Periodische Dezimalbrüche

Gib einen Bruch ein und ändere dann die Basis. Im 10er-System läuft 1/3 ewig weiter und 1/5 bricht ab. Im 12er-System tauschen sie die Plätze. Die Regel dahinter ist exakt, und es dreht sich alles um Primfaktoren.

Rechenbeispiel — Periodische Dezimalbrüche

Periode	1
Vorperiode	0

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Ein Drittel ist zur Basis Zwölf handlich 🖖

Klick auf 1/3 zur Basis 10, dann auf 1/3 zur Basis 12. Derselbe Bruch. In einem Zahlensystem setzt sich die Darstellung endlos fort, im anderen lautet sie 0,4 und endet. Klick auf 1/5 zur Basis 12, und die Rollen kehren sich um. Ob ein Bruch eine endliche Darstellung hat, liegt also nicht am Bruch allein. Ein vollständig gekürzter Bruch p/q endet zur Basis b genau dann, wenn jeder Primfaktor von q auch ein Teiler von b ist. Zehn ist 2 × 5. Enden können daher nur Brüche, deren Nenner ausschließlich aus Zweien und Fünfen aufgebaut sind: Halbe, Viertel, Fünftel, Achtel, Zehntel, Zwanzigstel und alle weiteren Brüche aus diesen beiden Primfaktoren. Diese Liste kennst du längst. Es ist genau die, die du auswendig lernen solltest.

Zwei Primzahlen, zwei Aufgaben 🖖

Ein Sechstel ist 0,1666…: 1 Ziffer, die nie wiederkehrt, gefolgt von einer endlosen 6. Sechs ist 2 x 3, und die beiden Primzahlen haben unterschiedliche Aufgaben. Die 2 teilt die Zehn und liefert die Vorperiode. Die 3 teilt sie nicht und erzeugt die Periode. Versuche nun 7/12. Die Vorperiode ist zwei Ziffern lang. Zwölf enthält zwei 2en, und die Division braucht zwei Schritte, um sie aufzubrauchen. Die Länge der Vorperiode entspricht also nicht der reinen Anzahl gemeinsamer Primfaktoren. Sie reicht so weit, wie es dauert, diese zu erschöpfen. Im 10er-System macht das 1/8 zu drei Ziffern. Im 12er-System sind es zwei.

Warum 1/7 immer wieder dieselben sechs Ziffern sind 🖖

Beim Teilen durch 7 gibt es nur sechs mögliche von null verschiedene Reste. Nach sechs Schritten muss einer davon erneut auftreten; von da an wiederholen sich zwangsläufig auch die Ziffern. Genau das zeigt der Ring oben: sämtliche Reste, die bei der Division vorkommen können. Die Periode kann nie länger als q − 1 sein. Bei Siebteln wird diese Grenze erreicht: Der Weg führt durch alle sechs Reste, bevor er zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Daher stammt der bekannte Kunstgriff von 142857. Probiere 1/13. Hier bleibt die Hälfte des Rings leer: sechs von zwölf Resten, daraus entsteht 076923. Da die Division auf ihrem Weg alle Reste der Periode durchläuft, steigst du mit 2 statt mit 1 lediglich an einer späteren Stelle in dieselbe Schleife ein. 2/7 = 0,285714. 3/7 = 0,428571. Dieselben sechs Ziffern, nur zyklisch verschoben. Unter 100 erreichen zur Basis 10 neun der dreiundzwanzig infrage kommenden Primzahlen die volle Periodenlänge: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 und 97. Zur Basis 12 sind es acht; nur 7 und 17 stehen auf beiden Listen.

Aufgaben vollständig gelöst

Die Anzahl der Ziffern, für die sich 1/13 wiederholt 7 Schritte
Wie viele Ziffern hat die Periode von 1/13? Das lässt sich beantworten, ohne auch nur einmal zu dividieren.
1. Gibt es überhaupt eine Periode? Dreizehn ist eine Primzahl und teilt die Zehn nicht. Sie hat mit der Basis also keinen Faktor gemein. Nichts kürzt sich heraus, es gibt keine Vorperiode und die Wiederholung beginnt gleich bei der ersten Ziffer.
  
  $13 ∤ 10, 10 = 2 \times 5$
2. Die Länge ist die kleinste Zehnerpotenz, die den Rest 1 lässt. Geh die Zehnerpotenzen modulo 13 durch und halte an, sobald du diesen Rest triffst.
  
  $1 0^{1} \equiv 10, 1 0^{2} \equiv 9, 1 0^{3} \equiv 12, 1 0^{4} \equiv 3, 1 0^{5} \equiv 4, 1 0^{6} \equiv 1 (mod 13)$
3. Sechs. Die Periode ist sechs Ziffern lang, und wir haben noch nichts dividiert. Führe nun die Division aus und beobachte, wie genau diese sechs Zahlen als Reste wiederkehren.
  
  $k = 6$
4. Es sind dieselben Zahlen in exakt derselben Reihenfolge. Sie können gar nichts anderes sein: Der Rest nach k Schritten ist 10 hoch k, modulo 13. Die Ziffern direkt darüber sind das Ergebnis.
  
  $\frac{1}{13} = 0. \overline{076923}$
5. Die alte Probe funktioniert immer noch. Ein rein periodischer Block der Länge sechs liefert, multipliziert mit seinem Nenner, sechs Neunen.
  
  $076923 \times 13 = 999999$
6. Bei dreizehn standen zwölf Reste zur Verfügung, verwendet wurden sechs. Allerdings nicht irgendwelche sechs. Für eine Primzahl q ist die Periodenlänge stets ein Teiler von q − 1. Bei 13 kamen daher nur 1, 2, 3, 4, 6 und 12 infrage.
  
  $k ∣ q - 1 : 6 ∣ 12, 12 = 13 - 1$
7. Bei welchem dieser Teiler eine Primzahl landet, kann dieses Werkzeug nicht vorhersagen, und niemand sonst kann es. Neun der dreiundzwanzig infrage kommenden Primzahlen unter 100 erreichen im 10er-System das volle q − 1. Das sind etwa 39 %, nah an der Konstante 0,3739, die Artin 1927 vermutete. Es bleibt eine Vermutung. Niemand konnte bisher auch nur beweisen, dass unendlich viele Primzahlen die 10 als Primitivwurzel haben.
  
  $\frac{9}{23} \approx 39% vs A \approx 0.3739558$
Antwort

Sechs Ziffern: 1/13 = 0,076923 periodisch. Abgelesen aus den Zehnerpotenzen, bevor überhaupt eine Division stattfand. Und 13 verfehlt das Maximum, denn 6 ist nur die Hälfte von 12.
Warum ein Fünftel zur Basis 10 abbricht und zur Basis 12 ewig läuft 6 Schritte
Lade 1/5 zur Basis 12 und finde heraus, wie lang die Periode ist. Entscheide dann, ob eine Welt, die in Zwölfern zählt, beim alltäglichen Rechnen besser oder schlechter dastünde.
1. Zur Basis 10 ist ein Fünftel der einfachste Bruch überhaupt: 0,2, nach einer einzigen Ziffer fertig. Zwölf ist 2 × 2 × 3 und enthält keine Fünf, es kürzt sich also nichts heraus, und der schriftlichen Division kann der Rest nie ausgehen. Die Befundkarte springt auf Ist periodisch, und die Vorperiode zeigt 0. Es gibt keinen abbrechenden Teil, der erst durchlaufen werden müsste, der Zyklus beginnt also gleich bei der ersten Ziffer.
  
  $5 ∤ 12 = 2^{2} \times 3 ⟹ repeats; 5 ∣ 10 = 2 \times 5 ⟹ \frac{1}{5} = 0.2$
2. Die Länge ist die kleinste Zwölferpotenz, die bei Division durch 5 den Rest 1 lässt. Zwölf ist zwei mehr als ein Vielfaches von fünf, du kannst also stattdessen die Zweierpotenzen durchgehen, was schneller geht: 2, 4, 3, 1.
  
  $12 \equiv 2 (mod 5) : 2, 4, 3, 1 ⟹ k = ord_{5} (12) = 4$
3. Vier Schritte, und vier ist q − 1. Länger kann sich ein Fünftel gar nicht wiederholen, denn der schriftlichen Division stehen nur vier von null verschiedene Reste zur Verfügung, und dieser Gang besucht jeden einzelnen davon. Das Abzeichen, das erscheint, ist dasselbe, das sich 1/7 zur Basis 10 verdient.
  
  $k = 4 = q - 1 ⟹ full reptend; \frac{1}{5} = 0. \overline{2497}_{12}$
4. Die Neunerprobe übersteht den Umzug. Ein rein periodischer Block, mit seinem Nenner multipliziert, füllt jede Stelle des Zyklus: 2497 zur Basis 12 ist 4.147, fünf davon sind 20.735, und 20.735 ist 12⁴ − 1, was die Basis 12 als bbbb schreibt. Vier Elfen, wo die Basis 10 vier Neunen gäbe.
  
  $249 7_{12} = 4147, 4147 \times 5 = 20, 735 = 1 2^{4} - 1 = bbbb_{12}$
5. Jetzt der Handel, gezählt statt bestritten. Nimm die Nenner 2 bis 12 und frag, welche davon abbrechen. Binär und hexadezimal schaffen drei, denn ihre einzige Primzahl ist die 2. Genau deshalb hat 0,1 keine exakte Binärdarstellung, und genau deshalb wird Geld nicht in Gleitkomma geführt. Die Basis 10 schafft fünf. Die Basis 12 schafft sieben. Damit kauft sie Drittel, Sechstel, Neuntel und Zwölftel und bezahlt sie mit Fünfteln und Zehnteln.
  
  $q \in {2, \dots, 12} that terminate : b = 2, 16 : 3; b = 10 : 5; b = 12 : 7$
6. Die Regel entscheidet auch über eine Basis, die das Werkzeug nicht anbietet. Sechzig trägt alle drei kleinen Primzahlen, also bricht alles von 2 bis 12 ab außer Siebteln und Elfteln, neun von elf. Dafür muss nichts laufen. Es genügen die Primfaktoren von sechzig, mehr nicht.
  
  $b = 60 = 2^{2} \times 3 \times 5 : all but 7 and 11 ⟹ 9 of 11$
Antwort

Vier Ziffern, 0,2497 periodisch, und das ist der längste Zyklus, den ein Fünftel haben kann. Die Basis 12 gewinnt die Zählung mit sieben zu fünf, und sie gewinnt die Teilungen, die Menschen tatsächlich vornehmen: ein Drittel einer Stunde, ein Sechstel eines Kreises, ein Viertel eines Pfunds. Dafür gibt sie Fünftel und Zehntel auf, und die zählen vor allem deshalb, weil wir ohnehin in Zehnern rechnen. Ein Fünftel wirkt grundlegend, weil es 20 % sind, und Prozente sind eine Gewohnheit des Dezimalsystems und keine Eigenschaft von Fünfteln.

Die ehrliche Grenze: Keine Basis rettet die Siebtel, und ein Siebtel taucht im Alltag ungefähr so oft auf wie ein Fünftel. Welche Basis du auch wählst, irgendeine alltägliche Teilung geht ausgefranst aus, und deshalb entscheidet das Zählen der Gewinner gar nichts. Der eine Ort, an dem eine Wahl getroffen wurde und Bestand hatte, ist Babylons Sechzig. Viertausend Jahre später liest du damit noch immer die Uhr, und noch immer wird der Kreis so geteilt.

$\frac{p}{q} terminates in base b ⟺ rad (q) ∣ rad (b)$

Lernpfad

Eine Zahl aufschreiben

Führt zu Rationale Näherung eine Zahl, die du nicht fertig schreiben kannst.

Quellen (3)

The rule the tool implements: when a fraction terminates, and the period as the order of the base Hardy, G. H. and Wright, E. M. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford University Press — Chapter IX, Decimals.
Artin's constant 0.3739558, the density the worked problem compares 9 of 23 against Wrench, J. W. (1961). Evaluation of Artin's Constant and the Twin-Prime Constant. Mathematics of Computation, 15(76), 396–398. doi:10.1090/S0025-5718-1961-0124305-0
Why the worked problem ends by saying nobody has proved it Heath-Brown, D. R. (1986). Artin's Conjecture for Primitive Roots. The Quarterly Journal of Mathematics, 37(1), 27–38. doi:10.1093/qmath/37.1.27

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-09-03

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Beispielaufgaben

1/3 zur Basis 10 - Ein Drittel ist sofort periodisch: 0 Ziffern vor der Periode, danach eine Periode der Länge 1. Zehn ist 2 x 5, und 3 teilt keinen von beiden.
1/3 zur Basis 12 - Derselbe Bruch ergibt im 12er-System 0,4 und bricht ab. Am Wert ein Drittel hat sich nichts geändert. Zwölf ist 2 x 2 x 3, also kürzt sich die 3 heraus.
1/5 zur Basis 12 - Ein Fünftel verhält sich umgekehrt. Im 10er-System bricht es ab. Hier ist es periodisch, mit einer Periode der Länge 4. Das ist das absolute Maximum für ein Fünftel.
1/6 — beides zugleich - Ein Sechstel vereint beides. Sechs ist 2 x 3. Die 2 teilt die Zehn und liefert 1 nicht-periodische Ziffer. Danach übernimmt die 3 mit einer Periode der Länge 1.
1/7 — der Klassiker - Eine Periode der Länge 6 bei einem Nenner von 7 ist so lang, wie ein Siebtel überhaupt sein kann. Die schriftliche Division kann nur 6 Reste ungleich null durchlaufen, bevor sich einer wiederholen muss.
1/17 — sechzehn Ziffern - Sechzehn Ziffern, und auch hier wieder das Maximum. Der Pfad unten besucht alle 16 verfügbaren Reste, bevor er an seinen Ausgangspunkt zurückkehrt.