Fourier-Reihen-Baukasten

Jeder rotierende Zeiger liefert eine Sinuskomponente beim harmonischen Index k. Reiht man die Zeiger Spitze an Spitze aneinander, ergibt sich die Partialsumme f_N(x). Mit wachsendem N schärft der hochfrequente Anteil die Ecken, während in der Nähe von Sprungstellen ein begrenztes Gibbs-Überschwingen bestehen bleibt.

Fouriers Erkenntnis: Jedes periodische Signal — egal wie zackig — ist eine Summe reiner Sinuswellen, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache einer Grundschwingung sind. Die Schieberegler wählen nur, wie viele dieser Bausteintöne gestapelt werden. Bei einer Rechteckwelle treten nur ungerade Harmonische auf, jede schwächer als die vorige: die 3. trägt 1/3 der Amplitude der Grundschwingung, die 5. nur 1/5. Mehr Terme schärfen die Summe zur Zielform.

Nahe einem Sprung überschwingt die Partialsumme um etwa 8.95% der Sprunghöhe — und diese Spitze schrumpft nie, egal wie viele Harmonische man hinzufügt; sie wird nur schmaler. Der Physiker Albert Michelson stieß 1898 darauf, als sein mechanischer harmonischer Analysator an den Kanten einer Rechteckwelle hartnäckig Spitzen zeichnete, und er vermutete einen Gerätefehler. J. Willard Gibbs bewies, dass die Maschine recht hatte: Das Überschwingen ist echte Mathematik. Dasselbe „Ringing“ plagt JPEG-Bilder an scharfen Kanten.