Calculadora de Período Orbital

T = 2π√(a³/GM) — a Terceira Lei de Kepler conecta o tamanho da órbita ao seu período

Exemplo resolvido — Calculadora de Período Orbital

Período orbital	1.54 h

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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A altitude não determina o período 🖖

O campo se chama semieixo maior por um motivo: a excentricidade não aparece em nenhum lugar de T = 2π√(a³/GM). Digite 42.164 km e a ferramenta devolve 23,94 h, o círculo geoestacionário. Uma elipse que desce a 6.771 km no perigeu e se lança até 77.557 km no apogeu tem o mesmo semieixo maior, portanto devolve as mesmas 23,94 h — ainda que cruze o ponto baixo a 10,41 km/s e se arraste pelo ponto alto a 0,91 km/s. A ISS, circular nesses mesmos 6.771 km, está de volta em 1,54 h.

A massa do objeto em órbita se cancela 🖖

Na fórmula T = 2π√(a³/GM) aparece M, a massa do corpo central, mas não a do satélite. Uma pena e uma estação espacial carregada, na mesma altitude, dão a volta à Terra em exatamente o mesmo tempo. O período orbital depende apenas do tamanho da órbita e de qual corpo você orbita, nunca do seu próprio peso.

Um túnel pela Terra mantém o tempo orbital 🖖

Solte uma bola em um túnel sem atrito atravessando a Terra de lado a lado: ela chega ao outro lado e volta em cerca de 84.5 minutos. Esse é exatamente o período de um satélite que raspa a superfície terrestre. Ambos obedecem ao mesmo √(R³/GM), então o 'trem gravitacional' e a órbita mais baixa possível compartilham um único relógio.

Problema resolvido na íntegra

Tempo de uma volta da ISS a voar 400 km acima do solo 5 passos
A ISS voa 400 km acima do solo. Determine quanto tempo demora uma volta e, em seguida, determine a órbita mais curta que a Terra permite. Este é o estado ISS — semieixo maior de 6771 km em redor da Terra — com G = 6,674 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻², M = 5,972 × 10²⁴ kg e o raio da Terra R = 6371 km.
1. Uma órbita circular é um equilíbrio: a gravidade fornece exatamente a força centrípeta de que o círculo necessita, nem mais nem menos. A própria massa do satélite simplifica-se nessa equação, razão pela qual um parafuso solto e a estação de onde ele caiu permanecem lado a lado.
  
  $\frac{GM m}{a ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{a} ⟹ v = \frac{GM}{a}$
2. O período é a distância a dividir pela velocidade uma vez conhecida a velocidade. Nada sobre o satélite subsiste no resultado — apenas o tamanho da órbita e a massa do planeta, e esses dois surgem multiplicados entre si como GM. Esse produto é o que as órbitas medem; G e M são conhecidos separadamente com uma precisão nem de perto idêntica.
  
  $T = \frac{2 π a}{v} = 2 π \frac{a ^{3}}{GM}, GM = (6.674 \times 1 0^{- 11}) (5.972 \times 1 0^{24}) = 3.986 \times 1 0^{14} m^{3} s^{- 2}$
3. 6771 km é o raio de 6371 km da Terra mais 400 km de altitude, porque a é medido a partir do centro e nunca a partir do solo. Quinze voltas e meia destas cabem num dia — 86 400/5545 = 15,58 — e a sobra de 0,58 é a razão pela qual a estação cruza uma faixa de solo diferente em cada passagem em vez de repetir a mesma.
  
  $T = 2 π \frac{( 6.771 \times 1 0 ^{6} ) ^{3}}{3.986 \times 1 0 ^{14}} = 5545 s = 1 h 32 m 25 s = 1.54 h$
4. A única dependência da fórmula relativamente à distância é a^3/2, pelo que a razão entre dois períodos não necessita nem de G nem de M. Essa é a terceira lei de Kepler, e é por isso que a tabela de escala acima pode ser construída apenas com multiplicadores: quatro vezes o semieixo maior é exatamente oito vezes o período, para qualquer satélite de qualquer planeta.
  
  $T \propto a^{3/2} : 2^{3/2} = 2.83, 4^{3/2} = 8 ⟹ 8 \times 1.54 = 12.32 h$
5. Agora reduza a órbita para baixo. Abaixo de a = R já não existe órbita possível, pelo que esse raio estabelece um limite mínimo para o período — e o passo útil é escrever a massa como o volume multiplicado pela densidade antes de a calcular. R³ aparece então tanto no numerador como dentro de M, simplificando-se.
  
  $M = \frac{4}{3} π R^{3} ρ ⟹ T_{m i n} = 2 π \frac{R ^{3}}{GM} = \frac{3 π}{Gρ} : ρ_{\oplus} = \frac{5.972 \times 1 0 ^{24}}{\frac{4}{3} π ( 6.371 \times 1 0 ^{6} ) ^{3}} = 5513 kg m^{- 3} \Rightarrow 5061 s = 84.4 min$
Resposta

A ferramenta indica 1,54 h para a ISS e 12,32 h a quatro vezes o semieixo maior, um fator de exatamente 8 porque 4^3/2 = 8, com ×2,83 para o dobro porque 2^3/2 = 2,828. O passo 5 é a parte que ela não calcula: nada pode orbitar a Terra em menos de 84,4 minutos, sendo esse limite mínimo determinado pela densidade média da Terra de 5513 kg/m³ e por mais nada. Saturno é nove vezes mais largo do que a Terra, contudo uma nave espacial que rasgue o topo das suas nuvens demora 4,0 horas em vez de um dia, porque a densidade média de Saturno é 687 kg/m³ — um oitavo da da Terra. A órbita mais rápida possível é, portanto, uma medição do solo sob ela: meça o tempo de um satélite baixo e terá pesado o planeta por unidade de volume, sem nunca precisar de saber o quão grande ele é.

$T_{m i n} = \frac{3 π}{Gρ} ρ = 687 kg m^{- 3} \Rightarrow T_{m i n} = 3.98 h$

Percurso de aprendizagem

Órbitas a partir de dois números

Conduz a Transferência de Hohmann o tempo de uma volta completa, calculado unicamente através do semieixo maior.

Referências (1)

Insight block 3 — the gravity train sharing a clock with the lowest orbit: P. W. Cooper, "Through the Earth in Forty Minutes." American Journal of Physics 34(1), 68–70, 1966.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

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Problemas de exemplo

ISS - ISS a ~400 km de altitude: T ≈ 92 min — dá 16 voltas ao redor da Terra por dia
Satélite GPS - Satélites GPS: T ≈ 12 h — cada satélite orbita duas vezes por dia
Geoestacionário - Órbita geoestacionária: T ≈ 24 h — parece fixa acima de um ponto da Terra
Lua - Lua ao redor da Terra: T ≈ 27.3 dias — a origem da palavra "mês"
Mercúrio - Mercúrio ao redor do Sol: T ≈ 88 dias — o planeta mais rápido
Terra (ao redor do Sol) - Terra ao redor do Sol: T ≈ 365.25 dias — define o ano
Marte (ao redor do Sol) - Marte ao redor do Sol: T ≈ 687 dias — quase dois anos terrestres