。割り算に使える非ゼロの余りは四つしかなく、この歩みはそのすべてを訪れているからです。ここで付く記章は、十進法で 1/7 が獲得するものと同じです。

   $$k=4=q-1⟹\text{full reptend};\frac{1}{5}=0.{\overline{2497}}_{12}$$

4. 九の検算は底を変えても生き残ります。純粋な循環節に分母を掛けると、循環節のすべての桁が埋まります。十二進法の 2497 は 4,147、その五倍は 20,735、そして 20,735 は 12⁴ − 1 で、十二進法では bbbb と書かれます。十進法なら九が四つ並ぶところに、十一が四つ並ぶわけです。

   $$2497_{12}=4147,4147\times 5=20,735=12^4-1={\mathrm{bbbb}}_{12}$$

5. 次は損得を、議論ではなく数えて確かめます。分母を2から12まで取り、どれが有限小数になるかを問います。二進法と十六進法は三つ。素因数が2しかないからです。0.1 に正確な二進表現がないのも、お金を浮動小数点で扱わないのも、これが理由です。十進法は五つ。十二進法は七つで、三分の一、六分の一、九分の一、十二分の一を手に入れ、その代金として五分の一と十分の一を手放します。

   $$q\in \{2,\dots ,12\}\text{that terminate}:b=2,16:3;b=10:5;b=12:7$$

6. この規則は、ツールが用意していない底についても答えを出します。六十は小さな素数を三つとも含むので、2から12までのうち七分の一と十一分の一を除くすべてが有限になります。十一のうち九つです。確かめるために何かを走らせる必要はありません。六十の素因数だけで足ります。

   $$b=60=2^2\times 3\times 5:\text{all but }7\text{ and }11⟹9\text{of}11$$