Explorador de curvas de Bézier

Explore curvas de Bézier de forma interativa. Arraste os pontos de controle e veja a construção de De Casteljau.

Exemplo resolvido — Explorador de curvas de Bézier

Grau	3
B(0.50)	(250.0, 150.0)
Pontos de controle	4

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Nenhum ponto de controle intermediário é alcançado 🖖

Arraste um ponto de controle interior bem longe: a curva se inclina para lá, mas nunca chega. O peso de Bernstein de um ponto interior tem um teto rígido — nos exemplos cúbicos é b₁,₃(t) = 3t(1−t)², que atinge o máximo em t = 1/3 com valor de apenas 4/9. Já as extremidades carregam peso exatamente 1 em t = 0 e t = 1, e é por isso que a curva começa e termina precisamente sobre elas. Ao aumentar o grau, a influência interior encolhe ainda mais: no exemplo de grau 5 os tetos são 0,410 e 0,346. É por isso que designers encadeiam cúbicas curtas em vez de ajustar uma única curva de grau alto: quanto mais pontos de controle você adiciona, menos cada um consegue fazer.

Cortar cantos com médias repetidas 🖖

Por trás da curva suave há uma única operação humilde repetida sem parar: a média em linha reta de dois pontos. O algoritmo de De Casteljau pega seus pontos de controle, encontra o ponto a uma fração t de cada segmento de ligação e repete com os novos pontos até restar apenas um — esse é B(t). Arraste o controle deslizante e veja todo o andaime colapsar em um único ponto que traça a curva.

Batizada com o nome do inventor errado 🖖

O algoritmo que esta ferramenta anima foi criado por Paul de Casteljau na Citroën em 1959, três anos antes de Pierre Bézier publicar trabalho semelhante na Renault, a montadora rival. A Citroën tratou a pesquisa de De Casteljau como segredo industrial e a manteve inédita, então as curvas acabaram levando o nome de Bézier. Ambos os engenheiros moldavam a chapa de carros — a matemática das fontes e da animação nasceu no chão de fábrica.

CURVAS DE BÉZIER — O QUE OS PONTOS DE CONTROLE PODEM, E NÃO PODEM, IMPOR

Qual caso de Bézier você está desenhando?

Quantos pontos de controle você usa decide quais formas são sequer alcançáveis; onde você os coloca decide qual delas você obtém. Três pontos só conseguem traçar um pedaço de parábola: nem S, nem cúspide, nem laço, faça o que fizer com o do meio. Acrescente um quarto e os três passam a ser possíveis, separados por fronteiras que dá para calcular. As três cúbicas abaixo compartilham P0, P1 e P2 e diferem apenas em P3, exatamente o ponto que leva uma cúbica do laço, passando pela cúspide, até um S comum.

Quadrática — três pontos, e é sempre uma parábola κ ≠ 0 ∀t

Cúbica com inflexão — o S que uma quadrática não faz κ(0.5) = 0

Cúspide — onde a curva para de vez e volta atrás B′(0.5) = (0, 0)

Laço — um ponto, visitado duas vezes B(0.211) = B(0.789)

Grau 5 — mais pontos, menos controle min |B − P₃| = 134

Quadrática — três pontos, e é sempre uma parábola

O que você sabe: Três pontos de controle, grau 2. A curva sai de P0 apontando direto para P1 e chega a P2 vindo direto de P1, e esse único ponto do meio é toda a alavanca que você tem.

Como reconhecer: κ ≠ 0 ∀t

Exemplo resolvido: P0 (50, 250), P1 (250, 30), P2 (450, 250) → B(0,50) = (250, 140), exatamente na metade do caminho entre P1 e o ponto médio da corda (250, 250). A curva nunca chega a menos de 110 px de P1.

Abrir este caso: Quadrática

Quadrática — três pontos, e é sempre uma parábola. O vértice cai em (250, 140) — na metade do caminho entre o ponto de controle e a corda. Três pontos de controle, grau 2. A curva sai de P0 apontando direto para P1 e chega a P2 vindo direto de P1, e esse único ponto do meio é toda a alavanca que você tem. — O vértice cai em (250, 140) — na metade do caminho entre o ponto de controle e a corda.

Cúbica com inflexão — o S que uma quadrática não faz

O que você sabe: Quatro pontos de controle, grau 3, com P1 puxando acima da corda e P2 abaixo dela. A curva se dobra primeiro para um lado, depois para o outro.

Como reconhecer: κ(0.5) = 0

Exemplo resolvido: P0 (50, 250), P1 (150, 50), P2 (350, 250), P3 (450, 50) → o produto B′ × B″ cai em linha reta de positivo em t = 0 para negativo em t = 1, cruzando o zero em t = 0,50, de modo que a única inflexão fica exatamente em B(0,50) = (250, 150).

Abrir este caso: S cúbico

Cúbica com inflexão — o S que uma quadrática não faz. A curvatura cruza o zero em t = 0,50: a dobra se inverte em (250, 150). Quatro pontos de controle, grau 3, com P1 puxando acima da corda e P2 abaixo dela. A curva se dobra primeiro para um lado, depois para o outro. — A curvatura cruza o zero em t = 0,50: a dobra se inverte em (250, 150).

Cúspide — onde a curva para de vez e volta atrás

O que você sabe: Quatro pontos, com P1 e P2 lançados um por cima do outro de modo que as duas componentes da velocidade se esgotam no mesmo instante. Grau 3.

Como reconhecer: B′(0.5) = (0, 0)

Exemplo resolvido: P0 (100, 200), P1 (400, 50), P2 (100, 50), P3 (400, 200) → x′(t) = 900(1 − 2t)² e y′(t) = 450(2t − 1), então B′(0,50) = (0, 0). A curva alcança (250, 87,5), para, e sai na direção de onde tinha vindo.

Abrir este caso: Cúspide

Cúspide — onde a curva para de vez e volta atrás. B′(0,5) = (0, 0): o ponto que traça para em (250, 87,5) e volta atrás. Quatro pontos, com P1 e P2 lançados um por cima do outro de modo que as duas componentes da velocidade se esgotam no mesmo instante. Grau 3. — B′(0,5) = (0, 0): o ponto que traça para em (250, 87,5) e volta atrás.

Laço — um ponto, visitado duas vezes

O que você sabe: Exatamente os P0, P1 e P2 da cúspide, com P3 recuado de x = 400 para x = 280, de modo que o polígono de controle cruza a si mesmo de forma mais acentuada. Grau 3.

Como reconhecer: B(0.211) = B(0.789)

Exemplo resolvido: P0 (100, 200), P1 (400, 50), P2 (100, 50), P3 (280, 200) → B(t) = B(1 − t) em t = ½ ∓ √3/6, isto é t ≈ 0,211 e t ≈ 0,789, e ambos caem exatamente em (220, 125).

Uma autointersecção significa que t já não corresponde ao plano de forma um a um, e uma única curva de Bézier consegue isso já a partir do grau 3 — sem nenhum encadeamento. Nada local a denuncia: as derivadas no cruzamento são perfeitamente comuns, e nenhuma das duas passagens por (220, 125) sabe que a outra existe. É por isso que o laço é o caso que todo algoritmo seguinte teme — detecção de clique, curvas paralelas, preenchimento e área precisam primeiro localizar o cruzamento — e a maioria dos formatos responde proibindo laços e partindo a curva ali. Empurre P3 de volta na direção de 400 e veja os dois parâmetros do cruzamento se aproximarem até se encontrarem, em exatamente 400, em 0,5: o laço vira a cúspide.

Abrir este caso: Laço cúbico

Laço — um ponto, visitado duas vezes. Dois parâmetros, um ponto: t ≈ 0,211 e t ≈ 0,789 dão os dois (220, 125). Exatamente os P0, P1 e P2 da cúspide, com P3 recuado de x = 400 para x = 280, de modo que o polígono de controle cruza a si mesmo de forma mais acentuada. Grau 3. — Dois parâmetros, um ponto: t ≈ 0,211 e t ≈ 0,789 dão os dois (220, 125).

Grau 5 — mais pontos, menos controle

O que você sabe: Seis pontos de controle, grau 5. Cada um deles tem peso diferente de zero em todo valor de t, então mexer em qualquer um muda a curva inteira.

Como reconhecer: min |B − P₃| = 134

Exemplo resolvido: Os seis pontos vão de y = 20 a 280, mas a curva só cobre y de 150 a 250, e nunca chega a menos de 134 px de P3 (300, 20). Em t = 0,5 os pesos são 0,031, 0,156, 0,313, 0,313, 0,156, 0,031 — todos os pontos contam, nenhum manda.

Abrir este caso: Grau 5

Grau 5 — mais pontos, menos controle. A curva nunca sobe acima de y = 150 enquanto seus próprios pontos de controle alcançam y = 20. Seis pontos de controle, grau 5. Cada um deles tem peso diferente de zero em todo valor de t, então mexer em qualquer um muda a curva inteira. — A curva nunca sobe acima de y = 150 enquanto seus próprios pontos de controle alcançam y = 20.

Referências (3)

The Bernstein basis and its weight bounds: Farouki, R. T. (2012). "The Bernstein polynomial basis: A centennial retrospective." Computer Aided Geometric Design 29(6), 379–419.
The algorithm the tool animates, and the naming: Farin, G. Curves and Surfaces for CAGD: A Practical Guide, 5th ed. Morgan Kaufmann, 2002 — de Casteljau’s algorithm, the convex-hull property and endpoint interpolation. ISBN 978-1-55860-737-8.
De Casteljau’s own account of the unpublished Citroën work: de Casteljau, P. (1999). "De Casteljau’s autobiography: My time at Citroën." Computer Aided Geometric Design 16(7), 583–586. No DOI is linked here because the record could not be resolved to one.

Problemas resolvidos na íntegra

O ponto da curva em t = 0,50 que deixa de curvar para um lado 6 passos
A cúbica na página tem os pontos de controlo P₀ = (50, 250), P₁ = (150, 50), P₂ = (350, 250), P₃ = (450, 50), num quadro de 500 × 300 com y medido para baixo. O painel apresenta o ponto da curva em t = 0,50. Mostre que este ponto é o único local onde a curva deixa de curvar num sentido e passa a curvar no outro.
1. Em t = 1/2, os quatro pesos de Bernstein são 1/8, 3/8, 3/8, 1/8, pelo que os dois pontos interiores pesam três vezes mais do que as extremidades. Toda a aritmética reduz-se a isto: x = (50 + 450 + 1050 + 450)/8 e y = (250 + 150 + 750 + 50)/8.
  
  $B (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} (P_{0} + 3 P_{1} + 3 P_{2} + P_{3}) = (250.0, 150.0)$
2. A curvatura é dada pela segunda derivada, e derivar uma cúbica duas vezes resulta numa expressão linear em t. Cada um dos dois vetores a partir dos quais é construída é uma segunda diferença de três pontos de controlo consecutivos.
  
  $B^{''} (t) = 6 [(1 - t) (P_{0} - 2 P_{1} + P_{2}) + t (P_{1} - 2 P_{2} + P_{3})]$
3. Calcule-os. Revelam-se iguais e opostos — um facto sobre o polígono de controlo, disponível antes de qualquer curva ser desenhada.
  
  $P_{0} - 2 P_{1} + P_{2} = (100, 400), P_{1} - 2 P_{2} + P_{3} = (- 100, - 400)$
4. Assim, a segunda derivada tem uma direção fixa, (100, 400), escalada por 1 − 2t. Ambas as suas componentes atingem 0 em t = 1/2, e em nenhum outro t no intervalo.
  
  $B^{''} (t) = 6 (1 - 2 t) (100, 400) ⟹ B^{''} (\frac{1}{2}) = (0, 0)$
5. Aceleração nula por si só não origina um ponto de inflexão; uma curva que para subitamente também a apresenta. Por isso, verifique a velocidade. É (450, 0): horizontal e categoricamente não nula, pelo que o ponto se desloca através da zona plana em vez de inverter a marcha nela.
  
  $B^{'} (t) = (300 (1 + 2 t - 2 t^{2}), - 600 (1 - 2 t)^{2}) ⟹ B^{'} (\frac{1}{2}) = (450, 0)$
6. A curvatura tem o sinal de x′y″ − y′x″. Desenvolvendo os produtos, o parêntese simplifica-se — os dois termos dependentes de t cancelam-se dando a constante 3 — restando um numerador exatamente proporcional a 1 − 2t. Uma grandeza linear em t cruza o zero uma única vez, pelo que esta cúbica tem exatamente uma inflexão, que ocorre em t = 1/2.
  
  $x^{'} y^{''} - y^{'} x^{''} = (1 - 2 t) [720000 (1 + 2 t - 2 t^{2}) + 360000 (1 - 2 t)^{2}] = 1.08 \times 1 0^{6} (1 - 2 t)$
Resposta

(250,0, 150,0) é a única inflexão da curva. A sua posição não é um acaso destes números em particular. A condição que anulou a segunda derivada, P₃ − P₂ = P₁ − P₀, reescreve-se como P₀ + P₃ = P₁ + P₂ = (500, 300) — e B(t) + B(1 − t) é ela própria uma Bézier cúbica, sobre os pontos de controlo invertidos e somados P₀+P₃, P₁+P₂, P₂+P₁, P₃+P₀. Os quatro são o mesmo ponto, pelo que essa soma é a constante (500, 300) para todo o t. Verifique-a a um quarto de volta: B(0,25) = (140,625, 162,5) e B(0,75) = (359,375, 137,5) somam exatamente isso. A curva é simétrica em relação ao ponto (250,0, 150,0), e uma forma que se mantém idêntica após meia volta em torno de um ponto não pode estar a curvar para nenhum dos lados nesse ponto. O polígono de controlo tracejado sustenta todo o argumento: o seu primeiro e último segmentos são o mesmo vetor, (100, −200), pelo que a inflexão se situa no ponto médio antes mesmo de a curva existir.

$B^{''} (\frac{1}{2}) = 3 [(P_{3} - P_{2}) - (P_{1} - P_{0})] = 0 ⟺ P_{0} + P_{3} = P_{1} + P_{2}$
Um canto traçado em B(0,50) por polinómios diferenciáveis 6 passos
O estado de cúspide usa P₀ = (100, 200), P₁ = (400, 50), P₂ = (100, 50), P₃ = (400, 200), e o painel apresenta B(0,50) = (250,0, 87,5). Ambas as coordenadas são polinómios em t, pelo que o movimento é diferenciável tantas vezes quantas se pretender. Mostre que a forma por ele traçada apresenta, ainda assim, um canto nesse ponto.
1. Os mesmos pesos de qualquer cúbica no parâmetro médio: 1/8, 3/8, 3/8, 1/8. x = (100 + 1200 + 300 + 400)/8 e y = (200 + 150 + 150 + 200)/8.
  
  $B (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} (P_{0} + 3 P_{1} + 3 P_{2} + P_{3}) = (250.0, 87.5)$
2. A derivada de uma Bézier cúbica é construída a partir das três arestas do polígono de controlo, ponderadas pela base quadrática de Bernstein. Derivar nunca necessita dos pontos em si, apenas dos passos entre eles.
  
  $B^{'} (t) = 3 [(1 - t)^{2} (P_{1} - P_{0}) + 2 (1 - t) t (P_{2} - P_{1}) + t^{2} (P_{3} - P_{2})]$
3. Aqui, a aresta do meio aponta para trás. P₁ − P₀ e P₃ − P₂ empurram ambas para a direita, enquanto P₂ − P₁ empurra 300 para a esquerda — e a sua parte vertical é 0, pelo que não pode cancelar nada em y.
  
  $P_{1} - P_{0} = (300, - 150), P_{2} - P_{1} = (- 300, 0), P_{3} - P_{2} = (300, 150)$
4. Agrupando as componentes, ambas se reduzem a um único termo. A velocidade horizontal é um quadrado perfeito, pelo que nunca se torna negativa; a velocidade vertical é linear e muda de sinal. Ambas se anulam em t = 1/2, o que corresponde à paragem completa do ponto traçador.
  
  $x^{'} (t) = 900 (1 - 2 t)^{2}, y^{'} (t) = 450 (2 t - 1) ⟹ B^{'} (\frac{1}{2}) = (0, 0)$
5. Uma paragem não é automaticamente um canto — a direção poderia sobreviver à pausa. Calculando a razão, esta tende para 0 por ambos os lados, pelo que a tangente se coloca na vertical à chegada e na vertical à saída, com y′ a inverter o sinal ao passar por ela. A direção inverte-se em 180°.
  
  $\frac{x ^{'} ( t )}{y ^{'} ( t )} = 2 (2 t - 1) t \to \frac{1}{2} 0$
6. Tal como sucede com a segunda derivada, a paragem é uma afirmação sobre o polígono. B′(1/2) resulta em três quartos de (P₂ + P₃) − (P₀ + P₁), que se anula exatamente quando o ponto médio da primeira aresta e o ponto médio da última aresta coincidem no mesmo ponto. Ambos são (250, 125).
  
  $B^{'} (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} [(P_{2} + P_{3}) - (P_{0} + P_{1})] = \frac{3}{4} [(500, 250) - (500, 250)]$
Resposta

O ponto traçador para subitamente em (250,0, 87,5) e regressa a apontar no sentido oposto. Nada na parametrização é irregular — x(t) e y(t) são cúbicas, infinitamente diferenciáveis — e o traçado apresenta, ainda assim, um canto agudo, razão pela qual a continuidade de curvas é avaliada sob dois pontos de vista: C¹ exige que a velocidade seja contínua, G¹ exige que a direção o seja, e uma velocidade nula satisfaz o primeiro critério enquanto destrói o segundo. Há também uma consequência mensurável. Como y′ = 450(2t − 1) é negativo antes da paragem e positivo depois, y = 87,5 é o menor valor que a curva alguma vez toma, pelo que a cúspide é o ponto mais alto no ecrã e toda a curva fica contida abaixo dela. P₁ e P₂ encontram-se em y = 50; a curva aproxima-se até a uma distância de 37,5 deles e não mais, o que é o preço a pagar por puxar uma cúbica com apenas dois manípulos interiores.

$B^{'} (\frac{1}{2}) = 0 ⟺ \frac{1}{2} (P_{0} + P_{1}) = \frac{1}{2} (P_{2} + P_{3}) = (250, 125)$

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-28

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Problemas de exemplo

Quadrática - Quadrática: grau 2, vértice em B(0,50) = (250, 140)
S cúbico - S cúbica: inflexão em B(0,50) = (250, 150)
Cúspide - Cúspide: a tangente se anula em B(0,50) = (250, 87,5)
Laço cúbico - Laço cúbico: uma curva de grau 3 que cruza a si mesma
Grau 5 - Grau 5 a partir de 6 pontos de controle