自由落下計算機

重力下での自由落下の落下時間・衝突速度・エネルギー

計算例 — 自由落下計算機

落下時間 (Impact)	4.5152 s
衝突速度	44.29 m/s (159.5 km/h / 99.1 mph)
1kgあたりの運動エネルギー	981 J/kg

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レッスン

理論 — 自由落下計算機

自由落下とは、空気抵抗を考慮せず、重力のみの影響下で起こる運動である。落下全体を通して一定の加速度 g が作用し、パネルに表示されるすべての数値は、この単一の前提から導かれる — 他の力は加えられておらず、除外されてもいない。

各記号の意味

h: 鉛直下向きに測定した落下高さである。問題における唯一の距離であり、物体が横方向にどれだけ移動したか、またどのような形状をしているかは関係しない。
g: メートル毎秒毎秒（m/s²）で表される重力加速度である。月面の値である 1.62 に設定すると、同じ100 mの落下時間は 4.5152 s から 11.1111 s に延び、到達時の速度は 44.2945 m/s ではなく 18 m/s となる。
v: 着地の瞬間の衝突速度であり、平均速度ではない。物体は最後の瞬間を除き、落下全体を通じてこれより遅い速度で移動していた。
t: 落下時間である。高さの平方根に比例して増加する点が直感に反しやすい — 落下高さを10倍にしても、時間は 3.1623 倍にしかならない。

公式の導き方

等加速度運動かつ静止状態からの開始において、距離は h = ½gt² である。物理学としてはこれがすべてであり、残りは代数計算である。
時間について解くと t = √(2h/g) となる。高さを2倍にしても落下時間が2倍にならない理由は、この平方根にある。
時間 t 経過後の速度は v = gt である。ステップ2の時間を代入すると v = g·√(2h/g) = √(2gh) となる — 高さと重力加速度は対称に作用し、どちらの式にも質量は現れない。
1 kg あたりの運動エネルギーは ½v² であり、√(2gh) を2乗すると正確に g·h に戻る。h = 100 かつ g = 9.81 のとき、3つ目の行（「1kgあたりの運動エネルギー」）は 981 J/kg （つまり 9.81 × 100）を示す — 表示される数値は2つの入力値の積にほかならない。

表示の読み方

高さを変更して上の2つの行（「落下時間」と「衝突速度」）が連動しつつも比例せず変化する様子を確認しよう。1000 m では落下時間は 4.5152 s に対し 14.2784 s となり、衝突速度は 44.2945 m/s に対し 140.0714 m/s となる — ともに 3.1623 倍される。これは高さを10倍にすると、すべてが √10 倍になるためである。高さを4分の1にすると速度は正確に半分になり、25 m では 22.1472 m/s となる。

前提: 空気抵抗がなく、初速度ゼロの静止状態から開始し、落下中に重力が変化しないことを前提としている。最後の前提は一見些細だが最も強力である。g は高度とともに減少するため、実際の 1000 m の落下では、この計算のように単一の値で計算し続けることはできない。
成り立たない場合: このモデルが破綻する最大の要因は空気抵抗であり、その影響は軽微ではなく劇的である。実際のスカイダイバーは 55 m/s 付近の終端速度に達すると加速を停止するため、このページでの 1000 m の計算値 140.0714 m/s は、現実の2倍以上の過大評価となる。この公式には上限を設ける項が存在せず — v = √(2gh) は制限なく増大する — したがって表示される数値は、単に少し楽観的な値というわけではなく、まったく別の問いに対する回答となっている。

ガリレオは落下する球の時間を測定できなかったため、重力を遅くした 🖖

数メートルの落下は1秒足らずで終わってしまい、1600年当時に存在した最高の時計は天秤で重さを測る水時計だった。そのためガリレオは重力と正面から戦うのではなく、重力を薄めることにした。緩やかな斜面で球を転がせば、同じ一定の加速度が本来の何分の一かの強さで作用し、運動が引き延ばされて手作業で測定できるようになる。彼が発見したのは、連続する等時間間隔で進む距離が 1, 3, 5, 7 — 累積和が 1, 4, 9, 16 の平方数になる奇数の比に従うことだった。こうしてストップウォッチなしで h ∝ t² が確立された。上の重力ボックスはソフトウェアでこれと同じことを行っている。値を 1.62 に設定しても物理法則そのものは変わらず、物理現象が進行するペースが変わるだけである。

練習

自分で確かめる

まず答えを予想し、それから上のコントロールで確かめてください。予想を決めてから答えを開くこと。それが練習になる条件です。

高さ100mの塔（地球）を押すと 4.5152 s、44.2945 m/s、981 J/kg。次に重力加速度を月の 1.62 にし、高さはそのままにすると、衝突速度は 18 m/s まで落ちます。月面で同じ強さで着地させるには、どれだけの高さから落とせばよいでしょう。そして、そこに達したことをどの行が教えてくれるでしょう。

答えを表示

およそ 605.5 m。重力が6分の1なら、高さは6倍です。見るべきは3行目で、1kgあたりの運動エネルギーは g·h にほかならないため、981 J/kg を合わせることは速度を合わせることと同じです。605.5 と 1.62 では 980.91 J/kg、44.2924 m/s となり、地球の 981 と 44.2945 にほぼ一致します。落下時間は 4.5152 s から 27.341 s へ。同じ速度に達するのに6倍の時間がかかるのは、弱い重力が強い重力の仕事をこなすには距離が要るからです。
実際のスカイダイバーは 55 m/s あたりで加速をやめます。落下高さがどれくらいを超えると、このページは落下する人間が決して到達しない速度を示し始めるでしょう。

答えを表示

154 m と 155 m のあいだです。154 で 54.968 m/s、155 で 55.1462 m/s。この境目は多くの人が思うより低く、それより上はすべて空気ではなく真空についての答えになります。差はその後急速に開き、1000 m ではページは 140.0714 m/s と表示します。空気中を落ちる物体がそもそも超えられない速度の2.5倍です。

全プロセスの詳細解説

g = 9.81 m/s² における100 mからの石の落下 5 ステップ
高さ 100 m から g = 9.81 m/s² で石を落下させる。落下時間、衝突速度、およびキログラムあたりのエネルギーを求めよ。次に、落下におけるそれぞれの中間地点がどこにあるかを求めよ。どちらも経過時間の半分とは一致しないためである。
1. 変位は時間の2次関数であるため、高さをゼロとおいて解くことが最初のステップのすべてである。
  
  $y (t) = h - \frac{1}{2} g t^{2} = 0 ⟹ t = \frac{2 h}{g} = \frac{200}{9.81} = 4.5152 s$
2. 速度はその瞬間で評価した微分係数である。単位を換算してみる価値がある。159 km/h は高速道路の走行速度であり、10階建ての高さからの落下に相当する。
  
  $v = g t = 9.81 \times 4.5152 = 44.29 m/s = 159.5 km/h$
3. 運動エネルギーの式に v² = 2gh を代入すると、質量と速度の双方が消え、落下の高さと重力のみが残る。これは位置エネルギーがそのまま戻ってきたものであり、数値がきりのよい 981 になるのはそのためである。
  
  $v^{2} = 2 g h ⟹ \frac{E _{k}}{m} = \frac{1}{2} v^{2} = g h = 9.81 \times 100 = 981 J/kg$
4. 次に落下の推移について考える。高さを全体に対する割合として表すと、時間依存性は単なる2乗となり、2乗の性質は手厳しい。経過時間の半分で進む距離は四分の一にすぎない。
  
  $\frac{y}{h} = 1 - (\frac{t}{t _{imp}})^{2} : t = \frac{1}{2} t_{imp} \Rightarrow only 25% fallen; y = \frac{1}{2} h \Rightarrow t = 0.707 t_{imp}$
5. 空気抵抗は単なる進行のペースだけでなく、到達時の状態をも変化させる。終端速度を 55 m/s とした場合、閉形式による解は 38.0 m/s を与える。速度では 14% の減少にとどまるが、エネルギーでは 26% の減少となる。エネルギーは2乗に比例するためであり、質量が再び計算に関わってくるのはこのステップのみである。
  
  $v_{t} = 55 m/s : v_{imp} = v_{t} 1 - e^{- 2 g h / v_{t}^{2}} = 55 1 - e^{- 0.6486} = 38.0 m/s, \frac{E _{k}}{m} = 721.8$
解答

4.5152 s、44.29 m/s、そして正確に 981 J/kg。最後の数値は他に何も含まれない gh そのものである。質量は重量において一度、慣性において一度の計二度相殺されるため、小石もピアノもキログラムあたり同じエネルギーで到達する。そして落下の過程は著しく後半に偏っている。経過時間の半分の時点で石は落下距離の四分の一しか進んでおらず、高さの半分に達するのは時間の 71% になってからである。道のりの半分は最後の 29% の時間で生じるのであり、上からは助かりそうに見える落下が実際にはそうでないのはこのためである。

$t = 4.5152 s, v = 44.29 m/s, E_{k} / m = g h = 981 J/kg$

学習の道すじ

力ではなくエネルギーで

この次にジェットコースター高さ h の落下が生む速さ v = √(2gh) と、そこから質量が完全に消えるという事実。次のツールは、まっすぐな落下の底だけでなく、曲がりくねったコースのあらゆる点に同じ主張を当てはめたものです。

参考文献 (3)

Where “distance goes as the square of the time” comes from — the result the whole panel rests on: Galileo Galilei, Two New Sciences, including Centers of Gravity & Force of Percussion, translated by Stillman Drake. University of Wisconsin Press, 1974. ISBN 0-299-06404-2. First published as the Discorsi in 1638.
The 9.80665 m/s² the gravity field is built around, and where that exact figure was fixed: Bureau International des Poids et Mesures, Declaration 2 of the 3rd CGPM (1901): “The value adopted in the International Service of Weights and Measures for the standard acceleration due to gravity is 980.665 cm/s².”
The “no air” assumption tested where there genuinely is none: NASA, “The Apollo 15 Hammer-Feather Drop.” Commander David Scott released a 1.32 kg geological hammer and a 0.03 kg falcon feather from about 1.6 m; both struck the surface together.

42Math チーム · 更新 2026-05-21

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例題

高さ100mの塔（地球） - 9.81 m/s² で 100 m → 4.5152 s、44.2945 m/s。1kgあたりの運動エネルギー 981 J は g·h そのもの
100m落下（月） - 同じ 100 m でも月の 1.62 m/s² なら 11.1111 s かかり、到達速度はちょうど 18 m/s
1000m（地球） - 高さ10倍で 14.2784 s。4.5152 の10倍ではない。落下時間は √h に従うので、高さ10倍の代償は √10 にとどまる