Aufgaben vollständig gelöst
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Erreichen der Umlaufbahn mit einem Massenverhältnis von 4,5 und 311 s spezifischem Impuls 5 Schritte
Eine Stufe führt 3,5 Tonnen Treibstoff auf jede 1 Tonne des gesamten restlichen Gewichts mit — Tanks, Triebwerk und Nutzlast zusammen — bei einem Triebwerk mit 311 s spezifischem Impuls. Bestimmen Sie ihr Δv und untersuchen Sie anschließend, ob eine so konstruierte einzelne Stufe jemals eine Umlaufbahn erreichen könnte. Dieses Verhältnis von Voll- zu Leermasse entspricht einem Massenverhältnis von 4,5, und 311 s ist der Wert, den die Voreinstellung der ersten Stufe der Saturn V im Werkzeug enthält — nahe dem oberen Ende des Kerosin-Sauerstoff-Bereichs, der von etwa 260 s auf Meereshöhe bis 310 s im Vakuum reicht.
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Der in Sekunden angegebene spezifische Impuls ist im Grunde die Ausströmgeschwindigkeit: Er ist die Ausströmgeschwindigkeit geteilt durch die Erdbeschleunigung, sodass die Rückmultiplikation den Wert liefert, den die Raketengleichung tatsächlich benötigt. Sekunden werden verwendet, weil der Wert dann in angloamerikanischen Einheiten derselbe ist, nicht weil irgendetwas 311 s dauert.
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Der Logarithmus bildet ein Verhältnis, sodass nur die Proportionen von Bedeutung sind. Eine 3-Tonnen-Stufe und eine 3000-Tonnen-Stufe, die in diesen Proportionen gebaut sind, liefern dieselben 4,587 km/s.
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Betrachten Sie dasselbe Massenverhältnis stattdessen als Anteil der Startmasse. Fast vier Fünftel der Stufe bestehen aus Treibstoff, und das hat weniger als die Hälfte von dem erbracht, was ein Start in eine Umlaufbahn kostet.
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Wenden Sie die Gleichung also vom Ziel ausgehend rückwärts an. Das Erreichen einer niedrigen Erdumlaufbahn vom Boden aus erfordert unter Berücksichtigung von Luftwiderstands- und Gravitationsverlusten etwa 9,4 km/s, was bei dieser Ausströmgeschwindigkeit das erforderliche Massenverhältnis festlegt — sodass 4,6 % der Startmasse für Tanks, Triebwerk, Struktur und Satellit zusammen übrig bleiben.
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Niemand baut Tankanlagen so leicht. Eine gut gebaute Kerosinstufe besteht zu etwa 8 % der Vollmasse aus Strukturmasse, und das allein begrenzt das Massenverhältnis auf 12,5, bevor auch nur ein einziges Kilogramm Nutzlast hinzugefügt wird. Was von 9,4 km/s übrig bleibt, ist das Defizit.
Antwort
Das Werkzeug gibt eine Ausströmgeschwindigkeit von 3050 m/s, 4,587 km/s an Δv und einen Treibstoffanteil von 77,78 % aus. Der letzte Schritt zeigt, wozu die Gleichung dient, denn sie besagt nicht, dass eine einzelne Stufe schwer wäre — sie besagt, dass das Δv selbst bei einer Nutzlast von null nicht vorhanden ist. Selbst bei 6 % Strukturmasse, was in etwa das Beste ist, was eine große Kerosinstufe erreicht, kommt die Gesamtsumme nur auf 8,58 km/s. Um 9,4 km/s in einer Stufe bei 8 % Strukturmasse abzudecken, wäre ein spezifischer Impuls von 380 s erforderlich, ein Fünftel mehr als bei diesem Triebwerk und jenseits jedes jemals geflogenen Kerosintriebwerks; Wasserstoff-Sauerstoff-Triebwerke erreichen etwa 450 s, weshalb jede ernsthafte Studie zu einer einstufigen Trägerrakete auf Wasserstoff setzte. Der andere Ausweg besteht darin, den leeren Tank nicht weiter mitzuführen: Wirft man ihn ab, beginnt die Gleichung erneut mit einem weit kleineren m₀, was die Stufung nicht zu einer Optimierung macht, sondern zur Umgehung einer Unmöglichkeit.
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Treibstoffaufwand für eine Rakete, die 4,587 km/s zum Erreichen der Umlaufbahn benötigt 6 Schritte
Die Tafel sagt, diese Rakete schafft 4,587 km/s mit 77,78 % Treibstoffanteil an der Startmasse. Ein Orbit braucht etwa 9,4. Doppelte Geschwindigkeit heißt nicht doppelter Treibstoff — rechne aus, was es wirklich kostet, und dann, wie man das umgangen hat.
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Beginne dort, wo die Tafel steht. Die Ausströmgeschwindigkeit ist nur der spezifische Impuls mal g₀, und das Δv folgt allein aus dem Massenverhältnis.
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Lies den Treibstoffanteil wörtlich: bei einem Massenverhältnis von 4,5 ist alles außer einem Teil von 4,5 Treibstoff, der weggeworfen wird.
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Verlange nun von derselben Maschine 9,4 km/s. Löse die Raketengleichung um, und das Massenverhältnis verdoppelt sich nicht — es geht exponentiell, auf 21,80.
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Sieh dir an, was 95,41 % bedeutet, bevor du weitergehst. Tanks, Triebwerke, Struktur, Steuerung und Nutzlast bekommen zusammen 4,59 % der Startmasse. Das ist kein schwieriges Konstruktionsziel, das ist ungefähr eine Seifenblase, die einen Start überstehen muss.
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Teile die Aufgabe also in zwei. Jede Stufe leistet 4,7 km/s und braucht ein Massenverhältnis von 4,669 — miteinander multipliziert ergeben sie exakt wieder 21,80.
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Warum multipliziert: Δv addiert sich, und Δv ist ein Logarithmus des Verhältnisses. Eine Summe von Logarithmen ist der Logarithmus eines Produkts.
Antwort
Stufung verkleinert das Massenverhältnis nicht. Sie zerlegt es in Faktoren. 21,80 ist in einem Stück unerreichbar und als zwei Exemplare von 4,669 trivial, und ehrlich ist der Trick deshalb, weil die leeren Tanks der ersten Stufe in dem Moment aufhören, Fracht zu sein, in dem man sie loslässt. Jede Stufe ist dann zu 78,58 % Treibstoff — und sieh noch einmal auf die Tafel, die die ganze Zeit 77,78 % zeigt. Die Voreinstellung ist keine Rakete, die einen Orbit erreicht. Sie ist eine Stufe einer Rakete, die es tut.
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Lernpfad
Umlaufbahnen aus zwei Zahlen
Quellen (1)
- The equation itself: K. E. Tsiolkovsky, "Исследование мировых пространств реактивными приборами" ("Exploration of Outer Space by Means of Rocket Devices"). Nauchnoye Obozreniye, 1903.