Logarithmus-Explorer

Beobachte, wie eine veränderte Basis die Kurve umformt, vergleiche live mit ln(x) und log₁₀(x), und entdecke, warum Logarithmen aus Multiplikation eine Addition machen.

Startwerte — Logarithmus-Explorer

ln(x) — natürlicher Logarithmus	on
log₁₀(x) — dekadischer Logarithmus	on
x-Wert	2

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Lektion

Die Theorie — Logarithmus-Explorer

Ein Logarithmus ist ein Exponent. log_b(x) ist die Potenz, in die du b erheben musst, um x zu erhalten. log_b(x) = y und b^y = x sind also ein und dieselbe Aussage in zwei Lesarten.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

b: die Basis. Das ist die Zahl, die potenziert wird. Sie kann jeden positiven Wert außer 1 annehmen. Wenn du 1 potenzierst, erhältst du immer nur 1. Ein anderes x könntest du so nie erreichen.
x: das Argument. Das ist der Wert, den du erreichen willst. Er muss positiv sein. Keine reelle Potenz einer positiven Basis fällt jemals auf null oder darunter.
y: das Ergebnis, also der Exponent selbst. Hier gibt es keine Einschränkungen. Unabhängig von der Basis ist der Wert exakt 0, wenn x gleich 1 ist. Bei einer Basis größer als 1 ist das Ergebnis negativ für x kleiner 1 und positiv für alle Werte darüber. Bei einer Basis kleiner als 1 vertauschen sich diese beiden Hälften. Das ist der halfBase-Fall.

Woher die Formel kommt

Beginne mit der Definition. Wenn log_b(x) = y gilt, dann ist b^y = x.
Bilde auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus. Was du auf der einen Seite tust, musst du auch auf der anderen tun. Das ergibt ln(b^y) = ln(x).
Das Logarithmusgesetz für Potenzen zieht den Exponenten nach vorne, also ln(b^y) = y·ln(b). Übrig bleibt y·ln(b) = ln(x).
Teile durch ln(b). Daraus folgt y = ln(x) / ln(b). Das ist die Basiswechselformel. Genau diese Zeile steht im Panel oben. Für die Basis 2 und x = 2 lautet sie 0.69 / 0.69 = 1.

So liest du, was du siehst

Es sind drei Kurven gezeichnet. Da ist zunächst deine Kurve für die gewählte Basis. Dazu kommen ln(x) und log₁₀(x) als feste Referenzen zum Vergleichen. Alle drei verlaufen durch den kleinen Punkt bei (1, 0). Jede Basis hoch 0 ergibt nämlich 1. Der größere Punkt liegt dort, wo das Argument gleich der Basis ist, also bei (b, 1). Er gleitet an der Kurve entlang, wenn du die Basis verschiebst. Fährst du mit der Maus über den Graphen, werden dir alle drei Logarithmen für dieses genaue x angezeigt.

Setzt voraus: b > 0, b ≠ 1 und x > 0. Das sind keine reinen Formalitäten. Es sind exakt die Bedingungen, unter denen die Frage „b hoch wie viel ergibt x?“ genau eine reelle Lösung hat.
Versagt, wenn: Die Basis 1 ist der interessante Fehlerfall. Schritt 4 zeigt den Grund. Die Herleitung teilt durch ln(b), und ln(1) = 0. Daher ist der Wert nicht einfach nur groß, sondern undefiniert. Du kannst dort nicht verweilen. Tippe eine 1 als Basis ein und sie wird durch 0.99 ersetzt. Dort teilt die Basiswechselformel durch einen Wert nahe −0,01. Das Ergebnis springt für dasselbe x = 2 auf −68.97. Unterhalb von 1 bleibt dieser Divisor negativ und die gesamte Kurve kippt um. Es ist immer noch ein Logarithmus, aber jetzt ein fallender.

warum Logarithmen überall auftauchen 🖖

Logarithmen verwandeln Multiplikation in Addition — das ist der ganze Trick, und deshalb tauchen sie überall dort auf, wo riesige Wertebereiche auf etwas Lesbares komprimiert werden müssen. Die pH-Skala ist -log₁₀[H⁺]: Jede ganze Stufe bedeutet eine Verzehnfachung der Säurestärke. Dezibel sind 10·log₁₀(Leistungsverhältnis): Ein leiser Raum und ein Düsentriebwerk unterscheiden sich in der reinen Leistung um etwa das Billionenfache, aber nur um rund 120 dB. Die Richter- bzw. Momenten-Magnituden-Skala funktioniert genauso — ein Erdbeben der Stärke 7 setzt etwa 32-mal mehr Energie frei als eines der Stärke 6, nicht 7/6-mal mehr. Vor dem Taschenrechner trugen Ingenieure Rechenschieber bei sich, die diesen Additionstrick in ein physisches Lineal verwandelten: Zwei logarithmisch skalierte Leisten gegeneinander verschieben genügte, um zwei Zahlen durch Addition von Längen zu multiplizieren. Und in der Informationstheorie ist die Anzahl der Bits, die zur Darstellung von etwas nötig sind, buchstäblich log₂ der Anzahl der Möglichkeiten — jede Verdopplung der Auswahlmöglichkeiten kostet genau ein weiteres Bit.

Jede Basis ist dieselbe Kurve 🖖

Verschiebe die Basis und die Graphen scheinen ihre Form zu ändern — tun sie aber nicht. Der Basiswechsel liefert log_b(x) = ln(x) / ln(b), jede Kurve ist also nur ln(x) multipliziert mit einer festen Zahl. Der Regler streckt lediglich eine einzige universelle Kurve in der Höhe. Fällt die Basis unter 1, wird dieser Faktor negativ und die Kurve klappt um; genau bei 1 bricht alles zusammen, denn ln(1) = 0 bedeutet Division durch null.

LOGARITHMEN — IN WELCHER BASIS DU RECHNEST UND WIE MAN WECHSELT

In welchem Logarithmus-Fall bist du?

Ein Logarithmus stellt eine einzige Frage — welche Potenz von b ergibt x? —, aber die Basis entscheidet, wozu die Antwort gut ist. Basis e taucht überall dort auf, wo etwas proportional zu sich selbst wächst; Basis 10 zählt Größenordnungen; eine Basis unter 1 kippt die ganze Kurve; und jede Basis lässt sich mit einer einzigen Division in jede andere umrechnen. Der letzte Fall überrascht: Nähert sich die Basis der 1, explodiert der Logarithmus.

Natürlicher Logarithmus — Basis e, den die Analysis bevorzugt ln x = log_e x

Zehnerlogarithmus — Basis 10, Größenordnungen zählen log₁₀ x

Basis unter 1 — die Kurve kippt 0 < b < 1

Basiswechsel — jeder Logarithmus ist jeder andere, nur skaliert log_b x = ln x / ln b

Basis knapp über 1 — der Logarithmus explodiert b → 1 ⇒ ln b → 0

Natürlicher Logarithmus — Basis e, den die Analysis bevorzugt

Was du weißt: Die Basis ist e ≈ 2,718. Geschrieben als ln x, ist das der Logarithmus, der immer dann auftaucht, wenn eine Änderungsrate proportional zum aktuellen Bestand ist.

Basis: ln x = log_e x

Rechenbeispiel: ln 2 = 0,693, denn e^0,693 = 2 — und dieses 0,693 ist der Grund für "Verdopplungszeit = ln 2 / Wachstumsrate"

Diesen Fall öffnen: natürlicher Logarithmus

Natürlicher Logarithmus — Basis e, den die Analysis bevorzugt. Der natürliche Logarithmus: Steigung exakt 1/x und die Fläche unter der Kehrwertkurve. Die Basis ist e ≈ 2,718. Geschrieben als ln x, ist das der Logarithmus, der immer dann auftaucht, wenn eine Änderungsrate proportional zum aktuellen Bestand ist. — Der natürliche Logarithmus: Steigung exakt 1/x und die Fläche unter der Kehrwertkurve.

Zehnerlogarithmus — Basis 10, Größenordnungen zählen

Was du weißt: Die Basis ist 10. Jeder Schritt um 1 im Ergebnis bedeutet, dass die Eingabe mit zehn multipliziert wurde.

Basis: log₁₀ x

Rechenbeispiel: log₁₀ 100 = 2, log₁₀ 1000 = 3 — ein Sprung um den Faktor zehn in x addiert genau 1

Diesen Fall öffnen: dekadischer Logarithmus

Zehnerlogarithmus — Basis 10, Größenordnungen zählen. Jede Verzehnfachung von x legt denselben Weg auf der Kurve zurück. Die Basis ist 10. Jeder Schritt um 1 im Ergebnis bedeutet, dass die Eingabe mit zehn multipliziert wurde. — Jede Verzehnfachung von x legt denselben Weg auf der Kurve zurück.

Basis unter 1 — die Kurve kippt

Was du weißt: 0 < b < 1. Ein Bruch wird durch höhere Potenzen kleiner, der Logarithmus fällt also statt zu steigen und wird für x > 1 negativ.

Basis: 0 < b < 1

Rechenbeispiel: log₀,₅ 4 = −2, denn 0,5⁻² = 4 — betragsgleich zu log₂ 4 = 2, nur mit umgekehrtem Vorzeichen

Diesen Fall öffnen: Basis < 1

Basis unter 1 — die Kurve kippt. Mit einer Basis unter 1 fällt die Kurve: Größeres x ergibt einen negativeren Logarithmus. 0 < b < 1. Ein Bruch wird durch höhere Potenzen kleiner, der Logarithmus fällt also statt zu steigen und wird für x > 1 negativ. — Mit einer Basis unter 1 fällt die Kurve: Größeres x ergibt einen negativeren Logarithmus.

Basiswechsel — jeder Logarithmus ist jeder andere, nur skaliert

Was du weißt: Du brauchst eine Basis, die dein Taschenrechner nicht hat. Teile zwei Logarithmen in einer Basis, die er hat: log x zur Basis b = ln x / ln b.

Basis: log_b x = ln x / ln b

Rechenbeispiel: log₄ 16 = ln 16 / ln 4 = 2,7726 / 1,3863 = 2, und dieselbe Division klappt mit log₁₀ statt ln

Diesen Fall öffnen: Basiswechsel

Basiswechsel — jeder Logarithmus ist jeder andere, nur skaliert. Eine Kurve, neu skaliert: Die Division durch ln b überführt jede Basis in jede andere. Du brauchst eine Basis, die dein Taschenrechner nicht hat. Teile zwei Logarithmen in einer Basis, die er hat: log x zur Basis b = ln x / ln b. — Eine Kurve, neu skaliert: Die Division durch ln b überführt jede Basis in jede andere.

Basis knapp über 1 — der Logarithmus explodiert

Was du weißt: b liegt nahe bei 1, also ist ln b nahe null. Da log x zur Basis b = ln x / ln b gilt, macht die Division durch diese winzige Zahl das Ergebnis riesig.

Basis: b → 1 ⇒ ln b → 0

Rechenbeispiel: log₁,₀₅ 50 = ln 50 / ln 1,05 = 3,912 / 0,04879 = 80,2 — es braucht 80 Schritte mit 5 % Wachstum, um sich zu verfünfzigfachen

Diesen Fall öffnen: nahe b = 1

Basis knapp über 1 — der Logarithmus explodiert. Je näher die Basis an 1 rückt, desto steiler die Kurve; bei genau 1 existiert sie nicht. b liegt nahe bei 1, also ist ln b nahe null. Da log x zur Basis b = ln x / ln b gilt, macht die Division durch diese winzige Zahl das Ergebnis riesig. — Je näher die Basis an 1 rückt, desto steiler die Kurve; bei genau 1 existiert sie nicht.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

Stelle die Basis auf 0.5 und belasse x bei 2. Bevor du nachsiehst: Wird das Ergebnis positiv oder negativ sein, und ungefähr wie groß?

Antwort anzeigen

Negativ und klein. Der exakte Wert ist log₀.₅(2) = −1. Der Basiswechsel macht daraus ln(2)/ln(0.5). Da ln(0.5) negativ ist, spiegelt sich die gesamte Kurve. Das Ergebnis ist exakt −1, denn 0,5 hoch −1 ergibt 2. Das entspricht einem einmaligen Halbieren, aber rückwärts.
Der größere Punkt liegt immer bei (b, 1). Ziehe die Basis von 2 hoch bis 9 und sage voraus, was der Punkt macht. Warum bleibt das Ergebnis die ganze Zeit über 1?

Antwort anzeigen

Er gleitet auf der Kurve nach rechts und bleibt dabei auf der Höhe 1. Für jede Basis gilt log_b(b) = 1. Die Frage „Welche Potenz von b ergibt b?“ liefert schließlich immer 1. Der Punkt bewegt sich horizontal, weil seine x-Koordinate genau die Basis ist, die du gerade verschiebst.
Tippe eine 1 als Basis ein. Sage voraus, was passiert, bevor du etwas drückst. Verläuft die Kurve vertikal, flach oder passiert etwas völlig anderes?

Antwort anzeigen

Nichts davon. Die Seite verweigert den Wert und setzt dafür 0.99 ein. Schritt 4 der Herleitung teilt durch ln(b), und ln(1) = 0. Daher ist die Basis 1 undefiniert und nicht einfach nur extrem steil. Bei 0,99 teilt die Basiswechselformel durch einen Wert nahe −0,01. Sie zeigt dann −68.97 an. Das ist eine riesige negative Zahl. Genau so sieht es aus, wenn man sich einer Definitionslücke von einer Seite nähert.

Aufgabe vollständig gelöst

Warum 2¹⁰ = 1024 und 10³ = 1000 nah beieinander liegen 5 Schritte
2¹⁰ = 1024 und 10³ = 1000, und sie liegen aus einem Grund nahe beieinander, den dieses Feld bereits anzeigt. Finden Sie den Grund und bestimmen Sie dann, wie schnell diese Übereinstimmung schwindet.
1. Der Basiswechsel verwandelt jeden Logarithmus in einen Quotienten zweier anderer. Das Werkzeug zeigt ln(2) = 0,693147 und log₁₀(2) = 0,30103, und log₂(10) ist der Kehrwert des zweiten: 3,32193.
  
  $lo g_{2} 10 = \frac{ln 10}{ln 2} = \frac{2.302585}{0.693147} = 3.32193 = \frac{1}{0.30103}$
2. Zehn Verdopplungen, ausgedrückt in Zehnerpotenzen, entsprechen also 10 × 0,30103.
  
  $2^{10} = 1 0^{10 l o g_{10} 2} = 1 0^{3.0103}$
3. Der Exponent lautet 3,0103 statt 3. Diese 0,0103 bilden die gesamte Abweichung, und als Zehnerpotenz genommen ergibt dies 1,024.
  
  $1 0^{3.0103} = 1 0^{3} \times 1 0^{0.0103} = 1000 \times 1.024 = 1024$
4. Die Lücke vergrößert sich kumulativ, da sich der Überschuss multipliziert statt addiert. Ein Kibibyte liegt 2,4% über tausend, ein Mebibyte 4,9% über einer Million und ein Gibibyte 7,4% über einer Milliarde.
  
  $\frac{2 ^{20}}{1 0 ^{6}} = 1.048576, \frac{2 ^{30}}{1 0 ^{9}} = 1.073741824$
5. Dieselbe 0,30103 ist der Grund, warum eine Verdopplung der Leistung als 3 dB bezeichnet wird. Der exakte Wert beträgt 3,0103 dB, und die gerundete Zahl ist eine praktische Näherung mit einem Fehler von eins zu dreihundert.
  
  $10 lo g_{10} 2 = 3.0103 dB$
Antwort

Das Werkzeug gibt ln(2) = 0,693147 und log₁₀(2) = 0,30103 aus. Den zweiten Wert sollte man sich direkt einprägen, da er zwischen den beiden Basen umrechnet, die tatsächlich verwendet werden: Bits und Dezimalstellen. Eine Zahl benötigt etwa 3,32 Bits pro Dezimalstelle, ein 2048-Bit-Schlüssel entspricht etwa 617 Dezimalstellen, und jeder Verdopplungsprozess überschreitet alle zehn Schritte einen Faktor von tausend. Die Schritte 4 und 5 beinhalten die dazugehörige Warnung: 2¹⁰ ≈ 10³ ist eine Näherung, die mit jeder Anwendung ungenauer wird. Das ist der Grund, warum Festplattenhersteller und Betriebssysteme seit dreißig Jahren über die Größe eines Terabytes uneinig sind — um 10% und weiter steigend.

$lo g_{10} 2 = 0.30103 : ten doublings are three decades, and 2.4%$

Lernpfad

Größenordnungen

Führt zu Skala des Universums die Tatsache, dass ein Logarithmus ein Exponent ist, sowie den Basiswechsel.

Quellen (5)

pH as −log₁₀[H⁺]: R. P. Buck et al., "Measurement of pH. Definition, standards, and procedures (IUPAC Recommendations 2002)." Pure and Applied Chemistry 74(11), 2169–2200, 2002.
The decibel as 10·log₁₀ of a power ratio: L. E. Kinsler, A. R. Frey, A. B. Coppens & J. V. Sanders, Fundamentals of Acoustics, 4th ed. Wiley, 2000. ISBN 978-0-471-84789-2.
Why one magnitude step is about 32× the energy — the scale is defined so that energy goes as 10^1.5 per unit: T. C. Hanks & H. Kanamori, "A moment magnitude scale." Journal of Geophysical Research: Solid Earth 84(B5), 2348–2350, 1979.
The slide rule, and the seventeenth-century instruments it came from: Florian Cajori, On the History of Gunter’s Scale and the Slide Rule during the Seventeenth Century. University of California Press, Berkeley, 1920.
Bits as log₂ of the number of possibilities: C. E. Shannon, "A Mathematical Theory of Communication." Bell System Technical Journal 27(3), 379–423, 1948.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

natürlicher Logarithmus - Natürlicher Logarithmus: ln(2) ≈ 0.693.
dekadischer Logarithmus - Dekadischer Logarithmus: log10(100) = 2.
Basis < 1 - Eine Basis unter 1 spiegelt die Kurve: log0.5(4) = -2.
Basiswechsel - Basiswechsel-Kontrolle: log4(16) = 2.
nahe b = 1 - Basis knapp über 1: Die Kurve verläuft fast senkrecht, da die Division durch ln(1.05) ≈ 0.049 das Ergebnis explodieren lässt.