Logarithmus-Explorer

Logarithmen verwandeln Multiplikation in Addition — das ist der ganze Trick, und deshalb tauchen sie überall dort auf, wo riesige Wertebereiche auf etwas Lesbares komprimiert werden müssen. Die pH-Skala ist -log₁₀[H⁺]: Jede ganze Stufe bedeutet eine Verzehnfachung der Säurestärke. Dezibel sind 10·log₁₀(Leistungsverhältnis): Ein leiser Raum und ein Düsentriebwerk unterscheiden sich in der reinen Leistung um etwa das Billionenfache, aber nur um rund 120 dB. Die Richter- bzw. Momenten-Magnituden-Skala funktioniert genauso — ein Erdbeben der Stärke 7 setzt etwa 32-mal mehr Energie frei als eines der Stärke 6, nicht 7/6-mal mehr. Vor dem Taschenrechner trugen Ingenieure Rechenschieber bei sich, die diesen Additionstrick in ein physisches Lineal verwandelten: Zwei logarithmisch skalierte Leisten gegeneinander verschieben genügte, um zwei Zahlen durch Addition von Längen zu multiplizieren. Und in der Informationstheorie ist die Anzahl der Bits, die zur Darstellung von etwas nötig sind, buchstäblich log₂ der Anzahl der Möglichkeiten — jede Verdopplung der Auswahlmöglichkeiten kostet genau ein weiteres Bit.

Ein Logarithmus stellt eine umgekehrte Frage: b hoch welche Zahl ergibt x? Diese Antwort ist der Logarithmus — log_b(x) ist einfach der Exponent. Deshalb verläuft jede Kurve in diesem Werkzeug durch (1, 0): jede Basis hoch 0 ergibt 1. Die beiden gezeigten Bezugskurven, ln(x) und log10(x), sind dieselbe Frage mit Basis e und Basis 10.

Verschiebe die Basis und die Graphen scheinen ihre Form zu ändern — tun sie aber nicht. Der Basiswechsel liefert log_b(x) = ln(x) / ln(b), jede Kurve ist also nur ln(x) multipliziert mit einer festen Zahl. Der Regler streckt lediglich eine einzige universelle Kurve in der Höhe. Fällt die Basis unter 1, wird dieser Faktor negativ und die Kurve klappt um; genau bei 1 bricht alles zusammen, denn ln(1) = 0 bedeutet Division durch null.