Calculadora de distancia por paralaje

d (pc) = 1 / p (segundos de arco) — el método de la paralaje trigonométrica es la base de toda la escalera de distancias cósmicas.

Ejemplo resuelto — Calculadora de distancia por paralaje

Distancia (pársecs)	10 pc
Distancia (años luz)	32.6156 ly
Distancia (UA)	2062650 AU

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Calculadora de distancia por paralaje

La distancia por paralaje se mide mediante triangulación, con la órbita de la Tierra como línea de base. Observa una estrella cercana en enero y de nuevo en julio y parecerá desplazarse respecto al fondo lejano; la mitad de ese desplazamiento total es el ángulo de paralaje p, y es el ángulo que subtiende la distancia Tierra-Sol vista desde la estrella.

Qué significa cada símbolo

p: el ángulo de paralaje en segundos de arco — la mitad del desplazamiento anual completo, no la totalidad del mismo. Un segundo de arco es 1/3600 de grado y ninguna estrella alcanza uno: la mayor paralaje real en el cielo está por debajo de 0.8″.
d: la distancia, que no es más que el inverso del ángulo. Si reduces el ángulo a la mitad, la distancia se duplica: 0.1″ da 10 pc, 0.05″ da 20 pc.
pc: el pársec, y no es tanto una unidad de longitud independiente como una elección de conveniencia — la distancia a la que la paralaje resulta ser exactamente 1″. Esa definición es la única razón por la que la fórmula no tiene constante.
ly: el año luz, la misma distancia en la unidad que utilizan quienes no son astrónomos. Un pársec equivale a 3.2616 de ellos, por lo que la segunda fila es siempre la primera multiplicada por esa cifra.

De dónde viene la fórmula

La distancia Tierra-Sol 1 AU es el cateto corto de un triángulo rectángulo muy estrecho, y la distancia a la estrella es el cateto largo. El ángulo en la estrella es p.
Para un triángulo estrecho tan p ≈ p cuando p está en radianes, y el error de esa sustitución es menor que cualquier paralaje que se haya medido jamás. Así pues, d = 1 AU / p, con p en radianes.
Los segundos de arco son más convenientes que los radianes, y la conversión introduce una constante — el número de segundos de arco en un radián, aproximadamente 206265. Por tanto, d = 206265 AU / p″.
En lugar de arrastrar esa constante para siempre, los astrónomos le dieron nombre: un pársec es 206265 AU. Al simplificar dividiendo, la fórmula se reduce a d = 1/p, que es la línea que muestra la fila superior. Ajusta el ángulo a 1 y la distancia marcará exactamente 1 pc.

Cómo leer lo que ves

El inverso se comprende mucho mejor si vas reduciendo el ángulo paso a paso en lugar de leer un solo valor: 0.77″ da 1.2987 pc, 0.1″ da 10 pc y 0.02″ da 50 pc. La fila de los años luz es estrictamente proporcional a la primera a razón de 3.26156 por pársec (para 10 pc marca 32.6156 ly), de modo que no aporta información nueva, sino un simple cambio de unidad.

Supone: Que el desplazamiento que has medido es la paralaje y no el movimiento propio de la estrella a través del cielo, y que tomaste la mitad de la oscilación anual en lugar de su totalidad. Esto último altera el cálculo en un factor exacto de dos, y ninguno de estos detalles resulta fácil de percibir con una sola medición.
Falla cuando: La fórmula nunca falla; lo que falla es la medición, y lo hace a una distancia en lugar de a un valor de la fórmula. Como d = 1/p, un error fijo en el ángulo se convierte en un error en la distancia que crece con el cuadrado de la distancia — a 0.02″ una incertidumbre de 0.002″ es un 10 % del ángulo pero desplaza la respuesta entre aproximadamente 45 y 55 pc. Por esto la paralaje es el primer peldaño de la escalera de distancias y no la totalidad de la misma.

El ángulo es tan pequeño que casi hundió el heliocentrismo 🖖

Si la Tierra se mueve de verdad, las estrellas cercanas deben parecer desplazarse a lo largo del año. Copérnico lo sabía en 1543, y también sus críticos, que señalaban que nunca se había visto tal desplazamiento y concluían que la Tierra está quieta. Razonaban correctamente a partir de la evidencia: los ángulos son simplemente minúsculos. Incluso Próxima Centauri, la estrella más cercana que existe, tiene una paralaje de solo 0,7685 segundos de arco, aproximadamente el ancho de una moneda vista desde tres kilómetros. Nadie pudo medir eso durante casi tres siglos. Friedrich Bessel lo logró por fin en 1838 con 61 Cygni, en unos 0,31 segundos de arco, y la paralaje estelar dejó de ser una objeción al heliocentrismo para convertirse en el primer peldaño de la escalera de distancias.

Práctica

Compruébalo tú mismo

Predice la respuesta primero y luego usa los controles de arriba para comprobarlo. Revela la solución solo cuando te hayas comprometido con una hipótesis: eso es lo que lo convierte en práctica.

La idea 1 cuenta que Friedrich Bessel midió 61 Cygni con unos 0.31 segundos de arco en 1838, la primera distancia estelar obtenida jamás. Escríbelo. ¿A qué distancia está, y cómo se compara con los 0.7685″ de Próxima Centauri?

Mostrar la respuesta

3.2258 pc, o 10.5212 ly. Próxima con 0.7685″ marca 1.3012 pc y 4.2441 ly, así que la estrella de Bessel está unas dos veces y media más lejos. No apuntaba a la estrella más cercana: eligió 61 Cygni porque se desplaza rápido por el cielo, que es otra pista, y buena — una estrella con gran movimiento propio suele ser una estrella cercana.
La casilla del ángulo se detiene en 2 segundos de arco. Ponla ahí. ¿Qué distancia devuelve, y qué falla en esa imagen?

Mostrar la respuesta

0.5 pc, es decir 1.6308 ly — y ahí no hay nada. La estrella más cercana al Sol es Próxima Centauri, a 4.2441 ly, de modo que todo lo que supere 0.7685″, la mitad superior de esta casilla, nombra una región del espacio sin una sola estrella. La fórmula seguiría aún más allá: d = 1/p no tiene distancia mínima. La casilla se para antes de que la respuesta sea absurda, no porque la aritmética se pare.

Problema resuelto al detalle

Distancia de una estrella con una paralaje de 0,1 segundos de arco 5 pasos
Una estrella tiene una paralaje de 0,1 segundos de arco. Calcula su distancia; luego, averigua a qué distancia deja de funcionar este método y explica por qué.
1. La paralaje es un triángulo con una base conocida: el radio orbital de la Tierra. A lo largo de seis meses la línea de base es de 2 AU, y la mitad del desplazamiento total es el ángulo de paralaje p. A estos ángulos la tangente es el propio ángulo en radianes, que es lo que hace que la aritmética sea trivial.
  
  $tan p = \frac{1 AU}{d} \approx p (radians)$
2. El pársec se define para que resulte trivial: es la distancia a la que 1 AU subtiende un arcosegundo. Elige esa unidad y la relación es un recíproco sin constante alguna.
  
  $d [pc] = \frac{1}{p [ arcsec ]} = \frac{1}{0.1} = 10 pc$
3. Convertir es solo contabilidad de unidades, y la calculadora de arriba muestra los tres valores para p = 0.1″.
  
  $10 pc \times 3.26156 = 32.6156 ly, 10 \times 206265 = 2062650 AU$
4. Ahora la parte que la herramienta no muestra. Como la relación es un recíproco, el error relativo en la distancia es igual al error relativo en el ángulo. Una medición del ángulo del 1% da un 1% en la distancia.
  
  $\frac{Δ d}{d} = \frac{Δ p}{p} : p = 0. 1^{''} \pm 0.00 1^{''} \Rightarrow \pm 1%$
5. Pero el ángulo se reduce a medida que la distancia crece, mientras que el error de medición no lo hace. Al alejarnos hasta p = 0.001″ con el mismo instrumento de ±0.001″, el error relativo alcanza el 100% — la medición ya no dice nada.
  
  $p = 0.00 1^{''} \pm 0.00 1^{''} \Rightarrow \pm 100%$
Respuesta

10 parsecs, 32.6156 años luz. El recíproco es lo que hace que la paralaje sea a la vez exacta y de corto alcance: el error crece en proporción a la distancia, de modo que cada sondeo de paralaje tiene un horizonte fijado por su precisión angular en lugar de por lo tenue que pueda ver. Hipparcos midió hasta unos 0.001″ y alcanzó unos pocos cientos de parsecs; Gaia alcanza ~0.00002″ y así obtiene decenas de miles. Más allá de ese horizonte, la astronomía debe cambiar de método por completo — razón por la cual la escalera de distancias tiene peldaños.

$d = \frac{1}{p} \frac{Δ d}{d} = \frac{Δ p}{p}$

Ruta de aprendizaje

¿A qué distancia está?

Referencias (3)

The first stellar parallax ever measured, and the source of insight 1’s 0.31″: Bessel, "Bestimmung der Entfernung des 61sten Sterns des Schwans." Astronomische Nachrichten 16, 65–96, 1839.
The mission the challenge block credits with sub-milliarcsecond astrometry: T. Prusti, J. H. J. de Bruijne, A. G. A. Brown, A. Vallenari, C. Babusiaux & C. A. L. Bailer-Jones, "The Gaia mission." Astronomy & Astrophysics 595, A1, 2016.
The parsec as a defined unit, which is why d = 1/p has no constant in it: International Astronomical Union, Resolution B2 on recommended zero points for the absolute and apparent bolometric magnitude scales. XXIX General Assembly, Honolulu, 2015.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.