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Spiegelungen und die Kongruenzabbildungen der Ebene

Platziere bis zu drei Spiegelachsen und spiegele den Buchstaben F nacheinander an jeder davon. Die Seite ermittelt allein aus der kombinierten Abbildung, worum es sich handelt: eine Spiegelung, eine Drehung, eine Verschiebung, eine Gleitspiegelung oder schlichtweg die Identität. Das Ganze funktioniert auch umgekehrt: Du gibst eine Drehung, Verschiebung oder Gleitspiegelung vor, und die Seite konstruiert die passenden Spiegel. Die Matrixrechnung dazu findest du in der Tabelle unter der Zeichnung.

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Lektion

Die Theorie — Spiegelungen und die Kongruenzabbildungen der Ebene

Eine Isometrie der Ebene ist eine Transformation, die jeden Abstand erhält. Eine Spiegelung an einer Geraden schickt jeden Punkt auf sein Spiegelbild auf der anderen Seite und kehrt die Orientierung um: Eine im Uhrzeigersinn beschriftete Figur erscheint danach gegen den Uhrzeigersinn. Die Verkettung zweier Spiegelungen ergibt eine orientierungserhaltende Isometrie. Schneiden sich die Achsen, ist dies eine Drehung um den doppelten Winkel zwischen ihnen. Sind sie parallel, entsteht eine Verschiebung um den doppelten Abstand. Drei Spiegelungen ergeben eine einzelne Spiegelung oder eine Gleitspiegelung. Ausnahmslos jede Isometrie der Ebene lässt sich als Verkettung von höchstens drei Spiegelungen darstellen.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

α
der Winkel vom ersten zum zweiten Spiegel. Die Drehung beträgt 2α
d
der Abstand zwischen zwei parallelen Spiegeln. Die Verschiebung beträgt 2d und verläuft rechtwinklig dazu
det
die Determinante des linearen Teils: +1, wenn die Abbildung die Orientierung beibehält, −1, wenn sie diese umkehrt
g
die Verschiebungslänge einer Gleitspiegelung entlang ihrer Achse
M
die zusammengesetzte Abbildung als Matrix, also das Produkt der Spiegelungen in umgekehrter Reihenfolge ihrer Anwendung

Zwei Spiegel erzeugen eine Drehung um den doppelten Winkel 🖖

Klick auf Zwei schneidende Spiegel. Die Spiegel schneiden sich unter 45°. Spiegelst du das F erst am einen und dann am anderen, dreht es sich um 90° um den Schnittpunkt: exakt der doppelte Winkel zwischen ihnen. Jede Spiegelung klappt das F um. Nach zwei Klappungen liegt es wieder richtig herum. Eine Isometrie, die die Orientierung beibehält und einen Fixpunkt hat, ist zwingend eine Drehung um genau diesen Punkt. Klick nun auf Zwei parallele Spiegel: Zwei Spiegel im Abstand 2 verschieben das F rechtwinklig zu den Achsen um 4, also um den doppelten Abstand. Eine Verschiebung verhält sich wie eine Drehung, deren Zentrum ins Unendliche gewandert ist. Parallele Spiegel sind im Grunde nichts anderes als sich schneidende Spiegel, deren Schnittpunkt ebenfalls im Unendlichen liegt.

Die Reihenfolge zweier Spiegel bestimmt die Richtung 🖖

Klick auf Zwei schneidende Spiegel und danach auf Gleiche Spiegel, umgekehrt. Die Spiegel sind immer noch dieselben beiden Geraden. Es hat sich nur geändert, welcher zuerst kommt, und schon wird aus der Drehung um +90° eine um −90°. Die zweite Verkettung macht die erste rückgängig, da jede Spiegelung ihre eigene Umkehrung ist. Bei drei Spiegeln durch einen Punkt spielt die Reihenfolge keine Rolle mehr: Klick auf Drei durch einen Punkt und kehre die Spiegel um. Das Ergebnis ist exakt dieselbe einzelne Spiegelung, keine andere. Bei zwei Spiegeln ist die Reihenfolge entscheidend, es sei denn, sie fallen zusammen oder stehen senkrecht aufeinander. Bei drei Spiegeln ist sie wichtig, sofern nicht alle drei durch denselben Punkt gehen oder parallel sind.

Drei Spiegel ermöglichen die eine Bewegung, die zwei nicht können 🖖

Jede Kongruenzabbildung der Ebene gehört zu einer von fünf Arten: Identität, Spiegelung, Drehung, Verschiebung oder Gleitspiegelung. Letztere ist eine Spiegelung an einer Achse mit anschließender Verschiebung entlang dieser Achse. Ein alltägliches Bild dafür sind Fußspuren im Sand. Klick auf Drei im Dreieck: Drei Geraden, die weder alle parallel sind noch sich in einem Punkt schneiden, erzeugen eine Gleitspiegelung an einer Achse bei 60° mit einer Verschiebung um die Länge 6. Ein einzelner Spiegel kann nicht verschieben, und zwei Spiegel können die Orientierung nicht umkehren. Weniger Spiegel reichen also nicht aus. Klick auf Gleitspiegelung bauen oder Drehung konstruieren. Dann arbeitet die Seite rückwärts und sucht die passenden Spiegel für deine gewünschte Abbildung. Mehr als drei werden dafür niemals benötigt.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Was zwei schneidende Spiegel mit einer Figur machen 5 Schritte

    Zwei Spiegel verlaufen durch den Ursprung, der erste im Winkel von 10° zur x-Achse, der zweite bei 55°. Spiegele erst am ersten und danach am zweiten Spiegel. Finde heraus, welcher einzelnen Abbildung dieses Paar entspricht. Klick zur Kontrolle auf Zwei schneidende Spiegel.

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    1. Eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel a hat folgende Matrix:

    2. Wendest du erst die erste und dann die zweite an, werden die Matrizen in dieser Reihenfolge von rechts multipliziert:

    3. Ausmultipliziert ergibt das Produkt eine Drehmatrix:

    4. Ihr Drehwinkel ist doppelt so groß wie der Winkel vom ersten zum zweiten Spiegel:

    5. Beide Geraden verlaufen durch den Ursprung. Da keine der beiden Spiegelungen ihn verschiebt, ist der Ursprung das Zentrum:

    Antwort

    Das Paar ist eine Drehung um 90° um den Ursprung, exakt das Doppelte der 45° zwischen den Spiegeln. Die Determinante ist +1, also steht das F am Ende richtig herum. Vertauschst du die Reihenfolge, ändert sich der Winkel zu −90°: Es sind dieselben beiden Geraden, aber die Drehung verläuft in die Gegenrichtung.

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.