01
まれな病気に優秀な検査 — それでも陽性の大半は誤り
わかっていること: 有病率 0.1 %、感度 99 %、特異度 99 %。検査としてはこれ以上ないほど良く、病気は本当にまれ。
結果: PPV ≈ 9%
計算例: 10 000 人のうち：10 人が病気で約 10 人が陽性、9990 人は病気でないのに 100 人が陽性 → 陽性的中率 = 10/110 ≈ 9 %
この型を開く: まれな病気、高精度の検査
ベイズ — 陽性という結果と、病気であることは同じではない
あなたが読んでいるのはどの検診の型か
陽性の意味を決めるのは三つの数です。その病気がどれだけ多いか、検査がどれだけ拾えるか、そしてどれだけ空振りの警報を出すか。感度と特異度は検査を表し、有病率は集団を表します。そして害をなすのはたいてい有病率のほうです。百分率ではなく自然頻度で考えると、答えは直感に反しなくなります。1000 人を思い浮かべ、真の陽性を数え、偽の陽性を数えて、比べるだけです。
まれな病気に優秀な検査 — それでも陽性の大半は誤り
PPV ≈ 9%
ありふれた病気 — 有病率が弱い検査を救う
PPV ≈ 51%
中くらいの有病率 — そして陰性の値打ち
PPV ≈ 60%, NPV ≈ 99%
感度は高く特異度は並 — いじるつまみが違う
PPV ≈ 29%
02
ありふれた病気 — 有病率が弱い検査を救う
わかっていること: 有病率 10 %、感度 95 %、特異度 90 %。明らかに劣る検査を、その病気が実際に多い場所で使う。
結果: PPV ≈ 51%
計算例: 1000 人のうち：100 人が病気で 95 人が陽性、900 人は違うのに 90 人が陽性 → 陽性的中率 = 95/185 ≈ 51 %
この型を開く: より一般的な病気
03
中くらいの有病率 — そして陰性の値打ち
わかっていること: 有病率 5 %、感度 85 %、特異度 97 %。流行期の抗原迅速検査の姿。
結果: PPV ≈ 60%, NPV ≈ 99%
計算例: 1000 人のうち：感染者 50 人、43 人を捕まえ 7 人を逃す。非感染 950 人のうち 29 人を誤って陽性に → 陽性的中率 = 43/72 ≈ 60 %、陰性的中率 = 922/929 ≈ 99 %
この型を開く: covid様の疾患
04
感度は高く特異度は並 — いじるつまみが違う
わかっていること: 有病率 2 %、感度 99 %、特異度 95 %。使用者はほぼ取り逃さないが、健康な人の 20 人に 1 人が疑われる。
結果: PPV ≈ 29%
計算例: 1000 人のうち：使用者 20 人を 20 人とも検出。非使用者 980 人のうち 49 人が陽性に → 陽性的中率 = 20/69 ≈ 29 %、つまり陽性の 10 人に 7 人は無実
この型を開く: 薬物スクリーニング
参考文献 (1)
- Insight block 3 — the fallacy, and the name it goes by in court: W. C. Thompson and E. L. Schumann, "Interpretation of statistical evidence in criminal trials: The prosecutor's fallacy and the defense attorney's fallacy." Law and Human Behavior 11(3), 167–187, 1987.
全プロセスの詳細解説
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有病率0.1%における2回目の陽性結果 5 ステップ
2 回目の陽性結果。 これは有病率 0.1%、感度 99%、特異度 99% の設定です。稀な疾患と非常に優れた検査の組み合わせであり、1 回の陽性は証拠として非常に弱いことで知られています。2 回目の独立した陽性がどれほどの価値を持つかを計算してみましょう。
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証拠が掛け合わされる形式は、確率ではなくオッズです。1,000 人に 1 人がその疾患を持っているため、初期位置は 1 対 999 であり、打撃を与えるのはどちらのダイヤルでもなく、この 999 です。
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尤度比は、各グループで陽性がどれくらいの頻度で現れるかを比較します。どちらの数値もダイヤルから読み取れます。疾患を持つ人の 99% が陽性と判定され、99% の特異度により、それ以外の全員の 1% も同様に陽性と判定されます。
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事前オッズに尤度比を掛けることが、この形式におけるベイズの法則のすべてであり、b に対する a のオッズは a/(a+b) として確率に戻されます。99 倍という係数は非常に大きな証拠ですが、最初から 999 の遅れをとっていたため、それでも負けてしまいます。
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2 回目の検査は 1 回目が終わった時点から始まります。1 回目の結果の事後オッズが次の事前オッズとなります。検査自体については何も変わっていないため、今回はもはや絶望的ではないオッズに対して、同じ 99 倍の係数が適用されます。
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そのステップでは 2 回の陽性が独立していると仮定していましたが、同じ検査を繰り返すことではまさにそれが得られません。1 回目に健康な人を陽性と判定させた要因（交差反応するタンパク質やラベルの誤った検体など）が、2 回目にも半分の確率で再び陽性と判定させるなら、偽陽性はほとんど減りません。
解答
ツールは 1 回の陽性に対して 9.0% を出力します。これは 0.090164（99/1098 と同じ）となる代入式から得られます。独立した 2 回の陽性では 90.75% となり、3 回では 99.90% となります。なぜなら、999 対 1 の事前オッズの支払いは 1 回限りであるのに対し、99 倍の係数は毎回課されるからです。これが確定診断の背後にある算術であり、ステップ 5 はそのただし書きにあたります。相関のある反復検査では 16.4% にとどまり、確認しようとしていた単一の結果よりもわずかに説得力が増す程度です。したがって、2 回目の検査は 1 回目とは異なる失敗の仕方をしなければなりません（標的分子の違い、検査機関の違い、メカニズムの違いなど）。そうでなければ、乗算は架空のものとなってしまいます。覚えておくべき数値は 99 です。感度を偽陽性率で割ったものが検査の証拠力全体であり、それは答えそのものではなくオッズの倍率なのです。
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学習の道すじ
