Resolución de pantalla y distancia de visualización

Tu sofá está a 3,0 m de la pared. Un televisor 4K de 55 pulgadas y otro televisor 4K de 65 pulgadas están en la estantería. ¿Te da alguno más detalle que el 1080p y, si no es así, qué lo haría?

1. Empieza por la anchura. La diagonal es el número que viene en la caja; la anchura es el que decide el ángulo. Para 16:9 la diagonal es √(16² + 9²) = 18,3576 partes, de las cuales 16 son la anchura.

   $$W=55^{\prime \prime }\times \frac{16}{\sqrt{16^2+9^2}}=47.94^{\prime \prime }=1217.6\mathrm{mm}$$

2. Ahora el ángulo que esa anchura cubre desde el sofá. Pártelo por la mitad: media anchura son 608,8 mm, vistos desde 3000 mm.

   $$\theta =2\arctan \frac{608.8}{3000}=22.94^{\circ }=1376.6^{\prime }$$

3. Divide por el ángulo de resolución. Un ojo 20/20 separa detalles a un minuto de arco de distancia. Así, a 20/20 el recuento de minutos de arco equivale al recuento de columnas y no hace falta calcular nada para pasar de uno a otro.

   $$N=\frac{1376.6^{\prime }}{1.0^{\prime }}=1377$$

4. 1.377 columnas. El 1080p proporciona 1.920 y el 4K aporta 3.840, por lo que desde ese sofá el aparato de 55 pulgadas entrega menos detalle del que lograría un panel 1080p. La etiqueta 4K no aporta absolutamente nada. Prueba con el de 65 pulgadas.

   $$65^{\prime \prime }\Rightarrow W=1439.0\mathrm{mm},\theta =26.97^{\circ }\Rightarrow N=1618$$

5. Sigue quedándose corto, y por 302 columnas. Así que hazlo a la inversa y pregúntate qué anchura sitúa la cuenta en 1.920. A un minuto de arco eso son 1.920 minutos de arco, que son 32°, o sea 16° a cada lado del centro.

   $$N=1920\Rightarrow \theta =32^{\circ }\Rightarrow W=2(3000)\tan 16^{\circ }=1720\mathrm{mm}$$

6. Vuelve a convertir esa anchura en el número escrito en la caja.

   $$D=1720\times \frac{\sqrt{16^2+9^2}}{16}=1974\mathrm{mm}=77.7^{\prime \prime }$$

7. Pon la diagonal en 78 y la distancia en 3,0, y la herramienta marcará 1.927 columnas. Desde 3,0 m, entonces, el 1080p empieza a rentabilizarse en torno a las 78 pulgadas. El 4K requeriría 64° de pantalla: un panel de 169 pulgadas y 3,74 m de ancho, algo más ancho que la pared donde colgaría en la mayoría de las casas.

   $$N=3840\Rightarrow \theta =64^{\circ }\Rightarrow W=2(3000)\tan 32^{\circ }=3749\mathrm{mm}(D=169^{\prime \prime })$$

8. Una advertencia, y va en sentido contrario a todo lo anterior. Esas 1.377 columnas son un presupuesto repartido a lo largo de los 22,9°, y tu ojo no mantiene una visión de 20/20 a través de 22,9°. El poder de resolución total reside en la fóvea, que abarca a grandes rasgos los dos grados centrales.

   $$2^{\circ }\times 60=120$$

Un televisor 8K de 55 pulgadas, a 2,5 m. Calcula cuántos de sus 33 millones de píxeles llegan como detalle y decide después qué tendría que cambiar para que el resto valiera su silicio.

1. El ángulo lo fija la anchura, no la diagonal.

   $$W=55^{\prime \prime }\times \frac{16}{\sqrt{16^2+9^2}}=47.94^{\prime \prime }=1217.6\mathrm{mm}$$

2. Media anchura vista desde 2,5 m da 27,4°, y con una agudeza de un minuto de arco los grados se convierten directamente en columnas.

   $$\theta =2\arctan \frac{608.8}{2500}=27.4^{\circ }=1,642^{\prime }$$

3. Al sofá llegan 1.642 columnas de las 7.680 que hay en el cristal. La tarjeta imprime la primera cifra; la caja imprimía la segunda.

   $$N=\frac{1,642^{\prime }}{1.0^{\prime }}=1,642\mathrm{of}7,680$$

4. Las columnas son una sola dimensión. Las filas que el ojo aprovecha escalan igual, así que la imagen entregada es de 1.642 por 924, es decir, 1,52 megapíxeles.

   $$1,642\times \frac{9}{16}=924,1,642\times 924=1,517,208=1.52\mathrm{Mpx}$$

5. Frente a los 33,18 del panel eso es el 4,6%. La versión 4K de esa misma pantalla, desde el mismo asiento, entrega idénticas 1.642 columnas e idénticos 1,52 megapíxeles, el 18,3% de su propio recuento. Cuatro veces los píxeles, y no llega ni uno de los que sobran.

   $$\frac{1.52}{33.18}=4.6\%,\frac{1.52}{8.29}=18.3\%$$

6. Lo que tendría que cambiar es el ángulo, y solo el ángulo. Aprovechar las 7.680 columnas exige 7.680 minutos de arco de visión, que son 128°, y eso significa sentarse a 297 mm de una pantalla de 55 pulgadas.

   $$7,680^{\prime }=128^{\circ }⟹d=\frac{608.8}{\tan 64^{\circ }}=\frac{608.8}{2.050}=297\mathrm{mm}$$

7. O quedarte donde estás y agrandar la pantalla hasta los 10,25 m de ancho, una diagonal de 463 pulgadas.

   $$W=2(2500)\tan 64^{\circ }=10,251\mathrm{mm}⟹D=463^{\prime \prime }$$