Predicción meteorológica por conjuntos

Lanza cincuenta pronósticos desde casi el mismo punto de partida y observa cómo coinciden, para luego dejar de hacerlo. La página mide el valor de cada uno, el de su media y si su desacuerdo te avisó con antelación.

Ejemplo resuelto — Predicción meteorológica por conjuntos

Dispersión del conjunto	3,30 K
Error de la media del conjunto	2,91 K
Error de un miembro típico	4,35 K
La división: error medio y dispersión	19,131
Miembros peores que su propia media	50 de 50
Donde un pronóstico deja de ser útil	3,60 K
La media del conjunto dura	10,9 días
Un solo pronóstico dura	9,4 días

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Predicción meteorológica por conjuntos

Un pronóstico por conjuntos ejecuta el mismo modelo muchas veces a partir de estados iniciales ligeramente distintos, ya que el estado inicial nunca se conoce con total exactitud. La media del conjunto es el promedio de esas ejecuciones y constituye la mejor estimación única. La dispersión indica a qué distancia se sitúan los miembros de esa media y representa la propia declaración del pronóstico sobre su grado de fiabilidad. El modelo que usamos aquí es Lorenz 96, que Edward Lorenz escribió en 1996 como una atmósfera de juguete y no como una demostración de la teoría del caos: 40 valores alrededor de un círculo de latitud, cada uno de ellos impulsado por la advección de sus vecinos, amortiguado y accionado por un forzamiento constante. Una unidad de tiempo del modelo equivale a cinco días, que es la calibración del propio Lorenz, y una unidad del modelo equivale a un kelvin de anomalía de temperatura, convención que emplea esta página para dar forma concreta a un umbral.

Qué significa cada símbolo

N: cuántos miembros ejecuta el conjunto. 50 es un número operativo habitual; la página te permite bajar hasta 2 y subir hasta 100
σ: la dispersión: la distancia cuadrática media de los miembros respecto a su propia media
E: un error: la diferencia cuadrática media entre un pronóstico y lo que realmente ocurrió. Solo se puede calcular a posteriori
λ: la tasa de crecimiento de un error pequeño, aquí de 0,3154 por día, lo que supone un tiempo de duplicación de 2,20 días (un valor cercano al comportamiento de la atmósfera real)
P: una probabilidad extraída directamente de los miembros: la fracción de ellos que cruza un umbral

Supone: Un modelo perfecto. Aquí, cada miembro integra las mismas ecuaciones que produjeron la realidad, de modo que lo único que los separa es su punto de partida. El análisis (la mejor estimación del pronosticador para el día de hoy) es la realidad más ruido gaussiano. Los miembros son ese análisis más otra extracción del mismo tamaño, lo que convierte estadísticamente a la realidad en un miembro más. Este último detalle es lo que dota de significado a las probabilidades. Si en su lugar perturbamos la propia realidad, la situamos en el centro de la nube; midiendo de esa forma, el conjunto arrojó un 24% de probabilidad para eventos que ocurrieron el 15% de las veces y un 65% para eventos que ocurrieron el 80%.
Falla cuando: En todo lo que preocupa a un centro meteorológico. Un conjunto real es subdispersivo (su dispersión es menor que su error) porque todos los miembros comparten la misma física imperfecta, por lo que los centros dedican un enorme esfuerzo a añadir perturbaciones al modelo para solucionarlo. Las perturbaciones reales tampoco se extraen al azar, sino que se eligen a lo largo de las direcciones de crecimiento más rápido. Así, cincuenta miembros exploran el error en lugar de limitarse a muestrearlo. Por otro lado, 40 números en un círculo no forman una atmósfera; un modelo de pronóstico maneja un orden de 10⁹ de ellos.

La media de cincuenta pronósticos supera a los cincuenta 🖖

Pulsa Una semana normal y observa el día 16. Un miembro típico tiene un error de 4,35 K; el error de su media es de 2,91 K, y la cantidad de miembros superados por ese promedio es 50 de 50. No es una casualidad. La tabla de resultados explica por qué. Desarrolla el error cuadrático de los miembros con respecto a su propia media y verás que el término cruzado se anula, dejando una identidad: mean(Eᵢ²) = E(mean)² + (N−1)/N · spread². El promedio de los errores cuadráticos de los miembros siempre equivale al error cuadrático de la media más su nivel de desacuerdo. Por este motivo el miembro típico no puede obtener un mejor resultado, y un miembro individual solo lo logra por pura suerte (como ocurrió con uno en la semana tranquila). Cuanto más difieren los miembros entre sí, mayor es la diferencia. En el día 16 esto se traduce en 19,1308 = 19,1308 en ambos lados de la ecuación.

La dispersión es el pronóstico 🖖

Pulsa Una semana tranquila y luego Una semana tormentosa. Mismo modelo, mismo conjunto de cincuenta miembros y mismo error de observación de 0,3 K. En la semana tranquila, todavía merece la pena publicar la media del conjunto a los 15,7 días; en la tormentosa, se agota a los 6,9. La atmósfera no es igual de predecible de una semana a otra. Lo verdaderamente útil es que puedes saber en qué tipo de semana te encuentras sin necesidad de conocer la respuesta por adelantado. Los miembros discrepan pronto en los días en que el pronóstico sale mal, con la frecuencia suficiente como para apostar por ello: sesenta lanzamientos verificados a los seis días, representados en el tercer panel, sitúan la dispersión frente al error con r = 0,80. Para eso sirve un conjunto. Es la razón por la que un pronóstico que dice «no lo sé» está haciendo su trabajo en lugar de fracasar.

El mejor pronóstico individual es un mapa de un tiempo que no podría ocurrir 🖖

Observa la última columna de la tabla en Una semana normal a medida que aumenta el tiempo de antelación. Representa la varianza que queda en la media del conjunto, comparada con la varianza de un miembro: el día 0 marca 99%, el día 8 marca 57% y el día 16 marca 21%. Promediar cincuenta mapas que no coinciden acaba por aplanarlos, y un mapa plano no es un patrón meteorológico. De los 601 días registrados por este modelo, el más suave sigue conservando el 70% de la varianza media y ni uno solo cae por debajo de la mitad; el mapa medio del día 16 solo conserva el 21%. Así que la media del conjunto es, al mismo tiempo, la mejor estimación única disponible y la imagen de algo que nunca ocurrirá. Por eso un centro meteorológico publica la probabilidad de lluvia en lugar del mapa medio.

Problema resuelto al detalle

¿Helará el jueves? 7 pasos
Es miércoles y te preguntan si el jueves de la semana que viene (a ocho días vista) las temperaturas caerán por debajo del punto de congelación en el lugar 19. La media del conjunto marca +1,44 K. Decide qué vas a publicar y averigua después qué ocurrió en realidad. Pulsa ¿Helará? para poner la herramienta en este estado.

Abre este problema en la herramienta
1. Lee primero la media, porque eso es lo que te habría dado un único pronóstico. La media del conjunto en el lugar 19 para el día 8 es de +1,44 K, cómodamente por encima de cero. Un pronosticador con una sola ejecución del modelo publica «sin heladas» y se va a casa.
  
  $\overset{x}{ˉ}_{19} (d = 8) = \frac{1}{N} i = 1 \sum 50 x_{i, 19} = + 1.44 K$
2. Ahora cuenta en lugar de promediar. De los 50 miembros, 20 están bajo cero en ese lugar y ese día. La respuesta del conjunto a la pregunta planteada es del 40%.
  
  $P (x_{19} < 0) = \frac{# { i : x _{i, 19} < 0 }}{N} = \frac{20}{50} = 40%$
3. Esas dos afirmaciones tratan sobre cosas distintas, y por mucho cuidado que tengas con la media nunca obtendrás la segunda. Un promedio no dice nada sobre cuántos de los números que lo componen están por debajo de una línea. Cincuenta miembros situados todos en +1,44 K y los cincuenta miembros de este caso, que van desde −4,95 K hasta +11,25 K, dan como promedio +1,44. El primer conjunto no da ninguna probabilidad de helada y el segundo le otorga cuatro de cada diez.
  
  $\overset{x}{ˉ} < 0 ⟺ \frac{1}{N} i \sum x_{i} < 0 \neq ⟺ # {i : x_{i} < 0} > \frac{N}{2}$
4. Lo que ocurrió en el lugar 19 el día 8 fue −3,86 K. La media se equivocó en el signo de la respuesta, pero el conjunto no falló: indicó que el suceso tenía cuatro posibilidades sobre diez, y que un evento de ese tipo ocurra no significa que el pronóstico haya fracasado.
  
  $T_{19} (d = 8) = - 3.86 K$
5. Esa última afirmación solo se sostiene si el 40% significa realmente el 40%, y un único caso no basta para demostrarlo. El cuarto panel es la medición: 1.600 días-lugar a este plazo, ordenados por la probabilidad que emitió el conjunto. Los pronósticos en la franja del 30% al 40% (130 en total) se cumplieron el 29% de las veces, y los de la franja del 60% al 70% se cumplieron el 66%. Puedes tomarte las probabilidades del conjunto al pie de la letra porque han sido comprobadas, no por el simple hecho de salir de un modelo.
  
  $Pr (T < 0 ∣ P \in [0.3, 0.4]) = \frac{38}{130} = 29%, Pr (T < 0 ∣ P \in [0.6, 0.7]) = \frac{57}{87} = 66%$
6. La elección del caso es sincera respecto a su propósito: se trata de un día escogido a propósito para mostrar el fallo. La mayoría de los días, la media y el conjunto coinciden sobre en qué lado de un umbral caerá el tiempo. La cuestión no es que la media suela equivocarse, sino que no puede responder a una pregunta de esta naturaleza en absoluto, mientras que los miembros sí pueden hacerlo.
7. Dónde se detiene la página: una alerta de helada real sopesa el coste de un día tranquilo erróneo frente al coste de una falsa alarma, y ese cálculo requiere el valor de los dos errores, algo que ninguna atmósfera proporciona. Nuestra propia página de calibración es donde se trata de forma adecuada la cuestión de que 40% significa 40%.
Respuesta

Publica 40%, no «sin heladas». La media fue de +1,44 K, 20 de los 50 miembros estaban bajo cero y el resultado final fue −3,86 K. La media respondió a una pregunta que nadie había hecho.

$P = \frac{20}{50} = 40% \overset{x}{ˉ} = + 1.44 K T = - 3.86 K$

Ruta de aprendizaje

Cómo se elabora un pronóstico del tiempo

Referencias (5)

The seminar the model comes from, where Lorenz wrote it down as a toy atmosphere rather than as a chaotic curiosity: E. N. Lorenz, "Predictability: A problem partly solved." Proc. ECMWF Seminar on Predictability, Vol. 1, Reading, ECMWF, 1996, pp. 1-18.
The paper that put the model into general use, and the source of the K = 40, F = 8 settings this page runs: E. N. Lorenz and K. A. Emanuel, "Optimal Sites for Supplementary Weather Observations: Simulation with a Small Model." Journal of the Atmospheric Sciences 55(3), 1998, pp. 399-414. DOI 10.1175/1520-0469(1998)055<0399:OSFSWO>2.0.CO;2
What an operational ensemble actually is, including why real ones are under-dispersive and why their perturbations are chosen rather than drawn at random: M. Leutbecher and T. N. Palmer, "Ensemble forecasting." Journal of Computational Physics 227(7), 2008, pp. 3515-3539. DOI 10.1016/j.jcp.2007.02.014
Where the fourth panel comes from: the decomposition that separates "were the probabilities honest" from "did they say anything useful", which is why a reliability curve is read as a curve rather than scored as a number: A. H. Murphy, "A New Vector Partition of the Probability Score." Journal of Applied Meteorology 12(4), 1973, pp. 595-600. DOI 10.1175/1520-0450(1973)012<0595:ANVPOT>2.0.CO;2
And the 1963 paper the whole subject starts from, which is a different model and a different lesson: E. N. Lorenz, "Deterministic Nonperiodic Flow." Journal of the Atmospheric Sciences 20(2), 1963, pp. 130-141. DOI 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.