Cifrados por sustitución: 26! claves descifradas contando letras

Un fragmento de Sherlock Holmes se ha cifrado con una clave que no puedes ver. Si usas el desplazamiento César, prueba las 25 claves una por una y observa la barra de chi-cuadrado en cada intento. En la sustitución completa, empareja las letras más frecuentes del criptograma con las del inglés; después, corrige los pares leyendo las palabras que van apareciendo.

Ejemplo resuelto — Cifrados por sustitución: 26! claves descifradas contando letras

Claves posibles	25
Letras en el mensaje	120
Resultado del ataque (menor χ²)	23,3
Segundo menor	445,8
¿Es la clave correcta?	Sí

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Cifrados por sustitución: 26! claves descifradas contando letras

Un cifrado por sustitución reemplaza cada letra del mensaje por otra distinta, siempre la misma, según una clave: una permutación del alfabeto que arroja 26! ≈ 4,03 × 10²⁶ claves posibles. El cifrado César es el caso particular en el que todas las letras avanzan el mismo número de posiciones en el alfabeto, lo que deja solo 25 claves. El análisis de frecuencias ataca ambos métodos comparando la repetición de cada letra en el texto cifrado con la distribución habitual del idioma.

Qué significa cada símbolo

χ²: chi-cuadrado: la suma de (O − E)² / E a lo largo de las 26 letras. Cuanto menor sea, más se asemejan las frecuencias del texto descifrado a las del inglés
O: veces que aparece una letra en el texto descifrado que se evalúa
E: veces que aparecería en un texto de igual longitud según las proporciones de Los bailarines

Supone: Solo se cifran las 26 letras. Los espacios y los signos de puntuación se conservan intactos, lo que revela la longitud de cada palabra; exactamente igual hacían los muñecos bailarines con sus banderas. Por «inglés» se entienden las frecuencias observadas en un relato de Holmes de 39.859 letras, mientras que los mensajes de esta herramienta proceden de otro cuento distinto, de modo que ninguno se evalúa contra sí mismo. Cada prueba extrae un fragmento aleatorio de La ciclista solitaria y una clave aleatoria mediante un generador con semilla, por lo que siempre se obtienen los mismos resultados.

Veinticinco claves se prueban enseguida; distinguir cuál ha funcionado requiere unas 30 letras 🖖

El cifrado César solo admite 25 claves, tan pocas que se pueden comprobar a mano. La dificultad estriba en discernir cuál de los textos resultantes está en inglés. Para resolverlo, esta página recurre al chi-cuadrado de Pearson, que suma, letra por letra, la distancia entre las frecuencias observadas y las que cabría esperar según Los bailarines en un texto de esa longitud. Al analizar 20.000 fragmentos aleatorios de otro relato de Holmes, la puntuación más baja da con la clave correcta el 85,0 % de las veces con 12 letras, y el 99,1 % con 31. Pulsa César: 11 letras para ver un tropiezo: el desplazamiento 7 obtiene una puntuación mejor que la clave auténtica y arroja dan reoep swo, un disparate que cualquier lector descartaría al instante, pero ante el cual la estadística está ciega.

El recuento encuentra la e, y poco más 🖖

En un mensaje de 600 letras, ordenar por frecuencia sitúa la e en su lugar el 96,5 % de las veces en 400 ensayos aleatorios. Las que van detrás están demasiado apretadas para conservar su jerarquía en un texto breve: en Los bailarines, a, o, i, n, h y s se concentran entre el 6,3 % y el 8,0 %, de modo que cualquier fluctuación de unas pocas letras altera su orden. Si ordenas todo el alfabeto por rango obtendrás, de media, solo 6,3 de las 23,5 letras presentes: un tercio del texto. El propio Holmes, al descifrar los muñecos bailarines en ese mismo relato, advertía exactamente esto: «El orden de las letras inglesas después de la E dista mucho de estar bien definido, y cualquier preponderancia reflejada en el promedio de una página impresa puede invertirse en una sola frase breve». Por eso esperó a tener más mensajes y se dedicó a leer palabras.

Un relato entero cifrado sigue dejando cinco letras mal 🖖

Disponer de más texto cifrado estabiliza las frecuencias, pero estas convergen hacia las cifras del relato en cuestión, y dos obras del mismo autor nunca coinciden del todo. Pulsa Sustitución: un relato: las 32.725 letras de La ciclista solitaria, ordenadas frente al patrón de Los bailarines, aciertan 21 letras pero yerran en cinco (h, i, n, f e y), lo que deja bien descifrado el 76,1 % del texto. En La ciclista solitaria, la h (6,69 %) aparece un ápice más que la i (6,67 %) y la n (6,34 %); en cambio, Los bailarines coloca la i y la n por delante de la h. El mismo Holmes propone el orden T, A, O, I, N, S, H, R, D, L, y el propio cuento en el que lo formula sitúa la H por delante de la S.

Problema resuelto al detalle

Donde termina el recuento y empieza la lectura 4 pasos
Pulsa Sustitución: 600 letras. ¿Cuánto tardaría en probarlas todas un ordenador capaz de ensayar mil millones de claves por segundo? Después, descifra el mensaje: ¿qué te aporta el recuento y qué obtienes de las palabras más frecuentes?

Abre este problema en la herramienta
1. Hay 26! = 403.291.461.126.605.635.584.000.000 claves, unas 4,03 × 10²⁶. A razón de 10⁹ por segundo, son 4,03 × 10¹⁷ segundos; y como un año tiene 3,16 × 10⁷ segundos, resultan 1,28 × 10¹⁰ años: 12,8 mil millones.
  
  $26! = 403291461126605635584000000 \approx 4.03 \times 1 0^{26}, \frac{4.03 \times 1 0 ^{26}}{1 0 ^{9} \times 3.16 \times 1 0 ^{7}} = 1.28 \times 1 0^{10} years$
2. La letra más repetida en el texto cifrado es la I: 80 de las 600, un 13,3 %. En Los bailarines, la e representa el 12,44 %, así que la I corresponde a la e. Las tres siguientes, O, N y X, suman 49, 47 y 45 apariciones: están demasiado parejas para fiarse del orden, y la clasificación mecánica las empareja con t, a y o, las tres erróneas. La tabla de resultados muestra el peaje: ordenar solo por frecuencia apenas acierta 3 de las 23 letras, un 14,2 % del texto.
  
  $\frac{80}{600} = 13.3% \approx 12.44% : I \to e, 49, 47, 45 for O, N, X$
3. Toca mirar las palabras. Las palabras de tres letras OBJ y XDI aparecen cinco veces cada una; y como XDI termina en I, que sabemos que es e, encaja con the: por tanto, X es t y D es h. Siendo así, lo más probable es que OBJ sea and: O es a, B es n y J es d. La palabra de dos letras más frecuente, PK, sale ocho veces y casa bien con of; y XP, que sale cinco veces, se lee entonces como to, lo que confirma el patrón.
  
  $XDI \to t h e, OBJ \to an d, PK \to o f, XP \to t o$
4. Introduce esas ocho letras en las casillas. e, t, h, a, n, d, o y f cubren 321 de las 600 letras, un 53,5 %, y la primera línea ya permite leer f·o· the ·ea·· 1894 to 1901. La estadística no da más de sí. Delante de una fecha, f·o· es casi con certeza from, lo que te regala la r y la m; a partir de ahí, todo es leer.
  
  $\frac{321}{600} = 53.5% of the message from 8 letters$
Respuesta

12,8 mil millones de años para probar todas las claves. El recuento solo entrega una letra, la e; tres palabras frecuentes regalan otras siete, y con esas ocho letras ya descifras el 53,5 % del mensaje.

$1.28 \times 1 0^{10} years; 8 letters \to 53.5%$

Ruta de aprendizaje

Cómo se rompen los códigos

Referencias (1)

Both passages the page counts, and Holmes's words quoted in the second and third insights: Arthur Conan Doyle, "The Adventure of the Dancing Men" and "The Adventure of the Solitary Cyclist," in The Return of Sherlock Holmes. Project Gutenberg eBook #108.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.