Interaktive Mathe- und Wissenschafts-Lektionen

Explorer für rationale Funktionen

Verschiebe Nullstelle, Polstelle und Verstärkung und beobachte, wie sich die Kurvenäste ändern

Interaktive Simulation wird geladen...

Legt man die Nullstelle auf die Polstelle, verschwindet der Pol 🖖

Zieht man die Nullstelle genau auf die Polstelle, passiert etwas Merkwürdiges: die Kurve explodiert nicht mehr, sondern wird zu einer waagerechten Linie. Für z = p kürzt der Faktor (x − z) den Nenner vollständig, und es bleibt überall die Konstante k — außer bei x = p, wo die ursprüngliche Formel weiterhin durch Null teilt. Der Graph ist also eine Gerade mit einem herausgestanzten Punkt, und dieses Werkzeug meldet statt einer Asymptote eine Lücke bei (p, k). Eine Nennernullstelle ist nur dann ein Pol, wenn der Zähler sie nicht wegkürzt; andernfalls ist sie eine hebbare Lücke, in keiner Zoomstufe sichtbar.

Jede Kurve hier ist eine Hyperbel 🖖

Das Werkzeug berechnet f(x)=k(x−z)/(x−p): den Abstand zu einer Nullstelle geteilt durch den Abstand zu einem Pol, skaliert mit k. Egal welche Werte du wählst, der Graph behält stets dieselbe Form — eine Hyperbel, genau die Kurve von y=1/x. Das Verschieben von z und p verschiebt sie nur; das Ändern von k streckt sie und kehrt um, in welche Richtung sich die beiden Äste öffnen. Fazit: Wer y=1/x beherrscht, beherrscht sie alle.

Ein Pol ist nur nach Wahl unendlich 🖖

Als (ax+b)/(cx+d) geschrieben ist jede Funktion mit einer Nullstelle und einem Pol eine Möbiustransformation — die Abbildungen, die komplexe Analysis und hyperbolische Geometrie beherrschen. Fügt man einen einzigen Punkt im Unendlichen hinzu (die Riemannsche Zahlenkugel), hört der Pol auf, eine Katastrophe zu sein: x=p wird einfach auf diesen neuen Punkt abgebildet und x=∞ auf die horizontale Asymptote y=k. Auf der Kugel ist die Funktion eine glatte, umkehrbare Bijektion — die „Explosion" ist nur ein Artefakt der flachen Karte.

GEBROCHEN-RATIONALE FUNKTIONEN — WO EXPLODIERT DER GRAPH, UND WO BERUHIGT ER SICH?

In welchem Fall gebrochen-rationaler Funktionen bist du?

In f(x) = k(x − z)/(x − p) stecken nur drei Zahlen, und jede besitzt ein Merkmal des Graphen. Die Nullstelle z ist die Stelle, an der die Kurve die Achse schneidet. Der Pol p ist die Stelle, an der der Nenner verschwindet und die Kurve ins Unendliche läuft. Die Verstärkung k ist der Wert, bei dem sie sich weit von beidem einpendelt. Lies diese drei aus der Formel ab, und du hast den Graphen skizziert, bevor ein einziger Punkt gezeichnet ist.

Gut getrennt — eine senkrechte Asymptote, eine waagerechte, ein Schnittpunkt x = p, y = k
Pol und Nullstelle dicht beieinander — ein heftiger Ausschlag dazwischen |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞
Negative Verstärkung — dasselbe Gerüst mit vertauschten Ästen k < 0 ⇒ f → −f
Pol und Nullstelle fast übereinander — beinahe eine Lücke (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

01

Gut getrennt — eine senkrechte Asymptote, eine waagerechte, ein Schnittpunkt

Was du weißt: Pol und Nullstelle in bequemem Abstand. Die senkrechte Asymptote steht bei x = p, die waagerechte bei y = k, und die Kurve schneidet die Achse bei x = z.

Merkmal: x = p, y = k

Rechenbeispiel: f(x) = (x − 1)/(x + 2): Asymptote bei x = −2, Schnittpunkt bei x = 1, und f → 1 weit außen in beide Richtungen. Bei x = 0 ist der Wert −0,5.

Diesen Fall öffnen: einfach
Gut getrennt — eine senkrechte Asymptote, eine waagerechte, ein Schnittpunkt. Pol und Verstärkung zeichnen die beiden Asymptoten; die Nullstelle legt den Schnittpunkt fest. Pol und Nullstelle in bequemem Abstand. Die senkrechte Asymptote steht bei x = p, die waagerechte bei y = k, und die Kurve schneidet die Achse bei x = z.
Pol und Verstärkung zeichnen die beiden Asymptoten; die Nullstelle legt den Schnittpunkt fest.

02

Pol und Nullstelle dicht beieinander — ein heftiger Ausschlag dazwischen

Was du weißt: Dieselbe Gestalt, aber der Pol liegt nahe an der Nullstelle. Die Kurve muss auf kurzer Strecke von der Achse ins Unendliche, also steigt sie steil an.

Merkmal: |z − p| → 0 ⇒ |f| → ∞

Rechenbeispiel: f(x) = 1,4(x − 0,5)/(x − 0,2): Der Pol bei 0,2 liegt nur 0,3 von der Nullstelle bei 0,5 entfernt, und f(0) beträgt schon 3,5 gegenüber einem Fernwert von 1,4

Diesen Fall öffnen: steile Polstelle
Pol und Nullstelle dicht beieinander — ein heftiger Ausschlag dazwischen. Ein kurzer Abstand zwischen Pol und Nullstelle zwingt die Kurve durch einen schmalen, steilen Ausschlag. Dieselbe Gestalt, aber der Pol liegt nahe an der Nullstelle. Die Kurve muss auf kurzer Strecke von der Achse ins Unendliche, also steigt sie steil an.
Ein kurzer Abstand zwischen Pol und Nullstelle zwingt die Kurve durch einen schmalen, steilen Ausschlag.

03

Negative Verstärkung — dasselbe Gerüst mit vertauschten Ästen

Was du weißt: Ein negatives k spiegelt die ganze Kurve an der waagerechten Achse. Die Lage der Asymptoten ändert sich nicht; die Äste wechseln die Ecken, die sie besetzen.

Merkmal: k < 0 ⇒ f → −f

Rechenbeispiel: f(x) = −(x + 1,5)/(x − 1,2): Asymptote bei x = 1,2, Schnittpunkt bei x = −1,5, waagerechte Asymptote bei y = −1, und f(0) = 1,25

Diesen Fall öffnen: negative Verstärkung
Negative Verstärkung — dasselbe Gerüst mit vertauschten Ästen. Die Asymptoten stehen, wo sie standen, aber jeder Ast ist auf die gegenüberliegende Seite gewandert. Ein negatives k spiegelt die ganze Kurve an der waagerechten Achse. Die Lage der Asymptoten ändert sich nicht; die Äste wechseln die Ecken, die sie besetzen.
Die Asymptoten stehen, wo sie standen, aber jeder Ast ist auf die gegenüberliegende Seite gewandert.

04

Pol und Nullstelle fast übereinander — beinahe eine Lücke

Was du weißt: Liegen z und p sehr dicht beieinander, kürzen sich die Faktoren beinahe weg. Außerhalb dieser Umgebung liegt die Funktion nahe bei der Konstanten k, und der Pol überlebt als nadelfeiner Ausschlag.

Merkmal: (z − p)/(z − p) = 1, z ≠ p

Rechenbeispiel: f(x) = (x − 1)/(x − 1,12): nur 0,12 auseinander, also f(0) = 0,893, nahe am Fernwert 1 — und dennoch ist die Asymptote bei x = 1,12 vorhanden

Diesen Fall öffnen: fast gekürzt
Pol und Nullstelle fast übereinander — beinahe eine Lücke. Fast überall eine Konstante, bis auf das schmale Fenster, in dem sich der Pol doch durchsetzt. Liegen z und p sehr dicht beieinander, kürzen sich die Faktoren beinahe weg. Außerhalb dieser Umgebung liegt die Funktion nahe bei der Konstanten k, und der Pol überlebt als nadelfeiner Ausschlag.
Fast überall eine Konstante, bis auf das schmale Fenster, in dem sich der Pol doch durchsetzt.
Häufiger Denkfehler

Eine Nullstelle nahe einer Polstelle beseitigt Instabilität nicht automatisch. Eine Fast-Kürzung kann numerisch weiterhin empfindlich sein.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Die Kurve, die ihre horizontale Asymptote bei y = 1 erreicht 5 Schritte

    f(x) = (x − 1)/(x + 2) hat eine horizontale Asymptote bei y = 1. Finden Sie heraus, ob die Kurve diese jemals tatsächlich erreicht.

    1. Die Nullstelle und die Polstelle lassen sich direkt aus der faktorisierten Form ablesen: Der Zähler wird bei 1 zu Null, der Nenner bei −2.

    2. Für große |x| werden Zähler und Nenner von ihren x-Termen dominiert, sodass das Verhältnis gegen das Verhältnis der Leitkoeffizienten strebt. Das ist die horizontale Asymptote, und hier beträgt sie 1.

    3. Stellen Sie die Frage nun direkt, anstatt den Graphen nach Gefühl zu beurteilen: Setzen Sie die Funktion gleich ihrer Asymptote und lösen Sie auf.

    4. Das x kürzt sich heraus und es bleibt −1 = 2, was für jedes x falsch ist. Die Kurve berührt y = 1 also nie — weder weit draußen noch irgendwo sonst.

    5. Die vertikale Asymptote verhält sich entgegengesetzt. Knapp links von −2 beträgt die Funktion −299; knapp rechts davon +301. Sie nähert sich nicht von beiden Seiten einem Wert an, sondern divergiert in entgegengesetzte Richtungen.

    Antwort

    Das Werkzeug gibt eine Nullstelle von 1, eine vertikale Asymptote bei −2 und eine horizontale bei 1 aus. Das Ergebnis, das man sich merken sollte, ist, dass eine horizontale Asymptote keine Barriere ist — diese hier wird zwar nie erreicht, aber das ist eine Eigenschaft dieser speziellen Funktion und keine Regel. Ändert man den Zähler zu x − 1 + etwas, das verschwindet, kann eine Kurve ihre horizontale Asymptote frei und sogar wiederholt schneiden. Vertikale Asymptoten sind die strengen: Die Funktion ist dort nicht definiert, sodass sie sie niemals schneiden kann. Die beiden zu verwechseln ist der häufigste Fehler bei diesem Thema, und eine Zeile Algebra klärt das jedes Mal.

Lernpfad

Jenseits quadratischer Gleichungen

Quellen (2)
  • Why k(x−z)/(x−p) is a Möbius map, and why circles and lines are the only shapes it produces: T. Needham, Visual Complex Analysis, Chapter 3: Möbius Transformations and Inversion. Oxford University Press, 1997.
  • The asymptotes as ordinary behaviour at a point, once infinity is a point: L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition. McGraw-Hill, 1979 — rational functions on the extended plane.

· Aktualisiert

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

Alle Lektionen: Mathematik →

Beispielaufgaben

  • einfach - Einfache Form mit einer Nullstelle und einem Pol sowie deutlichen Asymptoten.
  • steile Polstelle - Ein Pol nahe dem Ursprung erzeugt eine starke lokale Divergenz.
  • negative Verstärkung - Ein negativer Verstärkungsfaktor kehrt die Ausrichtung der Äste an den Asymptoten um.
  • fast gekürzt - Eine fast vollständige Kürzung von Nullstelle und Pol ahmt lokal eine hebbare Definitionslücke nach.