01
完全な独立 — 統計量はちょうど 0
わかっていること: どのセルも期待度数と一致するので、残差はすべて 0 で、カイ二乗も 0 です。行は列について何も語りません。
統計量: E = RiCj/n
計算例: すべてのセルが 8 の 3×3 表：期待度数もすべて 8、自由度 4 でカイ二乗 = 0、p = 1.000
このケースを開く: バランスの取れた基準例
カイ二乗 — 関連はあるのか、そもそも検定は成り立つのか
あなたはどのカイ二乗のケースにいますか？
検定は、観測された表を、独立なら生じたはずの表と比べます。期待度数 = 行合計 × 列合計 ÷ 総計。統計量はそのずれの二乗を足し合わせ、標準化残差がどのセルがそれを押し上げたかを告げます。答えるべき問いは順番に二つあります。まず期待度数が検定に意味をもたせるほど大きいか、そのうえで初めて、関連が本物かどうかです。
完全な独立 — 統計量はちょうど 0
E = RiCj/n
小さなカイ二乗 — 偶然が生む範囲に収まる模様
χ² < χ²α
大きなカイ二乗 — そして残差が責任のあるセルを名指しする
r = (O − E)/√E
期待度数が小さすぎる — この検定は適用できない
E ≥ 5
02
小さなカイ二乗 — 偶然が生む範囲に収まる模様
わかっていること: 度数は期待値からずれていますが、標本の揺らぎが与える以上ではありません。カイ二乗は臨界値より下にとどまり、残差はどれも小さいままです。
統計量: χ² < χ²α
計算例: 60 観測の 2×3 表 → 自由度 2 でカイ二乗 = 2.594、p = 0.273。標準化残差の最大は −0.90。
このケースを開く: 弱い依存関係
03
大きなカイ二乗 — そして残差が責任のあるセルを名指しする
わかっていること: 統計量は臨界値を余裕をもって超えます。次に大事なのは p 値ではなく、どのセルがそれを生んだかで、残差の表がそれに直接答えます。
統計量: r = (O − E)/√E
計算例: 同じ 2×3 の形で 60 観測 → 自由度 2 でカイ二乗 = 24.342、p = 0.000005、最大のセルの標準化残差は +2.63
このケースを開く: 強い関連
04
期待度数が小さすぎる — この検定は適用できない
わかっていること: カイ二乗はそれなりに大きな期待度数を必要とする近似です。期待度数が微小なとき、報告される p 値は、そこに何と出ていても信用できません。
統計量: E ≥ 5
計算例: たった 8 観測の 3×3 表 → 9 個の期待度数がすべて 5 未満で、最小は 0.13。カイ二乗 = 9.389 は p = 0.052 を与えますが、この数字は使うべきではありません。
このケースを開く: 疎な警告ケース
参考文献 (2)
- Insight block 3 — where the test came from: K. Pearson, "On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling." Philosophical Magazine 50(302), 157–175, 1900.
- And the correction Pearson never accepted, which is the (r−1)(c−1) used here: R. A. Fisher, "On the Interpretation of χ² from Contingency Tables, and the Calculation of P." Journal of the Royal Statistical Society 85(1), 87–94, 1922. The DOI resolves to the publisher's 2018 digitisation of that volume.
全プロセスの詳細解説
-
手計算による2×3分割表の検定全体とp値 5 ステップ
2×3 の分割表により、自由度 2 で χ² = 2.5943、p値は 0.2733 となる。この自由度であれば数表を一切必要としない p値も含め、検定全体を手計算で求めよ。
-
期待度数は2つの変数が独立であると仮定して算出するため、各セルは「行合計 × 列合計 ÷ 総計」となる。最小の期待度数は 8.5 であり、近似の信頼性が損なわれる目安の値である 5 を十分に上回っている。
-
各セルは、偏差の二乗を期待度数で割った分だけ統計量に寄与する。E で割ることで絶対的な乖離が比較可能な相対値へと変換される。11件中3件のズレは、1100件中3件のズレよりも大きな意味を持つためである。
-
自由度は、周辺合計（行合計・列合計）が固定された際に自由に値を埋められるセルの数を表す。行と列の合計があらかじめ与えられていれば、2つのセルを決めれば残りのセルはすべて自動的に定まる。
-
自由度 2 は特別なケースである。このときカイ二乗分布は単なる指数分布となり、p値は e を統計量のマイナス半分で累乗した値となる。数表もソフトウェアも一切不要である。
-
統計量の合計を見るよりも、その内訳を確認する方がはるかに有用である。中央の列が全体の 63.1% を占めており（8対11のセルおよび14対11のセル）、仮に何らかの差が生じているとすれば、まさにこの場所である。
解答
ツールには、χ² = 2.5943、自由度 = 2、p = 0.2733、最小期待度数 8.5 と表示されます。p値が0.27なら、関連があるとはいえません。ただし、独立である証拠にもなりません。観測数60の分割表では、さほど大きくない効果なら容易に見えなくなるからです。ここで身につけたいのは、最後の見方です。カイ二乗値の合計だけではほとんど何もわかりませんが、セルごとの寄与を見れば、どこに注目すべきかがわかります。「強い関連」のプリセットをクリックしてみましょう。中央の列の寄与が消え、四隅のセルだけで総和の99.5%を占める様子を確認できます。
-
学習の道すじ
