Despeje de fórmulas

Deshaz las operaciones una a una hasta despejar la letra que buscas. Solo puedes deshacer la más externa: dividir entre a antes de restar u también dividiría la u.

Ejemplo resuelto — Despeje de fórmulas

Pasos necesarios	2
Coinciden	4 vs 4 ✓

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Lección

La teoría — Despeje de fórmulas367 palabras

Convertir una letra en la variable despejada significa obtener una fórmula equivalente con esa letra sola en un lado. Saber si esto se puede hacer se divide en dos preguntas que desde fuera parecen idénticas: si este método puede lograrlo, y si algún método puede.

Qué significa cada símbolo

subject: la letra que estás despejando. Saber cuál es cambia la dificultad por completo; a la fórmula le da igual, pero al álgebra no.
±: lo que devuelve una raíz de índice par: dos candidatos y ninguna manera de elegir entre ellos basándote únicamente en el álgebra.

Supone: Que cada operación entre la variable despejada y tú se puede deshacer, una por una, desde fuera hacia dentro. Esto se cumple exactamente cuando la letra aparece una sola vez.
Falla cuando: En dos lugares muy distintos, y saber distinguirlos es la clave. El método se agota cuando la letra aparece más de una vez: s = ut + ½at² impide despejar por capas, y la página te lo advierte. Pero esa fórmula es una cuadrática en t y un método distinto la resuelve con exactitud: con u = 3, a = 2 y s = 20 la respuesta es t = 3.216991, y al sustituirla de vuelta obtienes 20,000000. Ahí no hay nada irresoluble; despejar por capas es simplemente el método equivocado. La ecuación en sí se resiste en la fórmula de Kepler M = E − e sin E, donde la E aparece por su cuenta y a la vez dentro de un seno, por lo que ninguna sucesión finita de operaciones algebraicas sobre M y e logrará despejarla jamás. Esa tampoco es un callejón sin salida: Lagrange y Bessel la resuelven mediante una serie, y las funciones de Bessel se inventaron para los coeficientes. Lo que tiene la serie en su lugar es una frontera. Solo converge para excentricidades inferiores al límite de Laplace, 0.662743419349, y el cometa Halley, con e = 0.967, queda fuera de él. Por lo tanto, la respuesta sincera a «¿se puede despejar esto?» tiene tres niveles: este método no puede, pero otro sí; ningún método puede, pero una serie sí; y la serie tiene un rango.

Una fórmula es una ecuación con letras más dóciles 🖖

Para despejar t en v = u + at: resta u en ambos lados y luego divide ambos lados entre a. Para resolver 3x + 4 = 10: resta 4 en ambos lados y divide ambos lados entre 3. Son los mismos dos movimientos, en el mismo orden y por la misma razón. Estás deshaciendo cómo se construyó la expresión, comenzando por la operación más externa. Es lo único que necesitas saber, y explica por qué no hay una lista de reglas separada para las fórmulas. Las letras dan la impresión de que es un proceso distinto porque nada colapsa en un número por el camino, de modo que la respuesta sigue siendo una expresión en lugar de un valor numérico.

Deshacer un cuadrado devuelve dos respuestas sin ofrecer manera de elegir 🖖

Pulsa A = πr² y despeja la r. La herramienta imprime ±√(A / π), y lo dice en serio: ambos valores, al elevarlos al cuadrado, dan la misma área. El álgebra ha hecho todo lo posible y te ha dejado con dos candidatos. Descartar el negativo es una conclusión sobre los círculos (los radios no son negativos), no un paso algebraico de la resolución. En un problema de física, ante la misma situación, a menudo se conservan ambas raíces. Un proyectil alcanza una altura dada en dos instantes distintos; el primero suele ser la respuesta que no buscabas, pero sigue siendo un dato real. El álgebra no puede distinguir estas dos situaciones. Tú sí.

Cuando la letra aparece dos veces, el método deja de funcionar 🖖

Pulsa s = ut + ½at² e intenta despejar la t. La herramienta se niega. Desgranar una fórmula consiste en deshacer las operaciones de fuera hacia dentro, una por una. Esto solo logra aislar una letra si esta aparece exactamente una vez. Si aparece dos veces, no hay hacia dónde avanzar. Esta fórmula en particular se convierte en una ecuación cuadrática en t y cede ante la fórmula general, pero esa es una técnica distinta que arroja un resultado con otra estructura: dos raíces en lugar de una sola expresión. Muchas fórmulas carecen por completo de una expresión de forma cerrada. Lo más honesto que puede hacer una herramienta es indicar en qué caso se encuentra, en lugar de producir un resultado erróneo con total seguridad.

Problemas resueltos al detalle

El radio cuando el área de un círculo es 78,54 cm² 7 pasos
El área de un círculo es 78,54 cm². Halla el radio y di con precisión dónde se detiene el álgebra y empiezas tú.
1. Empieza por la fórmula tal como se da, con A ya despejada y r oculta en el interior de un cuadrado.
  
  $A = π r^{2}$
2. Despeja desde fuera hacia dentro. La operación más externa aplicada sobre r es la multiplicación por π, así que primero divide ambos lados entre π.
  
  $\frac{A}{π} = r^{2}$
3. Ahora el cuadrado. Al deshacerlo llegas al paso donde un valor de entrada deja de producir un solo resultado, motivo por el cual la línea lleva un ± en lugar de una simple raíz.
  
  $r = \pm \frac{A}{π}$
4. El ± cumple una función esencial: tanto +5 como −5 elevados al cuadrado dan 25, por lo que ambos son soluciones correctas de la ecuación r² = 25. La ecuación no sabe qué significa r.
  
  $(+ 5)^{2} = 25 = (- 5)^{2}$
5. Al sustituir el número: r = ±5 cm, y 5 es la respuesta porque un radio es una longitud. Esta afirmación no pertenece al álgebra. Es el único paso de todo el problema que ha requerido saber qué representan las letras.
  
  $r = \pm \frac{78.54}{π} = \pm 5$
6. Comprueba avanzando, la única comprobación que merece la pena hacer: vuelve a introducir el 5 en la fórmula original y observa si obtienes el área de nuevo.
  
  $π (5)^{2} = 78.54 ✓$
7. Y fíjate en lo que cambiaría en un contexto diferente. La misma ecuación h² = 25 para una altura por encima y por debajo de una línea conserva ambas respuestas. La misma ecuación t² = 25 para medir el tiempo conserva el −5 solo si el reloj se inició en otro instante. El álgebra resulta idéntica en los tres casos. El descarte no lo es.
  
  $h^{2} = 25 \Rightarrow h = \pm 5 (both)$
Respuesta

r = 5 cm. El álgebra da ±5 y se detiene ahí, correctamente. Elegir el 5 es una afirmación sobre los radios y supone el único paso del problema que la fórmula nunca habría podido hacer por ti.
Fahrenheit como incógnita despejada, y la lectura en que ambas escalas coinciden 6 pasos
Despeja F en C = 5(F − 32)/9 y compruébalo con el agua hirviendo. Decide después si un termómetro puede llegar a marcar el mismo número en las dos escalas.
1. F está enterrada a tres niveles: dentro de un paréntesis, dentro de una multiplicación por 5, dentro de una división entre 9. Pela desde fuera, así que el 9 sale primero.
  
  $C = \frac{5 ( F - 32 )}{9}$
2. Multiplica ambos lados por 9 y divide luego entre 5. Dos de los tres movimientos, y ninguno ha tocado el paréntesis.
  
  $9 C = 5 (F - 32) ⟹ \frac{9 C}{5} = F - 32$
3. Suma 32 y F queda sola. Tres movimientos, que es lo que cuenta el panel, y la tarjeta de comprobación mete 100 °C de vuelta en la fórmula despejada y obtiene 212.
  
  $F = \frac{9 C}{5} + 32; C = 100 : \frac{900}{5} + 32 = 180 + 32 = 212$
4. Ahora la pregunta que este método rechaza. Preguntar dónde marcan lo mismo las dos escalas significa poner F = C, lo que deja la letra en los dos lados. Ahí es donde se detiene la herramienta, porque ya no queda nada hacia lo que pelar.
  
  $F = C : C = \frac{9 C}{5} + 32$
5. Aquí las dos apariciones son lineales, así que se agrupan en una y el pelado vuelve a empezar. La respuesta es −40, y cuadra: 9(−40)/5 + 32 es −72 + 32.
  
  $C - \frac{9 C}{5} = 32 ⟹ - \frac{4 C}{5} = 32 ⟹ C = - 40$
6. Ese mismo agrupamiento responde a la versión general. Fahrenheit es el doble que Celsius a 160 °C, que son 320 °F. Con k = 1,8 el denominador se anula y no hay respuesta, porque las dos rectas son paralelas y Fahrenheit va siempre 32 por delante de 1,8 × Celsius.
  
  $F = k C : C = \frac{32}{k - 1.8}; k = 2 ⟹ C = 160, F = 320$
Respuesta

F = 9C/5 + 32, y las dos escalas coinciden en −40. Tres movimientos dan la vuelta a la fórmula, y el panel lo confirma devolviendo 100 °C a 212 °F. El punto fijo exige un cuarto movimiento que la herramienta no ofrece: agrupar las dos C. Eso funciona solo porque ambas son lineales, y en eso consiste toda la diferencia entre esto y la fórmula del desplazamiento que la herramienta rechaza.

$F = k C ⟹ C = \frac{32}{k - 1.8} : k = 1 \to - 40, k = 2 \to 160$

Ruta de aprendizaje

Despejar la x, partiendo del signo menos

Lleva a Dos ecuaciones a la vez el mismo proceso de resolución aplicado a letras en lugar de números, junto a la destreza de despejar la variable que quieras.

Referencias (1)

The series that solves what peeling cannot, and the eccentricity at which it stops: P. Colwell, "Bessel Functions and Kepler's Equation." The American Mathematical Monthly 99:1 (1992), 45–48.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-26

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

v = u + at - Despejar t requiere dos pasos: restar u y dividir entre a. Son exactamente los mismos pasos que harías en 3x + 4 = 10, pero con otras letras.
A = πr² - Despejar r implica deshacer un cuadrado, lo que produce dos resultados. La herramienta muestra ±. Descartamos el valor negativo únicamente porque r es un radio. Es una decisión sobre círculos, no sobre álgebra.
s = d / t - Aquí la t está en el denominador. Como no puedes eliminar un denominador dividiendo, ambos términos intercambian posiciones: d / t = s se convierte en t = d / s.
De Fahrenheit a Celsius - Se necesitan tres pasos para invertirla. El resultado es esa fórmula que todos recordamos a medias. Vale la pena hacerlo una vez en lugar de memorizar dos fórmulas distintas.
s = ut + ½at² - Intenta despejar t y la herramienta se detendrá. Como la t aparece en dos lugares, ninguna secuencia de operaciones inversas podrá aislarla. Aquí necesitas la fórmula cuadrática. Es un problema distinto.
T = 2π√(l/g) - La longitud se encuentra bajo una raíz cuadrada. Para liberarla debes elevar ambos miembros al cuadrado, el único paso aquí que no es una resta ni una división. Si en cambio intentas despejar g, tendrás que sacarla también de un denominador.
E = ½mv² - Como v está al cuadrado, al despejarla aparece un ±. Descartamos una de las opciones solo porque la rapidez no puede ser negativa. Se trata de un hecho del mundo real, no del álgebra.
V = IR - Un solo paso, mientras que los demás ejemplos aquí toman tres. Vale la pena hacerlo una vez: así se verían las otras fórmulas si no hubiera nada alrededor de la letra que necesitas.
d = m / V - La V está en el denominador, y este no se puede quitar dividiendo. Por lo tanto, ambos intercambian lugares: d = m / V se convierte en V = m / d.
c = √(a² + b²) - Despejar un cateto exige deshacer un cuadrado. El álgebra ofrece dos resultados y uno de ellos es una longitud negativa. Es el mismo ± que en el ejemplo de la energía cinética, descartado por la forma geométrica en lugar de por los cálculos.
A = bh / 2 - Escrita tal como se enseña en la escuela, A = bh / 2 en lugar de ½bh. La forma con la fracción se despejaría como h = A / (½b). Es correcta, pero nadie la escribiría así. El proceso toma dos pasos en ambos casos, y la respuesta es la fórmula que habrías deducido.