Explorador do Paradoxo do Aniversário

probabilidade de aniversário coincidente em função do tamanho do grupo

Exemplo resolvido — Explorador do Paradoxo do Aniversário

P(aniversário coincidente)	50,7%
1. Número de pessoas na sala (n):	23
2. Total de pares a comparar (n × (n-1) / 2):	253 pares
P(todos diferentes)	49,3%
Pares comparados	253

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Explorador do Paradoxo do Aniversário

O problema do aniversário pede a probabilidade de pelo menos duas pessoas em todo o grupo partilharem a mesma data de aniversário. Não é a probabilidade de alguém coincidir com si, nem diz respeito a uma data em particular — essa distinção é a razão pela qual a resposta parece errada.

O que significa cada símbolo

P(match): a probabilidade de algum par partilhar o aniversário — o valor principal, 50.7% com n = 23.
P(all unique): a probabilidade de nenhumas duas pessoas partilharem o aniversário. As duas somam sempre 100%: 50.7% + 49.3%.
pairs: o número de pares que o grupo contém, n(n−1)/2 — para 23 pessoas esse valor é 253, e são os pares, em vez das pessoas, que fazem aumentar a probabilidade.

Como ler o que vê

As duas probabilidades surgem em primeiro lugar, seguidas da contagem de pares e de um passo a passo numerado. Abaixo disso, a fórmula mostra exatamente o que foi multiplicado: 1 − (365/365 × 364/365 × ⋯ × 343/365), um fator por pessoa, terminando em 1 − 0.492703 = 0.507297. Cada fator é a probabilidade de a pessoa seguinte não coincidir com nenhum dos aniversários já ocupados.

Pressupõe: 365 datas de aniversário igualmente prováveis, independentes entre as pessoas. Sem dias bissextos, sem gémeos e sem padrões sazonais nos nascimentos — todas as três premissas são falsas no mundo real, razão pela qual este é um modelo idealizado e não uma previsão demográfica.
Falha quando: A hipótese de uniformidade não é conservadora no sentido em que se poderia pensar. As datas de nascimento reais agrupam-se sazonalmente, e qualquer desvio da uniformidade aumenta a probabilidade de uma coincidência — pelo que 50.7% para 23 pessoas é um limite inferior, e não uma estimativa. Ao mover o controlo deslizante para 80, a probabilidade arredonda para 100%, mas nunca atinge realmente esse valor: com menos de 366 pessoas, a hipótese de não haver qualquer coincidência permanece sempre possível.

o paradoxo está nos pares, não nas pessoas 🖖

O paradoxo desfaz-se assim que se deixa de contar pessoas e se passa a contar pares. Com 23 pessoas há apenas 23 aniversários a comparar, mas existem C(23,2) = 253 pares distintos, cada um dos quais pode gerar uma coincidência — e basta que aconteça uma vez. A intuição humana fixa-se em «quantas pessoas são como eu», que cresce linearmente, enquanto a grandeza que realmente importa, o número de comparações entre pares, cresce de forma quadrática segundo n(n−1)/2. É por isso que a curva de probabilidade dispara tão cedo: a partir de n=23 já se ultrapassam os 50%, e com n=57 já é mais de 99%, porque se está a dar ao problema cerca de n² oportunidades de coincidência.

por que calculamos o contrário 🖖

Em vez de rastrear cada forma pela qual uma coincidência poderia surgir, a ferramenta faz a pergunta inversa, bem mais simples: qual é a probabilidade de todos os aniversários serem diferentes? Adicione pessoas uma a uma — a segunda precisa evitar 1 dia ocupado (364/365), a terceira 2, e assim por diante —, multiplique essas frações decrescentes e subtraia o resultado de 100%. A conclusão: com 23 pessoas, a probabilidade de 'todos diferentes' finalmente cai abaixo da metade, e é exatamente por isso que 23 é o ponto de virada.

a mesma matemática quebra a criptografia 🖖

A mesma lógica governa silenciosamente a segurança digital. Para quebrar uma função hash, um atacante raramente precisa de um alvo específico: bastam duas entradas quaisquer que produzam a mesma saída, que é justamente o problema de 'qualquer par'. Assim, um hash com N saídas possíveis cai diante de um ataque de aniversário após cerca de √N tentativas, e não N. Por isso um hash de 256 bits oferece apenas cerca de 128 bits de resistência a colisões, e os projetistas precisam dobrar o comprimento.

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

Dez pessoas formam 45 pares, e cada par tem cerca de 1 hipótese em 365 de coincidir — o que sugere 45/365 = 12.3%. O painel diz 11.7%. Em que sentido erra a estimativa rápida, e porquê nesse sentido?

Mostrar a resposta

Sobrestima, e sempre o fará. Somar 45 hipóteses de pares conta mais do que uma vez cada coincidência dupla: essa soma é o primeiro termo de uma série de inclusão-exclusão cujo termo seguinte subtrai. O painel segue antes o caminho honesto — P(todas diferentes) = (365/365)(364/365)…(356/365) = 88.3%, e 100% − 88.3% = 11.7%. A diferença abre-se depressa: com 23 pessoas a soma rápida dá 253/365 = 69.3% contra uns verdadeiros 50.7%, e assim que um grupo passa dos 365 pares a soma rápida ultrapassa os 100%, a prova mais clara possível de que nunca foi uma probabilidade.
Leva o tamanho do grupo ao seu máximo de 80. P(aniversário partilhado) mostra 99.99% — não 100%. Quantas pessoas são precisas para que um aniversário partilhado seja verdadeiramente certo?

Mostrar a resposta

366, ou 367 se admitires o 29 de fevereiro. É o princípio do pombal, e é a única via para a certeza: com 365 datas possíveis, 366 pessoas não podem ser todas diferentes. Tudo abaixo disso é apenas provável, por mais perto que pareça. O cursor pára em 80 porque é aí que a curva faz o seu trabalho — já está nos 99.99%, e as restantes 286 pessoas compram apenas o último centésimo de ponto percentual. Repara como o painel acrescenta uma segunda casa decimal em n = 73 em vez de imprimir uns 100% que não consegue justificar.

Problemas resolvidos na íntegra

23 pessoas numa sala com um aniversário partilhado 5 passos
Quantas pessoas têm de estar numa sala para que um aniversário partilhado seja mais provável do que não? Deduza o resultado e explique por que razão 23 parece um valor demasiado pequeno.
1. Calcule o oposto. “Pelo menos um partilhado” é complicado porque a coincidência pode ocorrer de muitas formas ao mesmo tempo; “todos diferentes” é uma única sequência límpida de escolhas.
  
  $P (all different) = k = 0 \prod n - 1 \frac{365 - k}{365}$
2. Cada nova pessoa deve evitar todos os aniversários já ocupados, pelo que os dias disponíveis diminuem um de cada vez. Multiplique as frações.
  
  $n = 23 : \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \dots \frac{343}{365} = 0.4927$
3. Subtraia de um. O explorador acima exibe exatamente isto, e 23 é o primeiro n para o qual o resultado ultrapassa metade.
  
  $P (shared) = 1 - 0.4927 = 0.5073 = 50.7%$
4. Não está apenas a comparar-se com outras 22 pessoas: todos os pares contam, e o seu número cresce com o quadrado do número de elementos do grupo.
  
  $(2 n) = \frac{23 \times 22}{2} = 253 pairs$
5. Esse crescimento ao quadrado é visível na aproximação: a probabilidade depende de n² sobre 730, pelo que o ponto de transição varia como uma raiz quadrada, e não como uma fração de 365.
  
  $P \approx 1 - e^{- n^{2} /730} : n = 730 ln 2 = 22.5$
Resposta

23 pessoas, para uma probabilidade de 50.7%. A intuição que falha é uma substituição de pergunta: as pessoas imaginam "alguém faz anos no meu dia", o que exige 253 pessoas para ter probabilidades iguais, quando a pergunta feita é "duas pessoas quaisquer", que tem 253 pares com n = 23. O dimensionamento pela raiz quadrada é a lição geral, e é a razão pela qual as colisões de hash surgem após aproximadamente √N inserções em vez de N — a mesma aritmética determina o comprimento que um hash deve ter.

$n = 23 \Rightarrow P = 50.7% pairs = (2 23) = 253$
A regra dos 50,7% para vinte e três pessoas num ano de 365 dias 6 passos
Vinte e três pessoas, 50,7 %. O número de que toda a gente se lembra é 23, e é a parte menos útil do resultado: pertence a um ano de 365 dias e a mais nada. Encontre a regra por baixo, a que continua a valer quando o calendário é uma função de dispersão.
1. A resposta exata é um produto: a segunda pessoa falha a primeira, a terceira falha as duas, e assim por diante pela sala fora. É esse produto que o painel avalia.
  
  $Q (n) = k = 0 \prod n - 1 \frac{365 - k}{365}, P = 1 - Q (23) = 0.507$
2. Sobre produtos raciocina-se mal, portanto tome logaritmos — e enquanto k for pequeno face a 365, cada logaritmo é quase o seu próprio argumento. O que sobra é a soma dos primeiros n−1 inteiros.
  
  $ln Q = k = 0 \sum n - 1 ln (1 - \frac{k}{365}) \approx - k = 0 \sum n - 1 \frac{k}{365} = - \frac{n ( n - 1 )}{730}$
3. Iguale a probabilidade a meio e resolva. O termo n² domina o n, portanto a resposta é uma raiz quadrada, e cai a menos de meia pessoa dos 23 do painel.
  
  $P = \frac{1}{2} ⟹ \frac{n ( n - 1 )}{730} = ln 2 ⟹ n^{2} \approx 730 ln 2 = 506.0 ⟹ n \approx 22.5$
4. Escreva-a agora sem nenhum 365. O ano nunca foi especial: para N casas igualmente prováveis, o ponto de viragem está por volta de 1,1774√N.
  
  $n \approx 2 N ln 2 = 1.1774 N : N = 365 ⟹ 22.49$
5. Aplique isso onde realmente morde. Uma dispersão de 32 bits tem 2³² casas, o que soa enorme — mas a raiz quadrada de um número enorme não é enorme.
  
  $N = 2^{32} : n \approx 1.1774 2^{32} = 1.1774 \times 65536 = 77162$
6. Meça isso contra o tamanho do espaço de onde é retirado.
  
  $\frac{77 162}{2 ^{32}} = 1.8 \times 1 0^{- 5} = 0.0018%$
Resposta

O limiar cresce como √N e não como N/2 — e para uma dispersão de 32 bits isso são 77.162 elementos, 0,0018 % do espaço, antes de uma colisão ser mais provável do que a sua ausência. É o ataque dos aniversários, e é por isso que as somas de verificação de 32 bits não servem para desduplicar à escala, e por isso que as saídas de dispersão são dimensionadas em bits já com a raiz quadrada descontada. O 23 do painel é um único ponto dessa curva. O que se transfere é a curva.

$n \approx 1.1774 N : 365 \to 23, 2^{32} \to 77162$

Percurso de aprendizagem

Quando duas coisas vão dar ao mesmo valor

Conduz a Tabelas de hash o argumento da contagem de pares e o hábito de calcular o complementar — a probabilidade de nada colidir.

Referências (1)

Why real, non-uniform birth dates make a collision MORE likely, not less — so 50.7% at 23 people is a floor: A. G. Munford, “A Note on the Uniformity Assumption in the Birthday Problem.” The American Statistician 31, 119, 1977.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-05-15

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

escritório n=10 - n=10 -> 11.7% de chance - parece seguro, mas já são 45 pares sendo comparados
turma n=23 - n=23 -> 50.7% de chance - o famoso ponto de virada: mais provável do que não
sala n=30 - n=30 -> 70.6% de chance - aproximadamente 2 em 3 para uma sala de aula típica
auditório n=57 - n=57 -> 99.0% de chance - quase certeza com apenas 57 pessoas