リスクプレミアムと、その確からしさ

どれも平均はプラスです。しかしそれは当てにできることと同じではなく、その違いは測れます。

計算例 — リスクプレミアムと、その確からしさ

年平均	8.44%
標準偏差	19.70%
t統計量	4.24
プラスだった年数	66/98

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

100年分のデータでも小さな標本です 🖖

規模プレミアムは98年間で年平均5.92%、そのうちプラスだったのは49年です。平均5.92%を払うコイン投げも、やはりコイン投げでしかありません。標準偏差27.48%がその理由です。この平均を標準誤差2つ分でゼロと区別するには、およそ87年が必要で、期間プレミアムなら約118年が要ります。データに含まれる歴史より長いのです。これはプレミアムが偽物だという主張ではありません。ふつうプレミアムに寄せられる確信が、標本の大きさから勝ち取られたものではなく、平均の大きさから借りてきたものだ、という主張です。

より大きなプレミアムの方が確からしさに欠けることがある 🖖

プレミアムにどれだけの歴史が必要かは、そのノイズの大きさに対する比率のみに依存します。平均をゼロから標準誤差2つ分の位置に置くと、必要条件は n ≥ (2σ/μ)² となります。したがって大きさと確からしさは別々の問いであり、この記録上では両者は一致していません。信用プレミアムは年平均2.08%で約39年を必要とし、規模プレミアムはそのほぼ3倍の平均5.92%でありながら87年を必要とします。4つを順にたどると、必要年数は22年、39年、87年、118年と並び、平均は8.44%、2.08%、5.92%、1.41%と並びます — 同じ4つのプレミアムが、一致しない2つの順序で並んでいるのです。

規模プレミアムは1928–1976年の現象であった 🖖

開始年と年数のフィールドで記録を半分に分割してください。1928–1976年では、米国の小型株は大型株を年10.70%上回りました。1977–2025年では、同じプレミアムは1.14%にとどまり、t統計量は0.42、標本必要数は1,133年となりました。見出しの5.92%という数値は、大きな前半とその後ほとんどゼロとなった後半の平均です。バンズ（Banz）がこの効果を測定したのは、その境目にあたる1981年のことでした。論文の発表によってプレミアムが消失したのか、前半が偶然だったのかは、このツールにも他の誰にもわかりません — しかし、98年間の平均が両半期を説明するものでは一度もなかったことだけは教えてくれます。

全プロセスの詳細解説

8.44%の株式プレミアムと19.70%の標準偏差 6 ステップ
カードに示された3つの数値（年率8.44%、標準偏差19.70%、そして98年）が、株式プレミアムの確実性を決定づけている。これらの数値から確実性を算出し、次に問題を逆から考えて、このような性質を持つプレミアムにはどれだけの過去データが必要かを求めよ。これはツールの初期状態である。1928年以降の全記録における株式（S&P 500 − 3か月手形）を表示している。
1. 以下において、市場に関する他の要素は一切関与しない。株価の水準も、暴落の回数も、たまたまどの年代から計測を開始したかも関係なく、必要なのは平均、ばらつき、そしてデータ数だけである。
  
  $μ = 8.44%, σ = 19.70%, n = 98$
2. 単年のデータはきわめて不確実であるが、98年間の平均となるとそうではない。その確実性の改善率は、データ数の平方根にぴったり一致する。割り算を行うと、パネルこのうちどれだけが測定値で、どれだけがノイズかに同じ数値が表示される。
  
  $SE = \frac{σ}{n} = \frac{19.70%}{9.8995} = 1.99%$
3. t値とは、その平均値を自らの不確実性の単位で表し直したものであり、株式プレミアムはゼロから標準誤差4つ分明確に離れた位置にある。どの数値が効いているかに着目されたい。8.44%が大きいからではなく、98年という期間が19.70%の振れ幅を1.99%にまで縮小させたからである。
  
  $t = \frac{μ}{SE} = \frac{8.44}{1.99} = 4.24$
4. 今度は逆向きに計算してみよう。基準を標準誤差2つ分に固定し、代わりに n について解くと、必要とされる年数は比率 σ/μ のみに依存する。したがって、プレミアムが大きいからといって自動的に確実性が高まるわけではない。平均とばらつきを同時に2倍にしても、必要年数は変化しない。同じパネルには 22 と表示される。
  
  $t = 2 : n_{m i n} = (\frac{2 σ}{μ})^{2} = (\frac{2 \times 19.70}{8.44})^{2} = 4.668 2^{2} = 21.79 \to 22$
5. 「Premium」ドロップダウンで期間（10年債 − 3か月手形）を選択する。平均は 1.41% に低下し、ばらつきは 7.63% となるが、98年の記録データに対し、必要年数は 118 年へと跳ね上がる。期間プレミアムが基準に達しないのは、1.41% が小さいからではなく、それに比して 7.63% が大きいからである。
  
  $μ = 1.41%, σ = 7.63% : n_{m i n} = (\frac{2 \times 7.63}{1.41})^{2} = 10.822 7^{2} = 117.13 \to 118 > 98$
6. 最後に、n について解くのをやめよう。98年という年数は選択できるものではなく、年次記録の全体そのものである。したがって、これを固定したうえで、基準をクリアできる最小の平均値を求める。株式と同等のボラティリティであれば、それは単純に標準誤差の2倍となる。
  
  $n = 98 : μ_{m i n} = \frac{2 σ}{n} = 2 SE = 2 \times 1.99% = 3.98%$
解答

標準誤差1.99%、t = 4.24、そして22年のデータがあれば十分であった。しかし、19.70%のばらつきと98年のデータがある場合、年平均3.98%未満のプレミアムをゼロと区別することは不可能である。この下限値は戦略に属するものではなく、過去データの記録そのものに起因するものであり、ドロップダウンのすべてのプレミアムがそれぞれのバージョンを持っている。すなわち、2σ/√98 はサイズで 5.55%、期間で 1.54%、クレジットで 1.30% となる。これらをツールがそれぞれについて報告する平均値（5.92%、1.41%、2.08%）と並べてみれば、t値を1つも計算することなく4つすべての判定を下すことができる。期間プレミアムだけが自らの下限を下回っており、その差は 0.13 ポイントである。下限は √n に比例してしか下がらないため、待ってもほとんど意味がない。データをさらに10年増やしても株式プレミアムの下限は 3.98% から 3.79% へと下がるだけであり、これを半分の 1.99% に下げるには 392 年を要する。このツールは、与えられた大きさのプレミアムに何年が必要かを計算するが、この記録データで見出し得る最小の大きさを計算することはない。しかしそれこそが、プレミアムに関する議論のうちどれが市場に関する議論であり、どれがノイズに関する議論であるかをあらかじめ決定づける数値なのである。

$n_{m i n} = (\frac{2 σ}{μ})^{2} ⟺ μ_{m i n} = \frac{2 σ}{n} = \frac{2 \times 19.70%}{9.8995} = 3.98%$

学習の道すじ

リスクを測る

この次にフロンティアを持ち続ける長期の平均リターンにつく誤差の幅。これはすぐに効いてきます。最後のステップは、まさにその平均をそのまま最適化に流し込むからです — 平均を既知の値として扱い、それがどれだけ正確に測られたのかを問う手立てを持たない最適化に。

参考文献 (3)

The equity premium stated as a problem rather than a fact — it is too large for standard theory to explain, which is itself a reason to hold the estimate loosely: R. Mehra and E. C. Prescott, "The equity premium: A puzzle." Journal of Monetary Economics 15(2), 145–161, 1985.
The size effect, in the paper that first measured it: R. W. Banz, "The relationship between return and market value of common stocks." Journal of Financial Economics 9(1), 3–18, 1981.
And the standing warning that a mean return is measured far less precisely than it is quoted: R. C. Merton, "On estimating the expected return on the market: An exploratory investigation." Journal of Financial Economics 8(4), 323–361, 1980.

42Math チーム · 更新 2026-08-19

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例題

株式、全記録 - 1928-2025年の株式プレミアム。4つのうち最も強いのに、それでも3分の1の年はマイナスです。
規模、全記録 - 全記録での規模プレミアム。平均は大きいのに、プラスだった年はおよそ半分しかありません。
期間、全記録 - 期間プレミアム。98年分のデータでも、t統計量は2に届きません。
株式、1990年以降 - 1990年以降の株式プレミアム。期間が短い分、確からしさもそれだけ下がります。