El tiempo en una malla

Una predicción es un campo sobre una malla, que avanza al ritmo de un reloj. Si enfrentas ambas cosas, un modelo cuya física es totalmente correcta te arrojará cifras que ninguna atmósfera podría soportar.

Ejemplo resuelto — El tiempo en una malla

Paso de malla	1,000 km
Número de Courant	1,000
Distancia que recorre el viento en un paso	1,000 km
¿Se mantendrá estable esta ejecución?	sí
Altura que conservó el fenómeno	100,0 %
Error respecto a la solución exacta	5,4 × 10⁻²²
Mayor valor registrado en cualquier paso	1,000
Tiempo simulado	11,11 h

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — El tiempo en una malla

Un modelo de predicción almacena la atmósfera como números en una malla y los hace avanzar mediante pasos de tiempo. Lo más sencillo que hace es la advección: el viento transporta un patrón, ∂u/∂t + c ∂u/∂x = 0. Esta página resuelve dicha ecuación en un anillo de 160 km de circunferencia. La elección es importante, ya que la advección tiene una solución exacta (pasado un tiempo t, el campo es simplemente el campo inicial desplazado c·t y nada más), por lo que aquí cada error se mide respecto a la realidad y no frente a una simulación más fina. El número de Courant ν = c·Δt/Δx indica cuántas celdas cruza el viento en un solo paso, y la condición CFL ν ≤ 1 es la norma que cumplen o incumplen los esquemas explícitos que se muestran. Courant, Friedrichs y Lewy la publicaron en 1928, dieciocho años antes de que alguien ejecutara una predicción numérica.

Qué significa cada símbolo

c: la velocidad del viento, en m/s. Aquí es constante; en un modelo real forma parte del resultado y no de la configuración
Δx: el paso de malla, que equivale a 160 km divididos entre el número de celdas
Δt: el paso de tiempo, en segundos
ν: el número de Courant, c·Δt/Δx. Todo en esta página depende de si se encuentra por encima o por debajo de 1
N: celdas a lo largo del anillo, desde 10 hasta 400

Supone: Una ecuación, una dimensión, una sola velocidad de viento y un anillo sin bordes. Como se conoce la solución exacta, el error notificado pertenece exclusivamente al esquema. También presupone un esquema explícito, donde cada nuevo valor se construye únicamente a partir de los antiguos. Sobre esa suposición trata realmente la condición CFL, y es precisamente la que un modelo real elude en parte.
Falla cuando: Falla en casi todo a lo que se enfrenta un centro de predicción. Un modelo real procesa varias velocidades de onda al mismo tiempo y la más rápida es el sonido, a unos 340 m/s: cumplir la condición CFL para ondas sonoras que nadie está pronosticando obligaría a usar un paso de tiempo treinta veces menor de lo que requiere el clima. Por eso los modelos operativos son semiimplícitos y tratan esas ondas por separado. El viento tampoco es constante, así que ν debe resistir frente al viento más rápido de toda la malla en lugar de un promedio. Un modelo de área limitada tiene fronteras, y qué hacer en ellas constituye un tema de investigación en sí mismo. Un esquema implícito escapa por completo al límite CFL, a costa de resolver un sistema de ecuaciones en cada paso en lugar de simplemente barrer una matriz.

El reloj lo marca la malla, no la ecuación 🖖

Pulsa Exactamente en el borde y luego Malla más fina, mismo reloj. Mismo viento, mismo paso de tiempo, misma ecuación; las celdas pasan de 1 km a 667 m y no se mueve nada más. La primera ejecución es exacta. La segunda supera diez veces su pico inicial en el paso 44 y alcanza 1,8 × 10³⁰. La tercera fila de la tabla explica por qué: el viento recorre 1,000 km en un paso de 100 s. Mientras la celda tenga al menos esa anchura, el aire que llega a ella proviene de algún punto entre ella y su vecina aguas arriba, así que el nuevo valor es una mezcla de ambos. Esto es precisamente lo único que hace el esquema aguas arriba. Estrecha la celda por debajo de ese límite y el aire entrante vendrá de más atrás que la vecina a la que consulta el esquema. El peso sobre el propio valor de la celda, 1 − ν, se vuelve negativo, y un peso negativo no promedia. Amplifica. ν = c·Δt/Δx ≤ 1 es esa misma frase escrita en símbolos. Refinar una malla mejora la física y pone en peligro la aritmética, y las ecuaciones no dicen nada al respecto.

Cruzar la línea no rompe la predicción al instante. Decide que lo hará. 🖖

El segundo panel explora el número de Courant y cuenta los pasos hasta que el campo se multiplica por diez. Con 1,05 hacen falta 330 pasos; con 1,2 son 93; con 2,0 son 19. Justo por encima del límite, con 1,01, cuesta 1.588 pasos, que son más de los que ejecutan los tres primeros perfiles predefinidos juntos. Nada en esos pasos iniciales parece ir mal, ya que el crecimiento es exponencial y, como tal, resulta invisible hasta que deja de serlo. Para cuando un meteorólogo lee los resultados, ya se ha consumido todo el tiempo de cálculo. El número de Courant se puede calcular con tres cifras antes de que empiece la ejecución, y es ahí donde lo comprueba un centro de predicción operativo.

La configuración más precisa es la que se sitúa al borde del fallo 🖖

Exactamente en ν = 1, el esquema aguas arriba no es simplemente preciso. Es exacto: el error frente a la solución real es de 5,4 × 10⁻²² y el fenómeno conserva el 100,0% de su altura, ya que un número de Courant de 1 hace que cada paso sea un desplazamiento limpio de una celda, y la advección nunca ha sido más que un desplazamiento. Cualquier valor inferior difumina el fenómeno hacia celdas vecinas a las que el viento aún no había llegado. Durante las mismas 11,11 horas simuladas en la misma malla de 1 km, ν = 0,99 conserva el 94,3%, ν = 0,90 conserva el 66,7%, ν = 0,50 conserva el 37,1% y ν = 0,25 conserva el 31,0%. Alejarse del límite por precaución es la manera más fácil que existe de perder un fenómeno meteorológico. Y el remedio evidente es peor que la enfermedad: pulsa El esquema mejor y observa cómo un método cuyo error de truncamiento es un orden menor que el de aguas arriba estalla en el paso 39 con la mitad del límite de Courant.

Problema resuelto al detalle

El modelo de 4 km tarda 40 minutos. ¿Qué coste tiene bajar a 500 m? 7 pasos
Un modelo de predicción de 4 km cubre su dominio en 40 minutos de tiempo de cálculo, y te preguntan qué coste tendría esa misma predicción a 500 m. Piénsalo antes de seguir leyendo, y fíjate en cuál de los tres factores no te esperabas. Pulsa Justo en el límite para situar la herramienta en la fila de 1 km de la tabla.

Abre este problema en la herramienta
1. Empieza por las celdas. Reducir el paso de malla a la mitad duplica la cantidad en cada lado. Como un dominio de predicción tiene dos dimensiones horizontales, cada reducción a la mitad supone cuatro veces más celdas: 4 km dan 40 × 40, mientras que 2 km dan 80 × 80.
  
  $N_{2 km}^{2} / N_{4 km}^{2} = \frac{8 0 ^{2}}{4 0 ^{2}} = 4$
2. Ahora viene el factor que pilla a la gente por sorpresa. No tienes control sobre el paso de tiempo. La condición CFL lo vincula al paso de malla, por lo que reducir Δx a la mitad hace lo mismo con el mayor Δt permitido: con un viento de 10 m/s y ν = 0,9, una malla de 4 km permite 360 s y una de 2 km permite 180 s. Los pasos para un día simulado pasan de 240 a 480.
  
  $Δ t \leq \frac{ν Δ x}{c} : \frac{0 . 9 \cdot 4000}{10} = 360 s ⟶ \frac{0 . 9 \cdot 2000}{10} = 180 s$
3. Multiplícalos. Cuatro veces más celdas y el doble de pasos suponen ocho veces el trabajo por cada reducción a la mitad: 384.000 actualizaciones de celda al día a 4 km frente a 3.072.000 a 2 km. La última columna de la tabla indica 8,00 en cada fila, que es el factor exacto y no una estimación.
  
  $Δ x 8 km 4 km 2 km 1 km 500 m cells 2 0^{2} 4 0^{2} 8 0^{2} 16 0^{2} 32 0^{2} Δ t_{m a x} 720 s 360 s 180 s 90 s 45 s steps/day 120240480960 1, 920 updates/day 48, 000 384, 000 3, 072, 000 24, 576, 000 196, 608, 000 \times 8888 4 (cells) \cdot 2 (steps) = 8 per halving$
4. De 4 km a 500 m hay tres reducciones a la mitad, así que el factor es 8³ = 512. La tabla cuadra por completo: 384.000 actualizaciones al día a 4 km, frente a 196.608.000 a 500 m.
  
  $8^{3} = 512$
5. Los 40 minutos se convierten en 40 × 512 = 20.480 minutos, lo que equivale a quince días, para un solo día de clima. Ahí tienes la respuesta de por qué una malla de predicción tiene el tamaño que tiene en lugar de ser tan fina como a cualquiera le gustaría, y por qué un centro que adquiere el doble de resolución está comprando ocho veces más máquina.
  
  $40 min \cdot 512 = 20, 480 min = 14.2 days$
6. La estimación es honesta sobre sus propios límites. Supone que el trabajo por actualización de celda no cambia, lo cual es casi correcto para un solo término de advección pero resulta cada vez más generoso a medida que la física se complica. Supone también que ν se mantiene en 0,9, algo que ningún modelo real puede prometer, porque ν debe resistir frente al viento más rápido de la malla y las corrientes en chorro no piden permiso al modelizador.
7. Donde esta página se detiene: un centro que se enfrenta a esta aritmética no se limita a pagarla. Una parte de ese factor se recupera con un esquema semiimplícito, que escapa a la condición CFL para las ondas rápidas a costa de resolver un sistema en cada paso, y otra parte se mitiga dedicando resolución solo donde hace falta, mediante una malla anidada o de resolución variable. Ambas opciones son reales, ninguna sale gratis, y esta página no calcula ninguna de las dos.
Respuesta

512 veces más trabajo, lo que supone unos quince días para un solo día de predicción. Cuatro veces más celdas y el doble de pasos por cada reducción a la mitad, tres reducciones, 8³ = 512. El factor que nadie se espera es el tercero: la condición de Courant gasta tu paso de tiempo por ti.

$8^{3} = 51240 min \cdot 512 \approx 14 days$

Ruta de aprendizaje

Cómo se elabora un pronóstico del tiempo

Referencias (4)

The condition itself, published in 1928 — eighteen years before anyone integrated a forecast, and about hyperbolic equations rather than about weather: R. Courant, K. Friedrichs and H. Lewy, "Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik." Mathematische Annalen 100(1), 1928, pp. 32-74. DOI 10.1007/BF01448839
The first numerical forecast that worked, and the paper that had to choose a grid and a time step to make it work: J. G. Charney, R. Fjørtoft and J. von Neumann, "Numerical Integration of the Barotropic Vorticity Equation." Tellus 2(4), 1950, pp. 237-254. DOI 10.3402/tellusa.v2i4.8607
Richardson's 1922 attempt, which is where the subject starts and where the arithmetic first bit — his six-hour forecast of pressure change came out 145 hPa, against a real change of almost nothing: L. F. Richardson, Weather Prediction by Numerical Process. Cambridge University Press, 1922.
Where the stability analysis of these two schemes is done properly, including why a second-order centred difference is unconditionally unstable for pure advection: D. R. Durran, Numerical Methods for Fluid Dynamics: With Applications to Geophysics, 2nd edition. Springer, 2010.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.