スチューデントのt検定

主張されている母平均が 72 であるのに対し、サイズ 30 のサンプルで平均 78、s = 8 が得られた。仮説検定を実行し、さらに p-value では答えられない問いに答えよ。

1. 単一の平均値はノイズを含む推定値であり、そのノイズは標準誤差（サンプルの散らばりをサンプルサイズの平方根で割ったもの）である。サンプルサイズを大きくしても個々のデータのばらつきは減らない。平均値 のばらつきが減るのである。

   $$\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{30}}=1.4606$$

2. t統計量は、観測値と主張値が標準誤差何個分離れているかを問うものである。これはそれ自体の不確実性を単位として測定された距離である。

   $$t=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\text{SE}}=\frac{78-72}{1.4606}=4.1079$$

3. 自由度はサンプルサイズより 1 小さい。なぜなら、標本平均の計算で中心の推定にすでに 1 つ消費されているからである。上の計算ツールはこれと統計量の両方を表示する。

   $$\text{df}=n-1=29$$

4. p値とは、主張が真である場合にこれほど大きな |t| が生じる確率である。ツールは 0.0002982、すなわち約 3 in 10 000 と表示する。

   $$p=P(|T_{29}|>4.1079)=0.0002982$$

5. 次に、p値が何も語らない部分、すなわち差がどれほど 大きい かについて説明する。コーエンの d は平均値の散らばりではなくデータの散らばりで割るため、サンプルが増えても縮小しない。

   $$d=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s}=\frac{6}{8}=0.75$$