ボード/ナイキスト制御ラボ

スライダーで極を動かし、ロバスト性の余裕が瞬時に変化する様子を確認しよう

初期値 — ボード/ナイキスト制御ラボ

ループゲイン K	1
固有振動数 wn	3
減衰比 zeta	0.7

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レッスン

理論 — ボード/ナイキスト制御ラボ

ナイキストの安定判別法は、解くのではなく数えることでフィードバックループの安定性を決める。開ループ応答 G(jω) を複素平面に描き、曲線が点 −1 + j0 を何回まわるかを数え、ループを閉じる前からあった不安定極の数を足す：Z = N + P。Z がゼロ以外なら、閉ループは発散する。

各記号の意味

P: 開ループ G(s) の極のうち、すでに右半平面にあるものの数。ループを閉じる前に数える。このページの制御対象では常に 0。
N: ナイキスト曲線が点 −1 + j0 を時計回りにまわる回数。反時計回りは負に数えるので、N はゼロより小さくなりうる。
Z: 右半平面にある閉ループ極の数——本当に知りたかった答え。Z = 0 が安定であり、それ以外は安定ではない。
−1 + j0: 臨界点。ナイキスト図に赤で描かれている。ここではループ利得がちょうど 1、位相遅れがちょうど 180°：ループを一周した信号が同じ大きさで符号を反転して戻ってくる。

公式の導き方

問いを正しく立てる。単位負帰還では閉ループ伝達関数は G/(1 + G) だから、その極は 1 + G(s) の零点である。安定性はただ一つの問いに縮む——1 + G(s) は右半平面に零点を持つか。それを求めるには、手元にすらないかもしれない多項式を因数分解することになる。
探さずに数える。偏角の原理によれば、s が閉曲線を時計回りに一周するとき、1 + G(s) の像は原点のまわりを、内部の零点の数から内部の極の数を引いた回数だけまわる。1 + G が原点をまわることは、G が −1 をまわることとまったく同じ運動である——臨界点がそこにあり、他の数ではなく −1 である理由がこれだ。
閉曲線として右半平面全体をとる：虚軸を上り、無限大の半円で戻る。これで「閉曲線の内側」と「不安定」が同じ意味になる。囲まれた零点が Z、囲まれた極が P、まわった回数が N で、偏角の原理は N = Z − P、移項して Z = N + P となる。虚軸上では s = jω であり、G(jω) は周波数応答——このページがすでに描いている曲線そのものだ。
この最後の一文がすべての利点である。数えるのにモデルは要らない。G(jω) は測定できる——実機を正弦波で加振し、返ってくるものを記録すればよい——から、誰も方程式を書いたことのない系についても安定性の判定が得られる。ゲイン余裕と位相余裕は、測定した曲線が −1 をどれだけ外して通るかを問う二つの方法にすぎない：一方は負の実軸に沿って、もう一方は単位円上で。

表示の読み方

三つのパネルはいずれも開ループ——帰還路をまだつないでいない G(jω) 単独——を示しており、その下の二つの余裕はつないだ後に起きることを述べている。したがって ω_n 付近のゲインのピークも、表の ω_r と M_r も、G のものであって、設計しようとしている閉ループのものではない。ナイキスト図の実線は ω をゼロから増やしたもの、破線は負の ω に対するその鏡像である。両方が要る：一周は閉曲線が閉じて初めて存在し、周波数掃引はその半分しか測れないからだ。矢印は進行方向を示し、これが一周を時計回りと数えるかどうかを決める。

前提: 単位負帰還と、既知の P。このページは P を一度も尋ねず、ゼロとみなす。それがここで正しいのは、減衰比スライダーが ζ = 0.05 で止まり、到達できるどの設定でも両極が左半平面に留まるからにすぎない。開ループですでに不安定な対象に同じ判別法を当てれば、一周しない曲線はここでの意味とちょうど逆を意味する。途中で何も相殺されていないことも前提である：零点で相殺された右半平面の極は G(s) から消えても実機には残り、数え上げは発散するループに安定の太鼓判を押してしまう。
成り立たない場合: ナイキストはただ一つの厳密なモデルについて是か非かを答えるが、実機は厳密でも不動でもない。Z = 0 は公称ループが安定だと告げるだけで、ゲインがどれだけ変動すれば、あるいは温度がどれだけ動けば安定でなくなるかについては何も言わない——このページが「安定」の一語ではなく二つの余裕を表示するのはそのためだ。その余裕自体も楽観的である。各々は他方を固定して測るからだ：ゲイン余裕も位相余裕も十分に見えるループが、両方のわずかな同時変化で曲線を −1 の真上に運んでしまうことがある。正直な数値は曲線から臨界点までの、方向を問わない最短距離であり、ここにそれを描くパネルはない。

このループはゲインでは不安定にできない 🖖

二つの極はそれぞれ最大 90° の位相遅れしか与えず、しかも 90° に達するのは周波数が無限大のときだけです。したがって K·ω_n²/(s² + 2ζω_ns + ω_n²) の位相は −180° に近づきますが、決して到達しません。三つのスライダーを限界まで動かしても −179.99° で止まります。だからゲイン余裕は ∞ と表示されます。ナイキスト線図は −1 を包み込むことがなく、K を上げても曲線が伸びるだけです。ここで不安定になるには、位相遅れの第三の源——余分な極、積分器、むだ時間——が必要で、ゲインの増加では足りません。

方程式を解かずに発振を予測する 🖖

微分方程式を解く代わりに、多くの周波数の正弦波で系を揺さぶり、その応答を観察します。ボード線図は、各周波数がどれだけ増幅され、位相がどれだけ遅れるかを示します。ゲインが 0 dB を横切るところで位相が −180° に近づくと危険です。フィードバックが自らを強め、ループが発振します。位相余裕はその境界からの距離を表し、余裕が大きいほど制御は穏やかになります。

位相余裕が隠すむだ時間の限界 🖖

健全な位相余裕は、ループが許容できる純粋なむだ時間も教えてくれます。遅延は周波数とともに増える位相遅れ (−ωτ) を加え、ループが最も活発な高周波で余裕を最も速く食いつぶします。許容できる遅延はおよそ τ = PM / ω_c で、PM はラジアン、ω_c はゲイン交差周波数です。つまり広帯域で高速なループは、同じ余裕でも低速なループが気にしないわずか数ミリ秒のセンサ遅延で不安定になりえます。

よくある誤解

ゲインを上げれば常に制御が良くなるわけではない。応答速度は向上しても、気づかないうちにロバスト性の余裕を損なうことがある。

全プロセスの詳細解説

1.0002の共振ピークと無限大のゲイン余裕 6 ステップ
ζ = 0.7 の2次ループ。パネルは共振ピーク 1.0002 と無限大のゲイン余裕を示している。両者について説明せよ。
1. スライダーで設定する3つのパラメータを持つ標準的な2次系の形式。以下の内容はすべて分母から読み取られる。
  
  $G (s) = \frac{K ω _{n}^{2}}{s ^{2} + 2 ζ ω _{n} s + ω _{n}^{2}} = \frac{9}{s ^{2} + 4.2 s + 9} (K = 1, ω_{n} = 3, ζ = 0.7)$
2. 極とは根のことである。実部は減衰率、虚部は振動周波数であり、どちらもステップ応答で確認できる。
  
  $s = - ζ ω_{n} \pm j ω_{n} 1 - ζ^{2} = - 2.1 \pm j 3 0.51 = - 2.1 \pm j 2.142$
3. 共振周波数は固有振動数とは異なる。その下にある平方根はゼロになり得るが、それこそが次のステップのすべてである。
  
  $ω_{r} = ω_{n} 1 - 2 ζ^{2} = 3 1 - 0.98 = 3 0.02 = 0.424 rad/s$
4. それは ζ = 1/√2 でゼロになる。0.7 では、システムはピークが存在する領域のわずかに内側にあるに過ぎず、ピークは 0.002 dB である。数式上には存在するが、どのプロット上でも見ることはできない。
  
  $1 - 2 ζ^{2} > 0 ⟺ ζ < \frac{1}{2} = 0.7071; M_{r} = \frac{1}{2 ζ 1 - ζ ^{2}} = 1.0002$
5. 次に位相について考える。各極は 90° に近づく位相遅れをもたらすため、2つの極による位相は上から 180° に近づくだけで、決してそれを超えることはない。
  
  $∠ G (j ω) = - arctan \frac{2 ζ ω _{n} ω}{ω _{n}^{2} - ω ^{2}} ⟶ - 18 0^{\circ} only as ω \to \infty$
6. 交差がないということは、語るべきゲイン余裕が存在しない（無限大である）ことを意味し、これがパネルの表示内容である。
  
  $PM = 163.7 5^{\circ}, GM = \infty$
解答

ζ = 0.7 は 1/√2 のわずかに下に位置しており、2つの極が −180° に達することはない。共振周波数の式には √(1 − 2ζ²) が含まれており、これは ζ = 0.7071 でゼロになる。したがって、0.7 はピークが存在する領域のわずか 0.001 内側にあり、生じるピークは 1.0002、すなわち 0.002 dB である。このしきい値がバタワース条件であり、フィルタのあらゆる教科書が減衰比として 0.707 を採用する理由である。すなわち、ピークを生じさせない設定の中で最も応答性が高いためである。無限大のゲイン余裕という結論は、より強い主張であり、同時に危険な主張でもある。極は1つあたり最大 90° の位相遅れをもたらすため、2つの極では 180° に近づくだけで到達することはなく、どれほどゲインを上げてもこのループが発振することはない。実際のループは、3番目の極、むだ時間、モデル化されていない共振などの影響により、最終的には必ず発振する。したがって、無限大のゲイン余裕は、ハードウェアが安全であることを示すのではなく、モデルに何かが欠落していることを示す確かな兆候である。

$ζ = 0.7 sits just under \frac{1}{2}; GM = \infty$

参考文献 (2)

The lesson — the encirclement count Z = N + P, in the paper that introduced it: H. Nyquist, "Regeneration Theory." Bell System Technical Journal 11(1), 126–147, 1932.
Insight block 3 — phase margin as a delay budget: K. Ogata, Modern Control Engineering, 5th edition, ch. 7. Prentice Hall, 2010. ISBN 978-0-13-615673-4.

42Math チーム · 更新 2026-07-29

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例題

安定な基準設定 - K = 1では直流ゲインが1となり、クロスオーバー周波数は0.60 rad/s、位相余裕は163.74°です。安定性に不安はまったくありません。
振動寸前 - このツールで最も不安定に近いプリセットです。位相余裕は16.70°、共振ピークは16.44 dBで、許容できる遅延はわずか52 msです。
低速だがロバスト - K = 0.8、ζ = 0.9なので、ゲインは0 dBに達しません。クロスオーバー周波数は存在せず、位相余裕は無限大です。遅延をどれほど増やしても不安定にはなりません。
高ゲインのリスク - 名前には「リスク」とありますが、安定余裕の小さい二つのプリセットのうち、こちらのほうが安全です。位相余裕は「発振寸前」の16.70°に対して21.66°。Kが2.6ではなく4.2である不利を、ζが0.2ではなく0.35である利点が十分に補っています。