効率的フロンティア、サンプルの外で

フロンティアはある期間のリターンから描かれ、その最良点に載るポートフォリオは、その標本の中で最も良く見えたという理由で選ばれています。それをその後の年に持ち続けて、何が残るかを見てください。

計算例 — 効率的フロンティア、サンプルの外で

最適化の予想	0.829
最適化の実績	0.494
均等配分の実績	0.757
均等配分が上回った回数	63回中48回

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

最適化はリスクプレミアムと運のよい標本を区別できません 🖖

この5つの資産クラスを1928–1957年で推定すると、シャープレシオ最大のポートフォリオは93.4%を10年国債に置きます。これは債券についての判断ではなく、計算の結果です。この期間、3か月国債は年1.19%しか払わず、10年国債は株式の9分の1のボラティリティでそれを上回りました。つまり標本の中でリスク1単位あたりの見返りが最も高かったのは債券であり、それをそのまま見つけ出すことが最適化の仕事のすべてです。ところが1958–1987年——インフレと金利が上がり続けた30年——を持ち続けると、約束した0.700に対して0.029でした。均等配分は0.484です。国債を引く前のリターンはむしろ上がっていて、3.50%から6.36%になっています。だからこそ、そこを見てはいけないのです。3か月国債はそれより速く6.10%まで上がり、年2.31%の超過リターンを約束していたポートフォリオが届けたのは0.25%、しかもボラティリティは3倍近くになりました。最適化は過去について間違えたわけではありません。未来についての問いを与えられ、標本についての問いに答えただけで、この方法には両者を見分ける仕組みが何もないのです。

3つのポートフォリオはまさに逆の順序で着地する 🖖

ページが開く初期設定の期間において、表は最適化された接点ポートフォリオに0.829、最小分散に0.777、均等配分に0.565のシャープレシオを約束します。続く16年間保有すると、それぞれが届けたのは0.494、0.524、0.757でした。同じ3つのポートフォリオが、逆順になったのです。この順序は運ではなく、各ポートフォリオがどれだけ標本に適合させられたかによります — 接点は推定された平均と共分散の両方を使用し、最小分散は共分散のみを使用し、均等配分はどちらも使用しません。20年間の適合・保有ウィンドウ全59回の平均をとっても、順位は同じく0.297、0.460、0.558となります。

穏やかになるよう構築されたポートフォリオこそが荒々しかった 🖖

最小分散はこの期間において5.32%のボラティリティを約束し — 接点ポートフォリオの5.67%より低い数値でした — 実際には8.60%を届け、接点の7.93%を上回りました。最も低い約束が、最も高い結果となったのです。これは単一の期間に限った話ではありません。10年から30年までの推定期間と5年から30年までの保有期間のあらゆる組み合わせを走査すると、接点ポートフォリオの実効ボラティリティは、33,579回中22,203回において適合時のボラティリティを上回ります。最適化ツールは推定共分散行列の中でリスクが最も小さく見える隅を探しますが、推定値が最も小さくなる隅こそ、その推定値が過小評価されている可能性が最も高い場所なのです。

全プロセスの詳細解説

米国株と10年国債のシャープレシオ最大の組み合わせ 7 ステップ
2つの資産、1つの期間：1928–1976年に適合させた米国株と10年財務省証券。シャープレシオが最大となる配分を手計算で導出し、パネルと照合したうえで、表示された桁数のうちデータが実際に担保できるのは何桁かを求める。
1. 株式と債券のみをクリックして、この期間におけるフロンティアを適合させる。入力される数値は次の6つのみである。各スリーブの年平均リターン、各スリーブのボラティリティ、両者の相関係数、そしてリスクフリーを定義する短期国債金利である。
  
  $μ_{s} = 10.76%, μ_{b} = 3.23%, r_{f} = 2.47%, σ_{s} = 22.351%, σ_{b} = 4.2537%, ρ = - 0.0379$
2. シャープレシオはキャッシュ超過分で測定されるため、両方の平均から短期国債金利を差し引く。株式の超過リターンは債券スリーブの約11倍であった。共分散はわずかに負であり、これは2ステップ下で重要な役割を果たす小さな数値である。
  
  $e_{s} = μ_{s} - r_{f} = 8.285%, e_{b} = μ_{b} - r_{f} = 0.758%, σ_{s b} = ρ σ_{s} σ_{b} = - 0.00036058$
3. 株式をwの割合で保有する配分は、2つの超過リターンの加重平均を得る。そのボラティリティは加重平均にはならない。交差項こそが分散投資効果のすべてであり、負の共分散によりボラティリティを減少させる。
  
  $e (w) = w e_{s} + (1 - w) e_{b}, σ (w) = w^{2} σ_{s}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{b}^{2} + 2 w (1 - w) σ_{s b}$
4. 公式を信頼する前に、すでにページ上に答えが出ているケースで検証する。w = ½ と置くと、ツール自体の均等ウェイト (1/N)の行は、ボラティリティ11.30%においてキャッシュ超過4.52%と読み取れる。両者が一致するため、6つの入力値は正しい6つである。
  
  $w = \frac{1}{2} : e = 4.52%, σ = 0.0127613 = 11.30%$
5. 次に最大化を行う。シャープレシオは比率であるため、その最大値が必ずしも端に位置するとは限らず、共分散が負である本ケースでは端には位置しない。導関数をゼロと置くことで平方根が消去され、同じ6つの入力値による公式が導かれる。
  
  $S (w) = \frac{e ( w )}{σ ( w )}, S^{'} (w) = 0 ⟺ w^{*} = \frac{e _{s} σ _{b}^{2} - e _{b} σ _{s b}}{e _{s} σ _{b}^{2} + e _{b} σ _{s}^{2} - ( e _{s} + e _{b} ) σ _{s b}}$
6. 数値に代入する。各手法が選択したウェイトを開くと、接点行には株式27.2%、債券72.8%と表示されている。その上の表には、予測ボラティリティ6.72%、予測シャープレシオ0.418とある。株式が4分の1を占めるポートフォリオは、50/50の配分よりも4.6ポイントボラティリティが低い。
  
  $w^{*} = \frac{0.00015264}{0.00056096} = 0.2721 \Rightarrow 27.2% / 72.8%, σ (w^{*}) = 6.72%, S = \frac{2.81%}{6.72%} = 0.418$
7. 次に、ツールは決して行わない入力値の不確実性の評価を行う。μ_sは客観的確定事実ではなく、ばらつきが22.351%である49個の年次リターンの平均値であるため、それ自体が標準誤差を伴う。μ_sを標準誤差1つ分だけ両側にずらして、同じ公式を解き直す。
  
  $SE (μ_{s}) = \frac{σ _{s}}{n} = \frac{22.351%}{49} = 3.19% \Rightarrow w^{*} \in [19.3%, 33.4%]$
解答

株式27.2%、債券72.8% — データが約±7ポイント程度にしか特定できない量に対して、小数第1位まで表示されている。株式平均リターンの標準誤差1つ分だけで、最適ウェイトは19.3%から33.4%まで変動する。しかもこれは、2つのボラティリティ、相関係数、短期国債金利がすべて正確に判明しているとみなした場合の話である。目的関数は幅を狭めるのに役立たない。24.1%と30.9%でS(w)を評価すると、いずれも四捨五入して0.417となり、パネル自体の小数第3位までの表示では7ポイント離れたウェイトを区別できない。それこそがフロンティアの密かな皮肉である。最も確信に満ちて見える出力が、最も確定度の低いものなのだ。だからこそ、何も推定しない均等ウェイトが、最適化ツールの0.440に対してここでは0.551を達成したのである。

$w^{*} = 27.2% μ_{s} \pm SE (μ_{s}) \Rightarrow w^{*} \in [19.3%, 33.4%]$

学習の道すじ

リスクを測る

参考文献 (6)

The frontier itself, in the paper that defined it: H. Markowitz, "Portfolio Selection." The Journal of Finance 7(1), 77–91, 1952.
The result this page reproduces — across fourteen datasets, no optimised rule reliably beat equal weights out of sample: V. DeMiguel, L. Garlappi and R. Uppal, "Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient is the 1/N Portfolio Strategy?" Review of Financial Studies 22(5), 1915–1953, 2009.
Why the optimiser behaves this way — it maximises over estimation error as readily as over return: R. O. Michaud, "The Markowitz Optimization Enigma: Is 'Optimized' Optimal?" Financial Analysts Journal 45(1), 31–42, 1989.
And how far the weights move for a small change in the estimated means, which is the mechanism behind everything above: M. J. Best and R. R. Grauer, "On the Sensitivity of Mean-Variance-Efficient Portfolios to Changes in Asset Means: Some Analytical and Computational Results." Review of Financial Studies 4(2), 315–342, 1991.
One of the standard repairs — shrink the covariance estimate rather than trust the sample one. This tool does not apply it, so the frontier shown is the raw sample frontier: O. Ledoit and M. Wolf, "Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix." The Journal of Portfolio Management 30(4), 110–119, 2004.
The older warning that a mean-variance optimum is only as meaningful as the set of assets you fed it: R. Roll, "A critique of the asset pricing theory's tests Part I: On past and potential testability of the theory." Journal of Financial Economics 4(2), 129–176, 1977.

42Math チーム · 更新 2026-08-19

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

統計・ファイナンスのレッスン一覧 →

例題

約束と実績 - 1990-2009年で推定し、2010-2025年を保有した場合。シャープレシオ最大のポートフォリオは0.829から0.494へ下がり、均等配分は0.565から0.757へ上がります。
債券に全振り - 1928-1957年で推定すると、最適化は93.4%を国債に置き、そのあとに続く金利上昇の30年で0.029という結果になります。
うまくいった例 - 1970-1994年で推定し、1995-2009年を保有すると、最適化したポートフォリオが均等配分に勝ちます。0.772対0.658です。
株式と債券だけ - 2資産と49年の推定期間。フロンティアは単純な曲線になり、接点ポートフォリオは株式を27.2%持ちます。