Números negativos

Elige dos números y una operación. Luego observa los movimientos en la recta. Aquí no hay reglas que debas aceptar a ciegas.

Ejemplo resuelto — Números negativos

Reflejos en el cero	0
Distancia entre ellos	8
Orden, luego su opuesto	5 > -3 → -5 < 3
es el mismo movimiento que	5 + 3

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Números negativos362 palabras

Un número negativo es el inverso aditivo de uno positivo: −a es el único número que al sumarse con a da 0. Todo lo demás sobre los negativos se deriva de esta única afirmación junto con las reglas aritméticas ordinarias, un hecho que queda demostrado en esta sección.

Qué significa cada símbolo

a: cualquier número, ya sea positivo o negativo. A la definición le da exactamente igual. Por este motivo −(−3) = 3 no necesita una regla aparte.
−a: el inverso aditivo de a; no es «una a con un menos pintado», sino la respuesta a qué debes sumarle a a para no obtener nada.
0: el elemento neutro de la suma y el pilar de todo el razonamiento. Es el único número que deja a los demás intactos al sumarlos.

De dónde viene la fórmula

Supón que la propiedad distributiva, a(b + c) = ab + ac, se cumple para los negativos igual que para los positivos. Esta es nuestra única premisa. Se trata de una elección consciente: nos empeñamos en que al ampliar la recta numérica no deben romperse las reglas que ya obedecen los positivos.
Aplícala a (−1)(1 + (−1)). El paréntesis vale 0. Como cualquier valor multiplicado por 0 da 0, toda la expresión equivale a 0.
Ahora desarrolla esa misma expresión por el otro camino posible: (−1)(1) + (−1)(−1). Esto nos da −1 + (−1)(−1).
Ambas lecturas deben dar el mismo resultado, así que −1 + (−1)(−1) = 0. Existe un único número que al sumarse con −1 da 0, y es +1. Nadie decidió esto. Sencillamente es el único valor que mantiene en pie la propiedad distributiva.

Supone: Que la aritmética de los negativos debe obedecer la misma propiedad distributiva que la de los positivos. Si renuncias a esto, puedes definir libremente que (−1)(−1) = −1. Pero entonces (−3)((−3) + 1) equivaldrá a (−3)(−2) = −6, mientras que (−3)(−3) + (−3)(1) dará −9 + (−3) = −12. Las dos formas de interpretar una misma expresión dejan de coincidir. Ese es el precio a pagar. Por eso la regla de los signos no es una convención.

La resta nunca fue una operación distinta 🖖

Pulsa 5 − (−3). La herramienta lo reescribe como 5 + (3) antes de mover nada, porque eso es la resta: a − b significa a + (−b) para cualquier a y cualquier b. Los negativos no lo convierten en un caso especial. Lo único que cambia cuando b es negativo es hacia dónde apunta la flecha. La flecha en sí sigue siendo la misma. Así que «dos signos menos dan un más» es justo lo que resulta al escribir la resta completa y notar que el opuesto de −3 es 3. Pon el segundo número que prefieras, positivo o negativo. La expresión reescrita sobre la recta numérica jamás dejará de cumplirse.

Multiplicar por un negativo refleja la recta 🖖

Pulsa (−3) × (−4) y observa tres movimientos distintos: un estiramiento hasta el 12, una reflexión respecto al cero hasta el −12 y una segunda reflexión de vuelta al 12. Cada factor negativo aporta exactamente una reflexión, que el indicador cuenta por ti. Dos reflexiones devuelven cada punto de la recta al lugar donde empezó. Por eso la respuesta es positiva. Esto también explica qué es un número negativo: una dirección. Multiplicar por −1 no encoge nada. Le da la vuelta a la recta. Ahora pulsa ÷ con esos mismos dos números. El contador de reflexiones no se mueve, porque dividir entre −4 es multiplicar por −¼, y el −¼ aporta ese mismo y único negativo. La regla de los signos, que se suele enseñar dos veces, es en realidad una sola.

Cambiar el signo invierte el orden: así se explica el giro de la desigualdad 🖖

Lee la relación de orden: −5 < −3. Cambia el signo de ambos para obtener 5 > 3. La relación se ha invertido. Y tiene que hacerlo. El cambio de signo es esa misma reflexión del bloque anterior, y darle la vuelta a la recta intercambia la izquierda y la derecha. Cualquier par de números distintos se comporta igual. Prueba con los dos que prefieras. Este es el motivo por el que una desigualdad cambia de sentido al multiplicar ambos lados por un negativo. La mayoría de la gente descubre esto años más tarde como una excepción inexplicable. Es la misma reflexión, aplicada a una comparación en vez de a un punto.

Problemas resueltos al detalle

El aumento de temperatura de un congelador que se calienta de −18 °C a −4 °C 7 pasos
Un congelador está a −18 °C. Se calienta hasta los −4 °C. ¿Cuánto subió la temperatura y cuáles son las dos formas de equivocarse al calcularlo?
1. La mayoría responde 14 y acierta, así que lo interesante es observar cómo son los caminos equivocados. Escribe el cambio como una resta normal: el valor nuevo menos el antiguo.
  
  $(- 4) - (- 18)$
2. Restar −18 significa sumar su opuesto, de modo que la operación es −4 + 18.
  
  $(- 4) + 18 = 14$
3. Catorce grados. La respuesta incorrecta habitual es 22, y proviene de sumar las magnitudes como si ambas fuesen distancias a partir de la nada: 18 + 4. La recta dificulta cometer ese error, porque te permite ver que tanto el −18 como el −4 están en el mismo lado del cero.
  
  $18 + 4 = 22$
4. La otra respuesta incorrecta frecuente es −22, por tratar ambos signos como instrucciones para ir hacia la izquierda. Eso es confundir el signo del número con la operación, por lo que vale la pena separarlos explícitamente.
  
  $- (18 + 4) = - 22$
5. Veamos ahora la misma pregunta en el sentido inverso. Enfriarlo desde −4 de vuelta a −18 equivale a un cambio de −14, pero la distancia sigue siendo 14. Distancia y cambio son magnitudes distintas, y solo una de ellas lleva signo.
  
  $(- 18) - (- 4) = - 14, ∣ - 18 - (- 4) ∣ = 14$
6. Esto cobra importancia justo en el momento de multiplicar los números. Duplicar un cambio de temperatura de −14 da −28. Es un solo giro y la lectura desciende todavía más. Reducirlo a la mitad nos da −7, lo cual sigue siendo un único giro. El negativo está en el cambio, no en el multiplicador.
  
  $2 \times (- 14) = - 28$
7. Y aquí la herramienta deja de ser suficiente. El doble de −18 °C no es −36 °C en ningún sentido físico, porque el cero Celsius es una convención más que una ausencia absoluta de calor. Multiplicar una temperatura por un número carece de sentido; multiplicar un cambio de temperatura por un número no presenta ningún problema. La aritmética no puede decirte con cuál de las dos cosas estás trabajando.
  
  $2 \times (- 18^{\circ} C) \neq = - 36^{\circ} C$
Respuesta

Una subida de 14 °C. Al escribirlo, −4 − (−18) = −4 + 18 = 14, y cada paso se corresponde con el mismo movimiento que dibuja la herramienta. Las dos respuestas erróneas habituales, 22 y −22, nacen de confundir el signo de un número con el sentido de una operación.
De −3 a 5, y los dos números que están a 8 de distancia 6 pasos
Un buceador está 3 m bajo la superficie y una gaviota, 5 m por encima. Calcula la distancia entre ambos y decide después si esa distancia por sí sola te permitiría volver a colocar la gaviota.
1. El primer impulso que hay que quitarse de encima es restar los tamaños. Cinco y tres, o sea dos.
  
  $∣5∣ - ∣ - 3∣ = 5 - 3 = 2$
2. La resta en sí. El cambio es −8, que es lo que da la tarjeta del resultado, y la distancia es su tamaño, 8.
  
  $(- 3) - 5 = (- 3) + (- 5) = - 8, (- 3) - 5 = 8$
3. Ocho porque el recorrido cruza el cero, así que las dos profundidades se suman en lugar de cancelarse. Siempre que los números están en lados opuestos del cero, la distancia es la suma de sus tamaños.
  
  $x < 0 < y ⟹ ∣ x - y ∣ = ∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 3 + 5 = 8$
4. En el mismo lado se restan. Un congelador que se calienta de −18 a −4 se mueve 14, que es 18 − 4. Una sola regla con dos caras, y lo que decide qué cara te toca es si el cero queda entre los números.
  
  $x, y < 0 ⟹ ∣ x - y ∣ = ∣ x ∣ - ∣ y ∣ : - 18 - (- 4) = 18 - 4 = 14$
5. Ahora lee al revés la tarjeta de la distancia. Dice 8, y 8 es todo lo que dice. Hay dos números a 8 de distancia de −3, y la ecuación que los encuentra tiene dos soluciones porque tomar el tamaño tiró un signo a la basura.
  
  $x - (- 3) = 8 ⟹ x + 3 = \pm 8 ⟹ x = 5, - 11$
6. Las dos respuestas siempre quedan una a cada lado del punto desde el que se midieron: su media es exactamente ese punto. Cada par de números tiene una distancia, y cada distancia tiene dos números detrás.
  
  $\frac{5 + ( - 11 )}{2} = - 3$
Respuesta

8 m. El buceador y la gaviota están en lados opuestos del cero, de modo que sus profundidades se suman en lugar de cancelarse. Lee ese mismo 8 al revés y no señala a la gaviota: el −11 está exactamente a la misma distancia de −3 que el 5, y la tarjeta de la distancia no puede distinguirlos, porque el signo se le fue al tomar el tamaño.

$∣ x - a ∣ = d ⟹ x = a \pm d (d > 0)$

Ruta de aprendizaje

Despejar la x, partiendo del signo menos

Lleva a Ecuaciones lineales la certeza de que restar equivale a sumar el opuesto.

Referencias (1)

A Fields Medallist on why the rule that looks like a convention is not one, and why it took so long to accept: D. Mumford, "What's so Baffling About Negative Numbers? — a Cross-Cultural Comparison." In Studies in the History of Indian Mathematics, Hindustan Book Agency, 2010, pp. 113–143.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-25

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

5 − (−3) - Restar −3 desplaza 3 lugares a la derecha hasta terminar en 8. No es una regla especial. Restar cualquier número significa sumar su opuesto, y el opuesto de −3 es 3.
(−3) × (−4) - Dos negativos, dos reflejos. Estira hasta 12, refleja a −12 y vuelve a reflejar a 12. Al reflejar dos veces, cada punto vuelve a su posición inicial. Esa es toda la esencia de "menos por menos da más".
Cruzar el cero - De −3 a 5 la distancia es 8, no 2. Restar las magnitudes es el error más frecuente al trabajar con números con signo. Esta recta hace muy difícil cometerlo.
El orden se invierte - −5 es menor que −3, pero 5 es mayor que 3. Cambiar de signo invierte el orden. Precisamente por eso el sentido de una desigualdad cambia al multiplicar ambos lados por un negativo.