El atractor de Lorenz

Ejecuta las ecuaciones de 1963 dos veces desde casi el mismo lugar. Observa dónde ambas trayectorias dejan de coincidir y fíjate luego en qué siguen estando de acuerdo.

Ejemplo resuelto — El atractor de Lorenz

Calentamiento elegido	28,000
Límite de rodillos estables	24,7368
¿Puede mantenerse un rodillo?	no
El rodillo estable derecho	(8,485, 8,485, 27,000)
Contracción del volumen	-13,6667
Volumen tras 60 unidades de tiempo	7,6 × 10⁻³⁵⁷
Separación inicial	1,0 × 10⁻⁹
Separación final	16,211

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — El atractor de Lorenz

En 1963 Edward Lorenz redujo la convección a tres números y tres ecuaciones: ẋ = σ(y − x), ẏ = x(ρ − z) − y, ż = xy − βz. Aquí x es la velocidad de giro de un rodillo de fluido, y la diferencia de temperatura entre los lados ascendente y descendente, y z la medida en que el perfil vertical de temperatura se desvía de una línea recta. σ = 10 y β = 8/3 son suyos; ρ es el calentamiento y es el control de esta página. Un atractor es el conjunto en el que termina una trayectoria una vez que ha desaparecido el régimen transitorio. Por debajo de ρ = 24,7368 eso puede ser un único punto, un rodillo estable que gira a un ritmo constante. Por encima de ese valor la trayectoria nunca se estabiliza en nada, y el conjunto que llena tiene unas propiedades que no posee ningún punto ni superficie.

Qué significa cada símbolo

σ: el número de Prandtl, fijado en 10. Compara la velocidad de propagación del momento en el fluido con la del calor
ρ: el calentamiento, el control de esta página. Es el número de Rayleigh dividido por su valor crítico, por lo que ρ = 1 es el punto en el que el fluido empieza siquiera a moverse
β: fijado en 8/3, determinado por la forma de los rodillos de convección que supuso Lorenz
∇·F: la tasa de contracción del volumen, −σ − 1 − β. Es igual en todas partes y es la razón por la que el atractor no tiene volumen
λ₁: el mayor exponente de Lyapunov, medido aquí desplazando un segundo punto y renormalizando. Un valor positivo significa que los estados vecinos se separan

Supone: Que tres números pueden representar a un fluido. No pueden, y Lorenz lo sabía: el sistema es un truncamiento de la convección que conserva tres modos y descarta el resto, de manera que es el modelo de un modelo. Lo que sobrevive al truncamiento es la aritmética del estiramiento y plegado, que es la razón por la que vale la pena mirar la imagen mucho después de haber olvidado la convección. La integración es RK4 con un paso fijo de 0,005, y el paso es fijo en lugar de adaptativo a propósito, de modo que la única diferencia entre las dos trayectorias sea la que tú establezcas.
Falla cuando: Como descripción del clima, casi de inmediato. La convección real tiene límites, humedad y un continuo de modos, y los números de aquí no son temperaturas ni velocidades en ninguna unidad que se pueda medir. El eje temporal está en las propias unidades del sistema y traducirlo a días es una elección en lugar de un resultado, por lo que esta página no lo hace. El exponente de Lyapunov es un promedio sobre todo el atractor y la tasa local varía mucho, razón por la que un pronóstico emitido en un día tranquilo vale más de lo que sugiere el promedio; aquí entra en juego la Predicción meteorológica por conjuntos. Lleva ρ más allá de aproximadamente 31 y la imagen vuelve a cambiar: ventanas periódicas se abren y cierran dentro del rango caótico, y una trayectoria puede terminar en un ciclo cerrado en su lugar.

Las dos trayectorias dejan de coincidir y siguen dibujando lo mismo 🖖

Pulsa Llenar toda la curva y lee el segundo panel. Cada vez que z alcanza un máximo, la herramienta lo registra y lo representa frente al máximo anterior. La trayectoria A da 268 de esos puntos, la trayectoria B da 266, y los 534 caen sobre una única curva. Si la mides, la mitad de los puntos de la trayectoria B se sitúan a menos de 0,011 de la línea trazada por los puntos vecinos de la trayectoria A, en un mapa de 17,75 unidades de ancho. La última vez que ambas trayectorias coincidieron en su posición fue en t = 24,78 y al final están separadas por 11,9. En un atractor de 38 unidades de ancho, esto significa que simplemente están en otra parte. Un pronosticador no puede decirte dónde está la trayectoria. La curva de ese panel es la parte que nunca estuvo en duda.

No tiene volumen y tampoco es una superficie 🖖

Suma los tres términos diagonales del flujo y obtienes ∇·F = −σ − 1 − β = −13,6667, idéntico en cada punto y en cada ρ. Así que una nube de estados iniciales conserva una millonésima de su volumen tras una unidad de tiempo, y 7,6 × 10⁻³⁵⁷ tras sesenta. El destino final de la trayectoria tiene volumen cero. No puede ser un punto, pues por encima de ρ = 24,7368 ambos rodillos estacionarios son inestables y la repelen. Tampoco una superficie. Dos trayectorias de un flujo suave jamás se cruzan, y para enrollarse así haría falta atravesar una lámina. Nos queda esa cosa extraña a medio camino. Su dimensión resulta ser 2,0622.

Por debajo de ρ = 24,7368 las ecuaciones conservan ambas respuestas 🖖

Las dos configuraciones en ρ = 24,4 difieren en un solo parámetro. Al partir de (1, 1, 20), la brecha entre los gemelos crece de 10⁻⁹ a 8,889 y la trayectoria salta entre las alas 96 veces. Al empezar junto al rodillo derecho, las mismas ecuaciones enrollan ambas trayectorias en él. La distancia termina en 1,4 × 10⁻¹⁰, una séptima parte de lo que era al inicio. El rodillo estacionario y el atractor extraño conviven. Cuál de los dos obtienes depende de tu punto de partida, no de cuánto calor apliques. Los físicos llaman subcrítica a la bifurcación en 24,7368, y eso es precisamente lo que describe la palabra.

Problema resuelto al detalle

Conoces el estado dentro de un cubo de lado 1. ¿En qué se convierte ese cubo diez unidades de tiempo después? 6 pasos
Supón que el estado solo se conoce dentro de un cubo de lado 1 (volumen 1) en algún punto del atractor, y la simulación avanza diez unidades de tiempo. Calcula qué forma ha tomado ese cubo y cuál es su volumen antes de seguir leyendo. Pulsa La ejecución clásica para colocar la herramienta en ρ = 28.

Abre este problema en la herramienta
1. Hay tres exponentes de Lyapunov. Cada dirección tiene el suyo y solo hace falta medir uno. En la dirección del flujo nada se estira ni se comprime, de modo que λ₂ = 0. La renormalización en la tabla de resultados da λ₁ = 0,9059. El tercero no se mide en absoluto. La suma de los tres debe ser igual a la tasa de contracción del volumen, que se conoce con exactitud.
  
  $λ_{2} = 0, λ_{1} = ⟨ \frac{1}{τ} ln \frac{d ( τ )}{d _{0}} ⟩ = 0.9059$
2. Así pues, λ₃ = ∇·F − λ₁ = −13,6667 − 0,9059 = −14,5726. Fíjate en lo asimétrico que resulta. La dirección de compresión es dieciséis veces más fuerte que la de estiramiento. Ese es el único motivo por el que cualquier masa termina aplanada en lugar de redonda.
  
  $λ_{3} = \nabla \cdot F - λ_{1} = - 13.6667 - 0.9059 = - 14.5726$
3. Ahora introduce t = 10 en cada dirección. Cada lado del cubo se multiplica por e^(λt):
  
  $direction stretching along the flow squeezing λ + 0.9059 0 - 14.5726 e^{λ t}, t = 10 8, 594 1 5.15 \times 1 0^{- 64}$
4. Multiplica los tres factores y obtienes el volumen: 8.594 × 1 × 5,15 × 10⁻⁶⁴ = 4,43 × 10⁻⁶⁰. La tasa de contracción da el mismo resultado sin mencionar nunca las tres direcciones, e^(−13,6667 × 10) = 4,43 × 10⁻⁶⁰. Que ambas vías coincidan sirve de comprobación para asegurar que los exponentes eran correctos.
  
  $8, 594 \cdot 1 \cdot 5.15 \times 1 0^{- 64} = 4.43 \times 1 0^{- 60} and e^{- 13.6667 \cdot 10} = 4.43 \times 1 0^{- 60}$
5. Esta es la parte a la que te obliga la aritmética. El atractor mide unas 38 unidades de ancho en x y 46 de alto en z, y el cubo se ha convertido en una cinta de 8.594 unidades de largo: 226 veces el ancho de la caja en la que debe mantenerse. Así que se pliega. Y vuelve a plegarse en cada vuelta. Cada doblez añade una capa sobre las que ya había.
  
  $\frac{8 , 594}{38} \approx 226$
6. Un objeto compuesto por capas de este tipo es más grueso que una superficie y más fino que un sólido. La dimensión indica exactamente cuánto: D = 2 + λ₁/|λ₃| = 2 + 0,9059/14,5726 = 2,0622. El 2 es la lámina; el 0,0622 es el plegado.
  
  $D = 2 + \frac{λ _{1}}{∣ λ _{3} ∣} = 2 + \frac{0 . 9059}{14 . 5726} = 2.0622$
Respuesta

Una cinta de 8.594 unidades de largo, 1 de ancho y 5,15 × 10⁻⁶⁴ de grosor, con un volumen de 4,43 × 10⁻⁶⁰, plegada una y otra vez dentro de una caja de 38 unidades de ancho. Ese plegado es lo que hace que el atractor tenga una dimensión de 2,0622 en lugar de ser plano. Además, es la razón por la que resulta imposible saber en qué capa estás, lo cual equivale a no saber dónde se encuentra la trayectoria.

$8, 594 \times 1 \times 5.15 \times 1 0^{- 64} in a box 38 across \Rightarrow D = 2.0622$

Ruta de aprendizaje

Cómo se elabora un pronóstico del tiempo

Referencias (4)

The paper itself. Section 5 works out the volume contraction, and the successive-maxima plot this page's second panel draws is his Figure 4: E. N. Lorenz, "Deterministic Nonperiodic Flow." Journal of the Atmospheric Sciences 20(2), 1963, pp. 130-141. DOI 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2
Where the bifurcation structure is set out in full, including the subcritical Hopf at 24.7368 that the page's last two presets sit either side of: C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Applied Mathematical Sciences, Springer New York, 1982. DOI 10.1007/978-1-4612-5767-7
That the attractor exists at all was an open question for thirty-six years. It is Smale's fourteenth problem, and this is the computer-assisted proof that settled it: W. Tucker, "A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem." Foundations of Computational Mathematics 2, 2002, pp. 53-117. DOI 10.1007/s002080010018
The dimension formula the results table uses, D = 2 + lambda_1/|lambda_3| for a three-dimensional flow: J. L. Kaplan and J. A. Yorke, "Chaotic behavior of multidimensional difference equations." In Functional Differential Equations and Approximation of Fixed Points, Lecture Notes in Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, 1979, pp. 204-227. DOI 10.1007/BFb0064319

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.