サンプルサイズと誤差範囲プランナー

調査のサンプルサイズと精度を計画する

計算例 — サンプルサイズと誤差範囲プランナー

信頼度	95% (z* = 1.96)
誤差範囲	5.0%

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

全国調査に必要な人数は、町の調査と変わらない 🖖

必要な人数は、母集団に何人いるかにほとんど左右されません。信頼度 95 %、誤差 ±5 % なら、このツールは母集団が 100 万人でも完全に無限でも 385 人を求めます。二つはまったく同じ答えです。有限母集団修正が効きはじめるのは母集団が 5,000 人ほどまで小さくなったときで、それでも 385 が 357 に減るだけです。ここで覆るのは、標本は全体の割合であるべきという直感です。それが正しければ一国を調べることは絶望的になります。式が実際に気にしているのは、どれだけの偶然のばらつきを許すかであり、何百万人という母集団はそこに何も上乗せしません。

精度が二乗で高くつく理由 🖖

このプランナーは一つの問いに答えます。ある割合を選んだ誤差の範囲まで絞り込むには、何人に尋ねればよいか。誤差はサンプルサイズの平方根に反比例して縮むため、精度を2倍にするには回答者が4倍必要になります。±3%から±1.5%へ狭めると n はおよそ4倍です。予想される母比率が不明なら p = 0.5 とします。これは p(1−p) を最大にし、最も大きく安全なサンプルサイズを与えます。

240万件の回答が外れたとき 🖖

誤差の範囲の公式は無作為抽出による誤差だけを測り、回答者が無作為に選ばれたことを前提とします。1936年、リテラリー・ダイジェスト誌は約240万人を調査し、ランドンがルーズベルトに勝つと自信をもって予測しましたが、ジョージ・ギャラップはわずか50,000人で的中させました。同誌の名簿は大恐慌下で自動車や電話の所有者を過大に含み、巨大だが偏った標本が小さく代表的な標本に敗れたのです。どんなサンプルサイズも偏った抽出枠は直せません。

全プロセスの詳細解説

信頼水準95%で誤差±5%の世論調査のためのサンプルサイズ 5 ステップ
95% の信頼水準で精度 ±5% の世論調査を行いたい。サンプルサイズを導出せよ — 次に、誤差を半分にするのにどれだけのコストがかかるか、そしてなぜ母集団の大きさが一切登場しないのかを説明せよ。
1. 許容誤差は比率に対する信頼区間の半分の幅である。これはサンプルサイズの平方根に反比例して縮小し、あらゆる驚くべき結果の根源となっている。
  
  $ME = z^{*} \frac{p ( 1 - p )}{n}$
2. n について整理する。1.96 は両側の裾でそれぞれ 2.5% を切り落とす標準正規分布の数値であり、データではなく信頼水準の特性である。
  
  $n = \frac{( z ^{*} ) ^{2} p ( 1 - p )}{ME ^{2}}, z^{*} = 1.96 at 95%$
3. 値を代入する。上の計画ツールはこの n を表示し、385 という解は多くの世論調査が千人程度の回答者数を挙げる理由となっている。
  
  $n = \frac{1.9 6 ^{2} \times 0.25}{0.0 5 ^{2}} = \frac{0.9604}{0.0025} = 384.2 \to 385$
4. 真の比率を知らないまま p = 0.5 が使用されたことに着目されたい。これは意図的なものであり、p(1−p) はここで最大値をとるため最悪のシナリオとなり、結果がどうあれサンプルサイズは安全側に確保される。
  
  $p (1 - p) \leq 0.25 always, maximised at p = 0.5$
5. 次に、目標とする誤差を半分にする。分母にある2乗が大きな影響を及ぼす。
  
  $ME = 2.5% : n = \frac{0.9604}{0.000625} = 1537$
解答

±5% に対し 385 people、±2.5% に対し 1537。 精度を2倍にするには4倍のコストがかかる — これは平方根法則の逆作用であり、世論調査が 9604 人を必要とする ±1% まで突き詰めず、数千人程度で留まる理由でもある。もう一つの驚きは不在の要素にある。母集団の大きさは決して影響しない。385 のサンプルは、人口 100 000 の都市においても人口 100 million の国家においても同等に正確である。なぜなら、推定の精度は「尋ねなかった人数」ではなく「尋ねた人数」に依存するからだ。

$n = \frac{( z ^{*} ) ^{2} p ( 1 - p )}{ME ^{2}} = 385 ME halved \Rightarrow n quadrupled$

学習の道すじ

データの「差」はいつ本物になるのか

参考文献 (1)

The 1936 Literary Digest poll, and why 2.4 million responses lost to 50,000: P. Squire, "Why the 1936 Literary Digest Poll Failed." Public Opinion Quarterly 52(1), 125–133, 1988.

42Math チーム · 更新 2026-07-29

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

統計・ファイナンスのレッスン一覧 →

例題

簡易調査 95/5 - 信頼度95%、誤差±5% -> 簡易世論調査の計画における定番設定
厳密 95/3 - 誤差を±3%まで厳しくすると、必要な標本サイズは大幅に増加する
有限母集団 - 有限母集団修正により、母集団が小さい場合に必要なnは小さくなる
n=1000の場合 - n=1000が与えられたとき、信頼度95%における誤差範囲を計算する