Skalierung von DNA-Computing

DNA kann viele Routen parallel testen, doch n! Kandidaten benötigen weiterhin n! physische Moleküle.

Rechenbeispiel — Skalierung von DNA-Computing

Kandidatenrouten, n!	5,11 × 10¹⁹
Länge jedes Strangs	420 nt
Benötigte ssDNA-Masse	1,18 × 10¹ g
Vergleichbare Größenordnung	Gramm

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Parallelität beseitigt keine Komplexität 🖖

Adlemans Experiment bewies, dass molekulare Reaktionen Kandidatenpfade filtern können. Das faktorielle Wachstum blieb bestehen. Eine Molekülkopie je Route wandelt Rechenzeit nur in Material um: Strangzahl und Masse wachsen weiter wie n!.

Keine Codierung ist eine Stadt wert 🖖

Verzehnfacht man die Basen pro Stadt, verzehnfacht sich die benötigte Masse genau — und der Punkt, an dem sie die Erdmasse überschreitet, verschiebt sich überhaupt nicht: 39 Städte bei 20 Basen, 39 bei 200. Selbst eine unmögliche einzige Base pro Stadt bringt ihn nur auf 40. Die Codierung ist ein konstanter Faktor. n! ist keiner.

Jede weitere Stadt kostet mehr als die vorige 🖖

Eine Stadt hinzuzufügen multipliziert den Bedarf mit (n+1)²/n — die neuen Permutationen und für jede davon ein längerer Strang. Das sind 22× bei zwanzig Städten, 32× bei dreißig und 41× von neununddreißig auf vierzig. Ein Gramm deckt 21 Städte, eine Tonne 25: vier Städte mehr für den Faktor eine Million.

Aufgabe vollständig gelöst

Die 20-Städte-Tour, die in ein halbes Gramm passt, und die 39-Städte-Tour, die nicht auf die Erde passt 6 Schritte
Eine Tour des Handlungsreisenden durch 20 Städte wird wie bei Adleman kodiert: ein DNA-Strang pro Kandidatenroute, 20 Nukleotide pro Stadt. Berechnen Sie, wie viel DNA die Bibliothek wiegt. Fügen Sie dann so lange Städte hinzu, bis es nicht mehr möglich ist, und geben Sie an, wo die Grenze tatsächlich liegt.
1. Zählen wir zuerst die Kandidaten. Bei festgelegter Startstadt ist eine Tour eine Anordnung der verbleibenden Städte, sodass es 20! davon gibt. Das sind 2.432.902.008.176.640.000 — sagen wir 2,43 × 10¹⁸.
  
  $20! = 2, 432, 902, 008, 176, 640, 000 \approx 2.43 \times 1 0^{18}$
2. Nun wiegen wir einen Kandidaten. Jede der 20 Städte trägt 20 Nukleotide bei, sodass ein Strang 400 nt lang ist, und einzelsträngige DNA wiegt etwa 330 g pro Mol Nukleotid.
  
  $L = 20 \times 20 nt = 400 nt$
3. Ein Mol entspricht der Avogadro-Zahl an Strängen; dividieren wir also durch diese, um die Masse eines einzelnen Moleküls zu erhalten: 400 × 330 ÷ 6,022 × 10²³, was 2,19 × 10⁻¹⁹ g ergibt.
  
  $m_{1} = \frac{400 \times 330}{6.022 \times 1 0 ^{23}} = 2.19 \times 1 0^{- 19} g$
4. Multiplizieren wir die beiden Werte. 2,43 × 10¹⁸ Stränge zu je 2,19 × 10⁻¹⁹ g ergeben 0,533 g — ein halbes Gramm in einem Reagenzglas, und das ist die Zahl, die DNA-Computing so klingen lässt, als würde es funktionieren.
  
  $M = 2.43 \times 1 0^{18} \times 2.19 \times 1 0^{- 19} = 0.533 g$
5. Fügen wir eine Stadt hinzu. Die Anzahl multipliziert sich mit 21 und der Strang wächst auf 420 nt, sodass sich die Masse mit 21 × (420/400) = 22,05 multipliziert, was 11,8 g ergibt. Die zusätzliche Stadt kostet das Zweiundzwanzigfache der gesamten vorherigen Bibliothek.
  
  $\frac{M _{21}}{M _{20}} = 21 \times \frac{420}{400} = 22.05 \Rightarrow 11.8 g$
6. Setzt man dies fort, wächst der Multiplikator selbst, weil er (n+1) × (1 + 1/n) beträgt. Bei 38 Städten wiegt die Bibliothek 2,18 × 10²⁶ g, was 3,65 % der Erde entspricht. Bei 39 wiegt sie 8,72 × 10²⁷ g, und die Erde wiegt 5,97 × 10²⁷.
  
  $M_{39} = 8.72 \times 1 0^{27} g > M_{\oplus} = 5.97 \times 1 0^{27} g$
Antwort

Ein halbes Gramm bei 20 Städten und 1,46 Erdmassen bei 39. Der Sprung von 38 auf 39 entspricht einem Faktor von 40,0, und er steigert den Bedarf von einem Siebenundzwanzigstel des Planeten auf das Anderthalbfache des Planeten — durch eine einzige Stadt. Das ist das gesamte Argument gegen molekulares Brute-Force, und man beachte, was es nicht ist: Es liegt nicht daran, dass DNA langsam ist, oder dass die Chemie unzuverlässig ist, oder dass wir die Stränge nicht herstellen können. Jeder dieser Punkte könnte behoben werden. Was sich nicht beheben lässt, ist, dass n! Moleküle n! Moleküle wiegen. Massiver Parallelismus dividiert die ZEIT durch die Anzahl der Prozessoren und lässt die Anzahl der Prozessoren genau dort, wo sie war; ein Problem, das mehr Prozessoren benötigt, als Atome verfügbar sind, wartet also nicht auf bessere Ingenieurkunst. Das Werkzeug zeichnet die Massenkurve gegen die Erdlinie; was es nicht zeichnen kann, ist das Anwachsen dieses Multiplikators, weil es eine Masse ausgibt und niemals ein Verhältnis.

Lernpfad

Rechnen mit Molekülen

Führt zu Levinthals Paradox warum mehr Moleküle nicht mehr helfen.

Quellen (2)

The seven-vertex directed Hamiltonian-path experiment this scaling argument starts from: L. M. Adleman, “Molecular Computation of Solutions to Combinatorial Problems.” Science 266(5187), 1021–1024, 1994.
The molecular-weight approximation used to turn nucleotide count into ssDNA mass: MIT OpenCourseWare, 5.36 Biochemistry Laboratory manual, 2009.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-22

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

Alle Lektionen: Biologie & Chemie →

Beispielaufgaben

Adleman: 7 Knoten - Adlemans sieben Städte brauchen 3,87 × 10⁻¹⁶ g DNA. Schwierig war das Filtern, nicht das Material.
Ein-Gramm-Grenze - Bei einundzwanzig Städten überschreitet ein Strang pro Route erstmals ein Gramm: 1,18 × 10¹ g.
Ein-Kilogramm-Grenze - Zwei Städte mehr, und aus dem Gramm sind 6,52 × 10³ g geworden — Faktor 550 für zwei Städte.
Erdmassen-Grenze - Neununddreißig Städte: 8,72 × 10²⁷ g, schwerer als die Erde.