Lecciones Interactivas de Matemáticas y Ciencias (ﾉ◕ヮ◕)ﾉ*:･ﾟ✧
Lección
Una serie de Fourier afirma que cualquier onda periódica, por dentada que sea, es una suma de senos puros cuyas frecuencias son múltiplos enteros de una fundamental. La suma se construye término a término y se dibuja sobre el objetivo. La palabra interesante es igual: la suma alcanza el objetivo allí donde el objetivo es continuo, y la fila Peak es donde se descubre qué pasa donde no lo es.
NkaₖPeakmax|fN(x)|, el punto más alto de la suma parcial. El objetivo tiene amplitud 1, así que esta fila pregunta en realidad si la suma se ha pasado.1.273 sin(x) + 0.4244 sin(3x) + 0.2546 sin(5x) + …, es decir 4/(kπ) con k = 1, 3, 5. Nada está ajustado — los coeficientes salen de una integral, y cada forma de onda tiene los suyos.f(x + π) = −f(x): desplazadas media periodo cambian de signo, y un armónico par no puede hacer eso. La de sierra no tiene esa simetría y por eso necesita todos los armónicos — cosa que la fila «Harmonics used» dice sin rodeos.4/π = 1.273 y decae como 1/k; la triangular 8/π² = 0.8106 y decae como 1/k²; la de sierra 2/π = 0.6366 y decae como 1/k. Decaer más rápido significa menos términos para la misma fidelidad — por eso la triangular parece acabada mucho antes que las otras dos.Pon la forma en triangular y sube N desde 1: el pico marca 0.8106, 0.9006, 0.9331, 0.9596 … 0.9899 en N = 20. Sube hacia 1 desde abajo y nunca lo pasa. Cambia a cuadrada: 1.273, 1.2, 1.188, 1.182 … y entonces simplemente se detiene, en 1.179, y ningún armónico más lo mueve. Por último la de sierra: 0.6366, 0.827, 0.9185, luego 1.008 en N = 5 — cruza el 1 — y en N = 20 va por 1.131 y sigue subiendo. Tres formas y tres historias completamente distintas en una sola fila. La de sierra es la que engaña: mirándola sola concluirías que el exceso crece sin límite. No es así. Va hacia el mismo 1.179 que la cuadrada, solo que por debajo.
(2/π)·Si(π) = 1.17898…, y añadir armónicos eternamente estrecha el pico sin bajarlo. Así que la serie converge a la cuadrada en cada punto por separado y jamás uniformemente — exactamente la distinción que este fenómeno existe para enseñar. También explica una contradicción aparente en esta página: la idea de arriba habla de un 8.95% y esta fila de un 17.9%. Ambas son correctas — 0.179 medido contra la amplitud 1 es 0.0895 medido contra el salto de 2. Michelson topó con el pico en 1898 en su propio analizador armónico y sospechó una avería de la máquina; Gibbs escribió al año siguiente a Nature para explicar que lo hacía la matemática, no el latón.TEORÍA DE FOURIER — POR QUÉ ALGUNAS ONDAS NECESITAN MÁS ARMÓNICOS
Toda onda periódica es una suma de senos. Cuántos necesitas para que la suma se vea bien no es cuestión de gusto: lo fija lo suave que sea la forma de onda objetivo. Un salto cuesta muchos más armónicos que una esquina, la simetría puede reducir el trabajo a la mitad gratis, y hay un error concreto que no desaparece por muchos términos que añadas.
01
La onda tiene: Un salto vertical entre dos niveles, más simetría de media onda.
Decaimiento de los coeficientes: cn ∝ 1/n, n = 2k+1
Lo que se ve: 10 armónicos dan bordes nítidos que aun así se pasan alrededor de un 9% de la altura del salto.
Abrir este caso: cuadrada, 10 armónicos
02
La onda tiene: Un salto por periodo y ninguna simetría de media onda que cancele nada.
Decaimiento de los coeficientes: cn ∝ 1/n, ∀n
Lo que se ve: 10 armónicos: rizado en cada salto, y todos los armónicos 1, 2, 3… aportan.
Abrir este caso: diente de sierra, 10 armónicos
03
La onda tiene: La onda en sí es continua; solo salta su pendiente.
Decaimiento de los coeficientes: cn ∝ 1/n2, n = 2k+1
Lo que se ve: 8 armónicos ya quedan casi exactamente sobre el objetivo, sin ningún sobrepico.
Abrir este caso: triangular, 8 armónicos
04
La onda tiene: Cortaste la suma en un N pequeño. La pregunta es qué quedó fuera.
Decaimiento de los coeficientes: ε ≈ ∑n>N cn
Lo que se ve: Una cuadrada con n = 1 es un solo seno: el periodo correcto, nada de la forma.
Abrir este caso: cuadrada, 1 armónico
Cinco ondas senoidales que aproximan una onda cuadrada la sobrepasan, alcanzando 1,182 frente al 1 de la onda cuadrada. Averigüe si añadir más términos lo soluciona.
Una onda cuadrada es impar y tiene simetría de media onda, lo que elimina todos los armónicos pares antes de realizar cualquier cálculo. Por tanto, cinco términos significan k = 1, 3, 5, 7, 9 — la lista de armónicos del panel es consecuencia de la simetría, no de una configuración.
La suma parcial sobreoscila cerca del salto. Para N = 5, el pico es 1,182 y el valor RMS es 0,979, ya muy cercano al valor RMS exacto de la onda, que es 1 — de modo que la energía es casi correcta aunque la forma cerca del borde no lo sea.
Pruebe ahora el remedio evidente. N = 1 alcanza un pico de 1,273; N = 5 de 1,182; N = 50 de 1,179; N = 200 de 1,17898.
Está convergiendo — pero no a 1. El límite es (2/π)·Si(π) = 1,17898, y la sobreoscilación nunca desaparece por mucho que aumente el número de términos.
Lo que sí ocurre es que la sobreoscilación se vuelve más estrecha. Se desplaza hacia la discontinuidad y ocupa cada vez menos anchura, razón por la cual el error RMS tiende a cero aunque el error de pico no lo haga.
Respuesta
La herramienta muestra N = 5, armónicos 1, 3, 5, 7, 9, un pico de 1,182 y RMS 0,979. El resultado fundamental es que el pico converge a 1,17898, no a 1. Ese es el fenómeno de Gibbs, y citarlo requiere cuidado: la sobreoscilación es del 8,95% del salto — y esta onda salta en 2, de −1 a +1, por lo que el mismo hecho se lee como el 17,9% de la amplitud. Ambos números son correctos y ninguno es el otro. Tampoco se trata de un artefacto numérico: es el aspecto que tiene la convergencia puntual cuando el límite es discontinuo, y es la razón por la que los bordes nítidos resuenan en JPEG y en filtros de audio.
Ruta de aprendizaje
