Laboratório de Média vs Mediana

Os rendimentos seguem uma distribuição log-normal com σ = 1,5. Calcule que fração da população ganha menos do que a média. Em seguida, mostre que nunca precisou de σ — a média e a mediana publicadas são suficientes.

1. Log-normal significa que o logaritmo é normal: ln X é N(μ, σ²). Tudo o que se segue é uma afirmação sobre ln X traduzida de volta, e esse é o único truque do problema.

   $$\ln X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$$

2. A mediana é simples. Metade de ln X situa-se abaixo de μ, e como o logaritmo preserva a ordem, metade de X situa-se abaixo de e^μ. A mediana é e^μ.

   $$\text{median}=e^{\mu },\text{mean}=e^{\mu +{\sigma }^2/2}$$

3. A média não é e^μ, e essa diferença é a essência do problema. Para uma distribuição log-normal, a média é e^(μ + σ²/2) — a média fica acima da mediana por um fator de e^(σ²/2), que para σ = 1,5 é e^1,125 = 3,0802.

   $$\frac{\text{mean}}{\text{median}}=e^{{\sigma }^2/2}=e^{1.125}=3.0802$$

4. Agora, a proporção. Perguntar que fração ganha abaixo da média é perguntar P(X < e^(μ + σ²/2)), e aplicar logaritmos a ambos os lados transforma a expressão em P(ln X < μ + σ²/2), o que é uma questão normal com uma resposta normal.

   $$P\left(X<e^{\mu +{\sigma }^2/2}\right)=P\left(\ln X<\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}\right)$$

5. Padronize: subtraia μ e divida por σ, cancelando o μ. A resposta é Φ(σ/2), e para σ = 1,5 isso é Φ(0,75) = 0,7734. 77,34% ganham abaixo da média.

   $$=\Phi \left(\frac{\mu +{\sigma }^2/2-\mu }{\sigma }\right)=\Phi \left(\frac{\sigma }{2}\right)=\Phi (0.75)=0.7734$$

6. μ desapareceu, por isso a escala é irrelevante: uma população com mediana 1, 148 ou 22 026 produz os mesmos 77,3% apresentados no painel. Percorrendo o raciocínio em sentido inverso, σ = √(2 ln(média/mediana)): a razão, por si só, determina σ, e σ determina a proporção.

   $$\sigma =\sqrt{2\ln \left(\frac{\text{mean}}{\text{median}}\right)}\Rightarrow \text{share}=\Phi \left(\frac{\sigma }{2}\right)$$

Uma aldeia de cinco agregados declara rendimentos de 10, 20, 30, 40 e 5.000. Calcule a média e a mediana; depois suponha que um dos cinco valores é um erro de digitação e decida o que ainda se pode afirmar.

1. A média é o total repartido: 5.100 por cinco agregados familiares dá 1.020. Repare no efeito antes de prosseguir. A média é maior do que quatro dos cinco números a partir dos quais foi calculada.

   $$\bar{x}=\frac{10+20+30+40+5000}{5}=\frac{5100}{5}=1020$$

2. A mediana é uma posição e não um total. Ordene os cinco valores e tome o terceiro, que é 30. Quatro agregados ficam abaixo da média e dois ficam abaixo da mediana, nos mesmos dados.

   $$x_{(1)},\dots ,x_{(5)}=10,20,30,40,5000⟹\mathrm{med}=x_{(3)}=30$$

3. O cartão da razão média / mediana indica 34,00. Em dados simétricos situa-se em 1; portanto, uma leitura de 34 é a página a dizer que os dois resumos deixaram de descrever a mesma aldeia.

   $$\frac{\bar{x}}{\mathrm{med}}=\frac{1020}{30}=34.00$$

4. Arraste o quinto valor e observe a média. Desloca-se um quinto por cada unidade acrescentada, sem nada que a detenha: de um extremo do cursor deslizante ao outro, a média vai de 22 a 1.020.

   $$\frac{\partial \bar{x}}{\partial x_5}=\frac{1}{5}=0.2⟹x_5:10\to 5000\Rightarrow \bar{x}:22\to 1020$$

5. A mediana, ao longo desse mesmo arrasto, assume dois valores, 20 e 30, e a ordenação é a razão. Qualquer valor abaixo de 20 deixa 20 na terceira posição; qualquer valor acima de 30 deixa 30 nessa posição; entre os dois, o quinto valor é ele próprio a mediana. Quer o agregado familiar ganhe 5.000 quer cinco milhões, a mediana fica presa numa janela com largura dez.

   $$x_5\le 20\Rightarrow \mathrm{med}=20;20\le x_5\le 30\Rightarrow \mathrm{med}=x_5;x_5\ge 30\Rightarrow \mathrm{med}=30$$

6. Agora, a versão mais difícil da pergunta. Sabe-se que um dos cinco valores está errado, mas não qual. Analise os cinco casos e a mediana corrigida tem de cair entre 20 e 40, seja qual for o valor verdadeiro. A média corrigida pode ser qualquer coisa.

   $$\mathrm{med}\in [20,40],\bar{x}\in (-\infty ,\infty )$$