Rechner für komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen erweitern die eindimensionale reelle Achse zu einem orthogonalen 2D-Körper. Operationen kodieren Größenordnung und kontinuierliche Rotation über Eulers Identität und bieten den Rahmen für Quantenmechanik und Wechselstromdynamik.

Eine komplexe Zahl ist einfach ein Punkt in der Ebene. Die kartesische Form a + bi benennt ihn über Koordinaten — so weit nach rechts, so weit nach oben —, die Polarform r∠θ über Abstand und Richtung vom Ursprung. Derselbe Punkt, zwei Bezeichnungen; schalten Sie die Polarform-Anzeige um, um beide zugleich zu sehen. Faustregel: kartesische Form zum Addieren, Polarform zum Multiplizieren und Potenzieren.

Komplexe Zahlen wurden nicht erfunden, um x² + 1 = 0 zu lösen — das interessierte niemanden. Erzwungen wurden sie durch kubische Gleichungen. Cardanos Formel von 1545 für x³ = px + q führt mitunter über Quadratwurzeln negativer Zahlen, selbst wenn alle drei Lösungen gewöhnliche reelle Zahlen sind. 1572 zeigte Bombelli, dass sich diese „unmöglichen“ Größen wegheben und die richtigen reellen Antworten liefern. Das Imaginäre war ein Umweg zum Reellen.