RLC共振アナライザー

R、L、Cの値を設定して、共振周波数、Q値、インピーダンス曲線を確認しよう。

初期値 — RLC共振アナライザー

抵抗 R (Ω)	100
インダクタンス L (H)	0.01
静電容量 C (F)	0.00000253

上のコントロールを変えると、ここから結果が計算し直されます。

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レッスン

理論 — RLC共振アナライザー

直列RLC回路は、インダクタのリアクタンスとキャパシタのリアクタンスの大きさが等しく互いに完全に打ち消し合う単一の周波数で共振します。その周波数において、回路はあたかも抵抗のみが存在するかのように振る舞います。

各記号の意味

R: 抵抗（単位: オーム）。エネルギーを消費する唯一の素子であり、したがってQを制限する唯一の要因です。
L: インダクタンス（単位: ヘンリー）。そのリアクタンス X_L = 2πfL は周波数とともに増加します。
C: キャパシタンス（単位: ファラド）。そのリアクタンス X_C = 1/(2πfC) は周波数とともに減少します—そのため、2つの曲線はちょうど1点で交差します。
Q: クオリティファクタ—共振の鋭さを表します。また、帯域幅 BW = f₀/Q を決定します。

公式の導き方

共振とは定義上、2つのリアクタンスが一致する周波数です: X_L = X_C、すなわち 2πf₀L = 1/(2πf₀C) となります。
両辺に 2πf₀C を掛け、L で割ると、(2πf₀)² = 1/(LC) が残ります。
平方根をとり 2π で割ると、f₀ = 1/(2π√(LC)) となります。ここで何が含まれていないかに着目してください—R は一切現れないため、抵抗はピークの鋭さを変化させますが、ピークの位置を変えることはありません。

表示の読み方

8つの行は、計算結果を鵜呑みにせず確認できるよう、それぞれの算出式と並べて表示されています。上の4つは、前節の導出がたどり着く量です: 共振周波数 f₀、角周波数 ω₀、クオリティファクタ Q = (1/R)√(L/C)、および帯域幅 BW = f₀/Q。デフォルトの素子値—R = 100 Ω、L = 10 mH、C = 2.53 µF—では、それぞれ 1.00 kHz、6287 rad/s、0.6287、1.59 kHz と表示されます。下の4つは同じ回路を別の角度から述べたものです: 2つの 3 dB 周波数 483 Hz と 2.07 kHz、減衰比 ζ = 0.7953、そして直列インピーダンスの最小値 100 Ω—これは R そのものです。共振ではリアクタンスが打ち消し合い、ほかに何も残らないからです。回路図には出力の取り出し場所が明記されています: R の両端です。

前提: 正弦波定常状態における理想的な素子—純粋な抵抗、純粋なインダクタンス、純粋なキャパシタンスであり、過渡状態が十分に減衰するまで駆動されていることを前提としています。電源投入直後の数サイクルにおける回路の挙動については、ここでは説明していません。
成り立たない場合: デフォルト値では共振と呼べるほどの現象はほとんど起きておらず、2つの周波数を合わせて読めば表示値からもそれがわかります: Q = 0.6287 のとき帯域幅は 1.59 kHz となり、これは中心周波数である 1.00 kHz 自体よりも広い値です—これではピークと呼べるような山は存在しません。共振を鋭くするには、R が √(L/C) に比べて十分に小さい必要があります。また、実際のインダクタには巻線抵抗が存在し、これが R に加算されるため、実機で達成できる Q の値には上限が生じます。

Q は、エネルギーが熱になる前に何回往復するかを数えている 🖖

Qは蓄積エネルギーを1サイクルあたりの損失エネルギーで割った一般的な指標です。直列RLC回路では、抵抗が小さいほど、エネルギーが熱に変わるまでにインダクタの磁場とコンデンサの電場の間を何度も行き来できます。同じ考え方は原子時計にも現れます。スペクトル線幅が狭いことは巨大なQを意味し、発振器が極めて小さな周波数誤差を識別できるのです。

共振とは何か 🖖

コイルとコンデンサの組は必ず固有周波数 f₀ = 1/(2π√(LC)) をもち、そこではブランコを漕ぐ子どものようにエネルギーが行き来します。回路を f₀ で駆動すると L と C のリアクタンスが打ち消し合い、残るのは抵抗だけなので、電流は鋭いピークに達します。注目すべきは、f₀ が L と C だけで決まる点です。抵抗のつまみはピークを鋭くしたり広げたりしますが、その位置を動かすことはありません。

電源を超える電圧 🖖

共振時、電源から見えるのは抵抗だけですが、コイルとコンデンサそれぞれの電圧は入力の Q 倍まで跳ね上がり、しかも位相が 180° ずれているため互いに正確に打ち消し合います。Q = 50 の回路を 10 V で駆動すると、コンデンサには 500 V がかかります。この電圧増幅こそ、火花送信機やテスラコイルが巨大な電圧を得る仕組みであり、入力電圧しか想定していないコンデンサを静かに破壊することもあります。

練習

自分で確かめる

まず答えを予想し、それから上のコントロールで確かめてください。予想を決めてから答えを開くこと。それが練習になる条件です。

初期値は L = 10 mH と C = 2.53 µF で、f₀ = 1.00 kHz、Q = 0.6287 になります。インダクタンスを 0.02 へ倍にし、静電容量を 1.265e-6 へ半分にしてください。それぞれ何が起きるか予想しましょう。

答えを表示

f₀ は動きません（1.00 kHz のまま）。一方 Q は 1.257 へ倍になり、帯域幅は 1.59 kHz から 796 Hz へ半減します。f₀ が依存するのは積 LC で、これは変えていません。Q = (1/R)√(L/C) が依存するのは比で、こちらは4倍になりました。素子は1組でも、つまみは独立に2つあるわけです。LとCを交換すればピークを動かさずに鋭くでき、両方を一緒に変えれば形を変えずに動かせます。
素子を元に戻し、抵抗を 100 から 10 に下げてください。8行のうち6行が変わります。変わらない2行はどれでしょう。

答えを表示

f₀ と ω₀ です。f₀ = 1/(2π√(LC)) のどこにも R は現れません。ほかはすべて動きます: Q は 0.6287 から 6.287、帯域幅は 1.59 kHz から 159 Hz、減衰比は 0.7953 から 0.07953、そして2つの 3 dB 周波数は動かないピークの周りに寄ってきて、483 Hz と 2.07 kHz の代わりに 924 Hz と 1.08 kHz になります。直列インピーダンスの最小値は R にぴったり従い、100 から 10.0 へ。共振ではリアクタンスが打ち消し合い、抵抗だけが残るからです。

全プロセスの詳細解説

直列の100 Ω、10 mH、2.53 µFの共振周波数 6 ステップ
R = 100 Ω、L = 10 mH、C = 2.53 µF の直列回路。共振周波数と Q を求めよ。さらに、1 未満の Q がこの回路にとって実際に何を意味するのかを説明せよ。
1. インダクタとコンデンサのリアクタンスは符号が反対であるため、ある特定の周波数で正確に打ち消し合い、インピーダンスは純抵抗性となる。この周波数が共振の定義である。
  
  $Z (ω) = R + j (ω L - \frac{1}{ω C}); ℑ Z = 0 ⟹ ω_{0} = \frac{1}{L C}$
2. 値を代入する。積 LC は 2.53 × 10⁻⁸ であり、その平方根がすべての計算の基礎となる。
  
  $ω_{0} = \frac{1}{0.01 \times 2.53 \times 1 0 ^{- 6}} = \frac{1}{1.5906 \times 1 0 ^{- 4}} = 6287 rad/s, f_{0} = \frac{ω _{0}}{2 π} = 1001 Hz$
3. Q は共振時におけるリアクタンスと抵抗を比較するものである。便利な形式である √(L/C)/R は周波数をまったく必要とせず、ζ は単にその逆数を半分にしたものである。
  
  $Q = \frac{ω _{0} L}{R} = \frac{1}{R} \frac{L}{C} = \frac{1}{100} 3953 = 0.6287, ζ = \frac{1}{2 Q} = 0.7953$
4. 帯域幅は中心周波数を Q で割ったものであり、2つの −3 dB 遮断周波数は中心周波数に対して対称ではない。対数上で対称であるため、それらの相乗平均が f₀ となる。
  
  $BW = \frac{f _{0}}{Q} = 1592 Hz; f_{1, 2} = f_{0} (1 + \frac{1}{4 Q ^{2}} \mp \frac{1}{2 Q}) = 483 and 2074 Hz$
5. 次に、帯域幅ではなくエネルギーの観点から Q を解釈する。2つの定義は一致しており、回路が自由振動するかどうかを伝えるのはエネルギーによる定義である。
  
  $Q = 2 π \frac{energy stored}{energy lost per cycle} < 1 ⟹ it loses more each cycle than it holds$
6. 最後に、実際の要求仕様から逆算して、そこに要求される抵抗値を求める。
  
  $AM at 1 MHz, 9 kHz spacing : Q = \frac{f _{0}}{BW} = 111 ⟹ R = \frac{1}{Q} \frac{L}{C} = 0.57 Ω$
解答

Q = 0.63 であり、これは回路が1周期あたりに蓄えるエネルギーよりも多くのエネルギーを失うことを意味する。これが Q の物理的な解釈である。すなわち、蓄積エネルギーを1周期あたりの損失エネルギーで割った値の 2π 倍である。1 未満では自由振動を起こす余地は残されておらず、中心周波数 1.00 kHz の周囲に 1.59 kHz の帯域幅を持つという周波数ドメインでの事実も同じことを示している。つまり、通過帯域が中心周波数よりも広いのである。これは共振器ではなくフィルタであり、抵抗こそがその理由である。同じ L と C、および同じ 1 kHz の中心周波数を維持しつつ、9 kHz 間隔の AM 放送局を分離するのに要求される Q ≈ 111 を得ようとすると、全直列抵抗を 0.57 Ω まで下げる必要があるが、これはコイル自身の導線抵抗よりも小さい。ラジオのフロントエンドが、抵抗、インダクタ、コンデンサを一列に並べるのではなく同調トランスを使用するのは、これこそが真の理由である。

$f_{0} = 1.00 kHz, Q = 0.6287, BW = 1.59 kHz ⟹ a filter, not a resonator$

学習の道すじ

抵抗、そしてリアクタンス

参考文献 (1)

Series resonance, the quality factor and bandwidth as set out in a standard circuits text: J. W. Nilsson & S. A. Riedel, Electric Circuits, 10th ed. Pearson/Prentice Hall, 2015. ISBN 978-0-13-376003-3.

42Math チーム · 更新 2026-07-13

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

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例題

AMラジオ - Q = 31.62という値は鋭く思えるかもしれませんが、隣にある帯域幅に目を向けてみてください。1.01 MHzの搬送波に対して31.8 kHzもあります。アメリカのAM放送局は10 kHz、ヨーロッパでは9 kHzの間隔で配置されているため、この回路は隣接する三局を同時に通してしまうのです。一つのLC同調回路だけではラジオにはなりません。だからこそ受信機は固定の中間周波数へと変換し、そこで本格的なフィルタリングを行う仕組みになっています。
音声フィルタ - オーディオフィルタ
高Q（鋭い） - 高Q回路:~5 kHzに鋭い共振ピーク
過減衰 - Q = 0.01000であり、減衰比は50.00を示しています。臨界減衰の五十倍に相当する数値です。中心周波数1.59 kHzに対して帯域幅は159 kHzにもなり、通過帯域は名目上の中心周波数の百倍もの広さを持つため、低域側の半値電力点は15.9 Hzまで下がります。ここでは何も共振していません。抵抗Rが回路を完全に支配しているのです。