Interaktive Mathe- und Wissenschafts-Lektionen
STEHENDE WELLEN — WELCHE MODE, UND WAS LASSEN DIE ENDEN ZU?
Eine stehende Welle ist die eine Form, die passt: eine Welle, deren Reflexionen mit ihr selbst zusammenfallen. Die Länge des Mediums wählt die Wellenlängen aus, die bestehen können, λ = 2L/n, und die Wellengeschwindigkeit macht daraus Frequenzen, f = v/λ. Was die Enden tun — festgehalten oder frei beweglich —, entscheidet, wo die Knoten liegen, nicht welche Wellenlängen erlaubt sind.
01
Was du weißt: n = 1: Eine halbe Wellenlänge überspannt das ganze Medium, also λ = 2L. Das ist die niedrigste Frequenz, die hineinpasst, und die Tonhöhe, die du hörst.
Beziehung: λ = 2L, f = v/λ
Rechenbeispiel: L = 1 m bei v = 343 m/s → λ = 2 m und f = 343/2 = 171,5 Hz
Diesen Fall öffnen: Grundschwingung
02
Was du weißt: Für die Mode n trägt das Medium n halbe Wellenlängen: λ = 2L/n und f = n·f₁. Die Knoten sitzen bei jedem Vielfachen von L/n entlang der Länge.
Beziehung: λ = 2L/n, f = n·f₁
Rechenbeispiel: Dieselbe 1 m bei n = 3 → λ = 0,667 m und f = 514,5 Hz, exakt das Dreifache des Grundtons
Diesen Fall öffnen: 3. Harmonische
03
Was du weißt: Bei beidseitig offenem Rohr kann sich die Luft dort frei bewegen, die Enden sind also Bäuche statt Knoten. Die erlaubten Wellenlängen bleiben λ = 2L/n; nur die Form ist umgekehrt.
Beziehung: L = nλ/2
Rechenbeispiel: Ein offenes Rohr mit L = 0,5 m bei n = 2 → λ = 0,5 m und f = 686 Hz, dieselbe Rechnung wie bei einer Saite gleicher Länge
Diesen Fall öffnen: Offenes Rohr
04
Was du weißt: Eine Gitarrensaite ist an beiden Enden fest, es gilt also dasselbe λ = 2L/n. Greifen verkürzt L, und da f proportional zu 1/L ist, steigt die Tonhöhe.
Beziehung: f ∝ 1/L
Rechenbeispiel: L = 0,65 m bei n = 2 → λ = 0,65 m und f = 527,7 Hz; der Grundton dieser Saite liegt bei 263,8 Hz
Diesen Fall öffnen: Gitarre (2.)
Eine 1 m lange Saite, beidseitig eingespannt, mit einer Wellengeschwindigkeit von 343 m/s. Bestimmen Sie ihren tiefsten Ton — rechnen Sie dann rückwärts auf die Spannung, die diese Wellengeschwindigkeit erzeugt, und auf die Tonhöhe, die keine Stahlsaite dieser Länge jemals erreichen kann. Dies ist Beidseitig fest mit L = 1 m, v = 343 m/s und n = 1.
Da beide Enden festgehalten werden, muss jedes bestehen bleibende Wellenmuster dort einen Schwingungsknoten besitzen. Dies lässt nur eine ganzzahlige Anzahl von Halbwellenlängen zu und nichts dazwischen, weshalb die Saite eine Liste erlaubter Töne aufweist anstelle eines kontinuierlichen Bereichs.
Die Frequenz ist die Geschwindigkeit dividiert durch die Wellenlänge, und keiner der beiden Faktoren ist hier eine neue Information. Die Randbedingung legt die Wellenlänge fest und das Medium liefert die Geschwindigkeit.
Die Periodendauer ist der Kehrwert der Frequenz, sie beträgt aber auch 2L/v — die Zeit, die ein Impuls benötigt, um zum fernen Ende und zurückzulaufen. Eine stehende Welle ist ein Umlauf, der phasengleich mit sich selbst zurückkehrt, sodass ihre Periodendauer der Dauer dieses Umlaufs entspricht.
Die Wellengeschwindigkeit auf einer Saite lässt sich nicht direkt einstellen; sie ergibt sich aus der Spannung geteilt durch die Masse pro Längeneinheit. Für einen 0,30-mm-Stahldraht folgt die Massenbelegung aus der Dichte und der Querschnittsfläche, und das Umstellen von v = √(FT/μ) ergibt eine Zugkraft von 65 N auf den Draht — 6,7 Kilogramm Zugkraft, was die richtige Größenordnung für eine einfache Gitarrensaite aus Stahl ist.
Dividiert man nun diese Spannung durch die Querschnittsfläche, erhält man die mechanische Spannung, wobei der Durchmesser herausfällt. Sowohl μ als auch A enthalten d², sodass die Spannung bei einer gegebenen Wellengeschwindigkeit ρv² beträgt und allein vom Material abhängt. Kohlenstoffreicher Saitendraht reißt nahe 2,2 × 10⁹ Pa, und eine Obergrenze für die Spannung ist daher eine Obergrenze für die Geschwindigkeit.
Antwort
Das Werkzeug gibt λ₁ = 2,0000 m, f₁ = 171,50 Hz und eine Periodendauer von 5,831 × 10⁻³ s aus. Schritt 5 ist der entscheidende: Da die für eine bestimmte Wellengeschwindigkeit erforderliche Spannung ρv² beträgt, kürzt sich die Drahtstärke heraus, und eine 1 m lange Stahlsaite kann nicht höher als auf etwa 265 Hz gestimmt werden, egal wie dick oder dünn sie gefertigt ist. Instrumente bleiben deutlich darunter — Klavierdraht wird bei etwa der Hälfte seiner Reißfestigkeit betrieben, was die nutzbare Geschwindigkeit auf 374 m/s senkt und 0,72 m zur längsten Stahlsaite macht, die das eingestrichene C erzeugen kann. Ein Konzertflügel nutzt an dieser Stelle nahezu genau diese Länge, was eine gute Bestätigung der Argumentation darstellt. Aus diesem Grund werden Basssaiten auch mit Kupfer umwickelt, anstatt aus dickerem Stahl gefertigt zu werden: Die Umwicklung erhöht die Masse pro Längeneinheit, ohne die Querschnittsfläche zu vergrößern, die die Zugspannung tragen muss; sie senkt somit v, während σ unverändert bleibt.
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