Vorrangregeln und wo man sich uneinig ist

Gib einen Ausdruck ein. Das Tool rechnet ihn Schritt für Schritt aus, nennt die Regel für jeden Rechenschritt und wertet dieselbe Zeile nach vier Konventionen aus, die sich nicht immer einig sind.

Rechenbeispiel — Vorrangregeln und wo man sich uneinig ist

Standard	17
Von links nach rechts	221
Implizit zuerst	17
Tabellenkalkulation	17
Verschiedene Ergebnisse	2
Schritte	6
Ergebnis	17

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Die Regel greift nur, wo ein × auf ein + trifft 🖖

Klick auf Warum es eine Regel gibt. 2 + 3 × 4 ergibt 14, wenn du die Regel kennst, und 20, wenn du von links nach rechts liest. Die Regel bewirkt also ganz offensichtlich etwas. Tippe nun 8-3-2 ein und danach 12/2*3. Sämtliche Konventionen auf dieser Seite sind sich bei beiden einig. Beide Ausdrücke bleiben nämlich auf ein und derselben Ebene, und jede Konvention liest eine Ebene von links nach rechts. Betrachten wir die Größenordnung: Bilde jeden Ausdruck mit drei Operatoren und Operanden von 1 bis 9 ausschließlich aus + und −. Ein einfacher Taschenrechner berechnet alle 52.488 davon richtig. Bestehen sie nur aus × und ÷, sind alle 52.488 erneut korrekt. Mischst du die beiden Ebenen, fallen 186.624 von 419.904 Ergebnissen unterschiedlich aus. Die Regel leistet genau dort ihre Arbeit, wo die Ebene von × und ÷ auf die von + und − trifft. Innerhalb der einzelnen Ebenen bewirkt sie absolut nichts.

Drei Stellen, an denen man sich nie einig war 🖖

2^3^2 ergibt 512 bei einer Klammerung nach rechts und 64 bei einer Klammerung nach links. −3² ergibt −9, wenn das Minuszeichen auf die Potenzierung wartet, und 9, wenn nicht. Microsofts eigene Vorrangtabelle für Excel führt die Negation an zweiter und die Potenzierung an vierter Stelle. Deshalb zeigt eine Tabellenzelle 9, wo ein Taschenrechner −9 ausgibt. Und 6 ÷ 2(1 + 2) ergibt 9 nach der klassischen Schulregel. Es ist jedoch 1, falls eine Zahl direkt vor einer Klammer stärker bindet als die Division. Genau so wird a/bc in vielen Lehrbüchern gelesen, und exakt davor warnt MathWorld, weil ein Computeralgebrasystem es eben nicht so interpretieren wird. Klick auf die vier Schaltflächen und beobachte, wie sich das Ergebnis verändert. Während du das tust, ändert sich die Mathematik dahinter nicht. Es ändert sich lediglich die Lesart.

Klammern sind der einzige Teil, der keine Konvention ist 🖖

Unter der Tabelle druckt das Tool denselben Ausdruck, aber jede Rechenoperation ist eingeklammert. Gib diese Zeile wieder in das Eingabefeld ein und die vier Lesarten fallen auf eine einzige Zahl zusammen. Das ist keine Eigenschaft dieser speziellen Beispiele: Nimm jeden Ausdruck mit drei Operatoren und den Operanden 1 bis 6, klammere jede Operation ein, und 0 von 82.944 weichen noch voneinander ab. Das ist das Argument für diese beiden Zeichen. In mathematischen Veröffentlichungen schreibt man a/(bc) oder stapelt den Bruch. Dann steckt die Zusammenfassung in der Geometrie statt in einer Regel, die dem Leser beigebracht worden sein muss.

Aufgabe vollständig gelöst

6 ÷ 2(1 + 2): ist es 9 oder 1? Die Diskussion läuft seit Jahren, und beide Seiten beherrschen die Grundrechenarten. Finde heraus, worum es bei diesem Streit eigentlich geht.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die Klammer kommt zuerst, daran gibt es keinen Zweifel. Beide Lesarten stehen nun vor derselben Zeile, mit einer 3 an der Stelle, wo zuvor die Klammer stand.
  
  $6 \div 2 (1 + 2) ⟶ 6 \div 2 (3)$
2. Die Schulregel: × und ÷ teilen sich eine Ebene, und eine Ebene wird von links nach rechts gelesen. Die Division kommt zuerst, weil sie zuerst geschrieben steht.
  
  $(6 \div 2) (3) = 3 \times 3 = 9$
3. Die andere Lesart: Eine Zahl direkt vor einer Klammer bildet eine zusammenhängende Größe. Somit ist 2(3) eine einzelne 6, noch bevor die Division überhaupt betrachtet wird.
  
  $6 \div (2 (3)) = 6 \div 6 = 1$
4. Beide sind in sich schlüssig und keine von beiden lässt sich aus der reinen Mathematik ableiten. Wechsle zwischen Standard und Implizit zuerst, und der Baum auf der Seite strukturiert sich um: Multiplikation ganz oben unter Standard, Division ganz oben unter Implizit zuerst.
  
  $(a \div b) c \neq = a \div (b c)$
5. Was das Problem löst, ist nicht etwa eine bessere Regel, sondern eine klarere Zeile. Die jeweilige Klammerung ist unter allen vier Konventionen eindeutig, und das Werkzeug zeigt dir die vollständig geklammerte Form unter der Tabelle an.
  
  $(6 \div 2) (1 + 2) = 9, 6 \div (2 (1 + 2)) = 1$
6. Deshalb ist dieser Ausdruck im Druck so selten. Eine Fachzeitschrift schreibt den Bruch übereinander. Ein gestapelter Bruch trägt seine Klammerung in der Geometrie, wo keine Konvention an sie herankommt.
  
  $\frac{6}{2} (1 + 2) = 9, \frac{6}{2 ( 1 + 2 )} = 1$
Antwort

Es gibt hier keine absolute Wahrheit. Sowohl 9 als auch 1 sind korrekte Lesarten einer Zeile, die zu ungenau geschrieben wurde, um nur einen einzigen Wert zu besitzen. Die Unstimmigkeit dreht sich ausschließlich darum, wie ein Divisionszeichen und eine implizite Multiplikation in einer Textzeile gelesen werden. Jede der vier Lesarten auf dieser Seite ist für sich genommen konsistent. Schreibe (6 ÷ 2)(1 + 2), wenn du 9 meinst, und 6 ÷ (2(1 + 2)), wenn du 1 meinst. Damit hört die Frage auf zu existieren.

$(6 \div 2) (1 + 2) = 9 \neq = 6 \div (2 (1 + 2)) = 1$

Quellen (2)

The spreadsheet convention, from the vendor's own precedence table: Microsoft, "Calculation operators and precedence in Excel", Microsoft Support. Negation is listed second and exponentiation fourth.
Why a number pressed against a bracket is read two ways, and the advice that follows: Eric W. Weisstein, "Solidus", MathWorld — A Wolfram Web Resource.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.