Quão Próxima uma Fração Pode Chegar

Escolha um número e a quantidade de termos que deseja manter. O cartão à esquerda mostra a fração gerada pela fração contínua. A linha abaixo dele testa todas as frações com denominador menor e indica a mais próxima que conseguir encontrar.

Exemplo resolvido — Quão Próxima uma Fração Pode Chegar

Melhor fração	17 / 12
Erro	2,5 × 10⁻³
Algarismos significativos	2
q² × erro	0,353

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

A melhor fração do seu tamanho, verificada em vez de declarada 🖖

Defina √2 e quatro termos, e a ferramenta devolverá 17/12. Depois, ela faz aquilo para o qual realmente serve: pega todos os denominadores abaixo de 12, encontra o numerador mais próximo para cada um e indica a fração mais precisa que consegue construir. O resultado é 7/5, que fica 5,8 vezes mais distante de √2 do que 17/12. Truncar uma fração contínua não resulta apenas numa boa fração, mas sim na melhor disponível para aquele tamanho. A página prefere mostrar essa busca em vez de apenas nomear o teorema. Pressione A surpresa de 355/113 e a mesma varredura ocorrerá para todos os denominadores até 112. A melhor opção entre eles é 333/106, que se afasta 312 vezes mais do alvo.

Um termo grande significa que a fração anterior já era excelente 🖖

π é [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …], e é o 292 que merece atenção. Um termo grande significa que, nesse ponto, o resto era quase nulo; por outras palavras, a fração que já tínhamos era quase exata. Assim, 355/113, a convergente imediatamente anterior, dá sete algarismos significativos com um denominador de três algarismos, enquanto 22/7, seguida de um modesto 15, consegue três. É o tamanho do termo seguinte que revela a qualidade da fração que temos. Por isso valeu a pena descobrir 355/113 na China do século V, e ainda hoje é a fração a que todos recorrem.

A proporção áurea é o número mais difícil de aproximar, e isso é uma medida 🖖

Multiplique cada erro pelo quadrado do seu denominador para tornar frações de diferentes tamanhos comparáveis. Faça isso com √2 e a coluna estabilizará em 0,354. Faça com φ e o valor estabilizará em 0,447. Esse número corresponde a 1/√5, um limite que nenhum irracional consegue superar para sempre. φ é o número que mais pressiona esse teto. O motivo encontra-se na sua própria expansão. Cada termo é 1, o menor valor permitido, de modo que cada convergente representa a menor melhoria possível em relação ao anterior. Chamar φ de o número mais irracional de todos soa como um exagero poético. Na verdade, trata-se de uma medida exata, e é nesta coluna que ela se manifesta.

Problema resolvido na íntegra

Mostrar que 355/113 é a fração mais próxima de π com um denominador inferior a 1000 7 passos
Mostre que 355/113 é a fração mais próxima de π com denominador inferior a 1000 e descubra até onde seu domínio realmente se estende.
1. Calcule a expansão primeiro. π = [3; 7, 15, 1, 292, …], então os convergentes são 3, seguidos por 22/7, 333/106 e 355/113.
  
  $π = [3; 7, 15, 1, 292, \dots]$
2. Cada convergente deriva dos dois anteriores. Basta multiplicar pelo novo termo e somar com o termo de trás. Nenhuma etapa desse processo requer o próprio π, apenas os seus termos.
  
  $\frac{p _{n}}{q _{n}} = \frac{a _{n} p _{n - 1} + p _{n - 2}}{a _{n} q _{n - 1} + q _{n - 2}}$
3. 355/113 dá 3,1415929204, enquanto π é 3,1415926536. O erro é 2,7 × 10⁻⁷: sete algarismos significativos, com três algarismos no numerador e três no denominador.
  
  $\frac{355}{113} = 3.1415929204 \dots, π = 3.1415926536 \dots$
4. Agora iniciamos a busca. Pegue todos os denominadores de 1 a 112, escolha o numerador mais próximo para cada um e guarde o resultado mais exato. O vencedor é 333/106, com um desvio de 8,3 × 10⁻⁵. Isso equivale a uma distância 312 vezes maior do que a de 355/113.
  
  $q \leq 112 min π - \frac{p}{q} = π - \frac{333}{106} \approx 8.3 \times 1 0^{- 5}$
5. Amplie a busca até 1000 e nada de novo aparecerá. 355/113 continua sendo a fração mais próxima existente.
6. Até onde essa precisão se mantém? Varrendo os números para cima, a primeira fração a superá-la é 52163/16604. Isso significa que 355/113 é a fração mais próxima de π para todos os denominadores até 16.603.
  
  $\frac{52163}{16604} first beats it : q \times 147, error - 0.2%$
7. Observe o que essa superação realmente traz. A fração 52163/16604 possui um denominador 147 vezes maior e reduz o erro em apenas 0,2%. Essa é a essência de todo o assunto. As boas frações são imensamente superiores às suas vizinhas, e a próxima melhoria real encontra-se num patamar muito mais alto.
Resposta

355/113, com um desvio de 2,7 × 10⁻⁷, sendo a fração mais próxima de π para todos os denominadores até 16.603. O ponto onde isso para é a parte que vale a pena conhecer. A raiz √2 segue 2, 2, 2, … infinitamente e o número e segue 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …. Ambos os padrões podem ser declarados e provados. Ninguém conhece um padrão nos termos de π. Ninguém sabe se eles permanecem limitados, ou se algum termo gigantesco está à espera mais à frente, trazendo consigo uma fração muito melhor do que 355/113. O 292 não tem explicação alguma. É simplesmente assim que π se comporta.

Percurso de aprendizagem

Escrever um número

Conduz a Arredondamento a melhor fração de um dado tamanho, procurada em vez de afirmada.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-09-03

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

√2 em quatro termos - √2 é [1; 2, 2, 2, …], e parar após quatro termos resulta em 17/12. Qualquer fração com denominador menor que 12 fica mais distante. A mais próxima delas, 7/5, apresenta um erro 5,8 vezes maior.
A surpresa de 355/113 - 355/113 coincide com π em sete algarismos significativos, usando três algarismos no numerador e três no denominador. A fração mais próxima com um denominador menor é 333/106, cujo erro é 312 vezes maior.
O número mais difícil - φ é [1; 1, 1, 1, …]. Como todos os termos têm o menor valor possível, este é precisamente o número mais difícil de aproximar. q² × erro estabiliza em 0,447, ou seja, 1/√5, o maior valor em que pode estabilizar para qualquer irracional.
O padrão de e - e é [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …]. O padrão formado por 1, 1 e um número par segue infinitamente. Uma expansão que nunca termina é a própria definição de irracionalidade, portanto o padrão em si serve como prova de que e não é uma fração.