Streuung und Abweichung

Die Voreinstellung mit einem Ausreißer enthält sieben Werte zwischen 4 und 7 und einen bei 20. Berechne den z-Wert dieses letzten Wertes aus der Stichproben-Standardabweichung, und entscheide dann, ob eine Regel, die alles jenseits von drei Standardabweichungen meldet, ihn jemals hätte fangen können.

1. Addiere die acht Werte und teile sie auf: 60 auf 8 sind 7,50. Sieben der acht liegen darunter, der einzelne hohe Wert verschiebt also schon die Mitte, bevor er die Streuung überhaupt berührt.

   $$\bar{x}=\frac{4+5+5+6+6+7+7+20}{8}=\frac{60}{8}=7.50$$

2. Zieh von jedem 7,50 ab. Die sieben dicht beieinanderliegenden Werte landen zwischen 0,5 und 3,5 entfernt, der achte ist 12,5 entfernt. Das Feld druckt diese Spalte, und sie summiert sich zu null, wie jede Abweichungsspalte.

   $$x_i-\bar{x}:-3.5,-2.5,-2.5,-1.5,-1.5,-0.5,-0.5,12.5$$

3. Das Quadrieren macht die Summe schief. Die sieben zusammen steuern 29,75 bei, der Wert bei 20 allein 156,25, also mehr als das Fünffache des ganzen übrigen Datensatzes. Genau dafür ist das Quadrieren da.

   $$\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=\underset{i\le 7}{\underbrace{29.75}}+\underset{i=8}{\underbrace{156.25}}=186.00$$

4. Diese Voreinstellung lädt den Stichprobenmodus, der Divisor ist also 7 und nicht 8. Das Feld druckt den Bruch samt Ergebnis: 186,00 durch 7 ergeben eine Varianz von 26,57 und eine Standardabweichung von 5,15. Führ die Division eine Stelle weiter, und s ist 5,1547, was der nächste Schritt braucht.

   $$s^2=\frac{186.00}{8-1}=26.57,s=\sqrt{26.57}=5.1547$$

5. Ein z-Wert zählt Standardabweichungen vom Mittelwert, hier also 12,5 durch 5,1547, was 2,4249 ergibt. Der auffälligste Wert des Datensatzes erreicht die Drei nicht, und er kommt ihr nicht einmal nahe.

   $$z_8=\frac{20-7.50}{5.1547}=2.4249$$

6. Nun die Frage, ob das eine Tatsache über diese Liste ist oder über acht Zahlen überhaupt. Eines entscheidet sie: Die Abweichungen summieren sich zu null, also ergeben die anderen sieben zusammen genau das Negative der achten.

   $$d_k=x_k-\bar{x},\sum _i{d}_i=0⟹\sum _{i\ne k}{d}_i=-d_k$$

7. Zahlen mit fester Summe haben die kleinstmögliche Quadratsumme, wenn sie alle gleich sind. Die sieben übrigen Abweichungen können also nicht alle klein sein: Am sparsamsten teilen sie die Last gleichmäßig auf, und das legt einen Boden unter die Quadratsumme.

   $$\begin{array}{rl}\sum _{i\ne k}{d}_i^2& \ge \frac{{\left({\sum }_{i\ne k}{d}_i\right)}^2}{n-1}=\frac{d_k^2}{n-1}\\ \sum _i{d}_i^2& \ge d_k^2+\frac{d_k^2}{n-1}=\frac{n}{n-1}{d}_k^2\end{array}$$

8. Ein Boden unter der Quadratsumme ist ein Boden unter s, und ein Boden unter s ist eine Decke über z. Kein Wert in einer Liste von n kann weiter als (n − 1)/√n Stichproben-Standardabweichungen vom Mittelwert liegen. Bei n = 8 liegt diese Decke bei 2,4749. Heb die 20 auf 100, und das Feld gibt eine Abweichung von 82,50 gegen eine Standardabweichung von 33,35 aus, z ist also 2,474. Heb sie auf eine Million, und z erreicht auf vier Stellen 2,4749, und dort bleibt es stehen.

   $$\begin{array}{rl}{s}^2& =\frac{{\sum }_i{d}_i^2}{n-1}\ge \frac{n{d}_k^2}{(n-1{)}^2}\\ |z_k|& =\frac{|d_k|}{s}\le \frac{n-1}{\sqrt{n}}=\frac{7}{\sqrt{8}}=2.4749\end{array}$$

9. Die Decke hängt von n ab und von sonst nichts, und sie übersteigt 3 erstmals bei elf Werten: zehn schaffen 2,846, elf schaffen 3,015. Die Liste hier fasst zwölf, der Extremfall ist also erreichbar. Tipp zehn Nullen und eine 1000 ein, weiterhin im Stichprobenmodus. Das Feld gibt einen Mittelwert von 90,91 und eine Standardabweichung von 301,51 aus, und die größte Abweichung, 909,09, geteilt durch 301,51 ergibt 3,015, also genau die Decke.

   $$\frac{n-1}{\sqrt{n}}\ge 3⟺n\ge 11;n=10:2.846,n=11:3.015$$