El límite de difracción

Ajusta el diámetro de la abertura, la longitud de onda y dos puntos de luz a cierta distancia. La página muestra la imagen que formaría una abertura circular perfecta y transparente, dibujando como un rastro fantasma los dos puntos que predeciría la óptica de rayos, e indica si la imagen presenta uno o dos picos.

Ejemplo resuelto — El límite de difracción

Ese ángulo como distancia en los puntos	107,4 m
Ángulo entre los dos puntos, α	0,00504″
Su separación como fracción de θ1	0,087
Longitudes de onda en la abertura	4.363.636

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — El límite de difracción

El límite de difracción es el detalle angular más fino que una abertura de diámetro D puede revelar con luz de longitud de onda λ. Una fuente puntual observada a través de una abertura circular transparente forma el patrón de Airy, I = I₀[2J₁(v)/v]² donde v = πD sin θ/λ, cuyo primer anillo oscuro se sitúa en sin θ₁ = 1,21967 λ/D. Según el criterio de Rayleigh, dos puntos iguales apenas se resuelven cuando cada uno se encuentra sobre el primer anillo oscuro del otro; el brillo a medio camino cae entonces al 73,50 % del máximo. El criterio de Sparrow (1916) toma la separación en la que la caída de brillo entre ellos acaba de desaparecer, lo que para este patrón equivale a 0,947 λ/D.

Qué significa cada símbolo

D: el diámetro de la abertura: una pupila, una lente, un espejo
λ: la longitud de onda de la luz
θ_1: el ángulo desde el centro de la imagen de un punto hasta su primer anillo oscuro, 1,21967 λ/D
α: el ángulo entre los dos puntos visto desde la abertura, s/d
d: la distancia desde la abertura a los dos puntos

Falla cuando: El espejo secundario del Hubble bloquea el centro de su abertura, y el espejo del JWST consta de dieciocho segmentos hexagonales, de manera que ninguno de los dos produce exactamente el patrón de Airy: un centro obstruido estrecha ligeramente el núcleo y desplaza luz hacia los anillos, mientras que los bordes de los segmentos añaden espigas de difracción. Un telescopio en tierra observa a través de aire en movimiento, lo que normalmente difumina la imagen mucho más que el límite de difracción de su espejo a menos que la óptica adaptativa lo corrija.

El Hubble no puede distinguir los módulos lunares 🖖

Pulsa Hubble y el módulo lunar. «La imagen de una estrella no será un punto, sino un círculo brillante rodeado por una serie de anillos luminosos», escribió George Airy en un artículo leído ante la Sociedad Filosófica de Cambridge en noviembre de 1834, y situó el primer anillo negro donde su variable alcanzaba 3,832. En términos actuales, este anillo se encuentra en el ángulo θ₁ = 1,21967 λ/D, siendo 1,21967 el primer cero de la función de Bessel J₁, 3,83171, dividido entre π; el 83,78 % de la luz se concentra en su interior. Para el espejo de 2,4 m del Hubble, considerándolo como una abertura transparente, en luz verde de 550 nm, θ₁ es de 0,0577″, lo que a los 384.400 km de la Luna equivale a 107,4 m. Cada punto lunar se convierte en un borrón de ese tamaño, y los puntos que están mucho más cerca se funden en uno solo. Las patas de un módulo lunar tienen una envergadura de 9,4 m de base a base, apenas 0,087 de la distancia: ambos lados de la nave caen dentro de un mismo borrón y forman un único pico. Si esa luz adicional podría llegar a notarse como un cambio en el brillo del borrón es una cuestión de contraste y ruido que esta página no modela; lo que la difracción descarta por completo es poder ver la forma del módulo. De hecho, el propio pie de foto de la NASA para las imágenes que el Hubble tomó en 2005 de la región de alunizaje del Apolo 17 afirma que se aprecian detalles «más pequeños que un campo de fútbol», y nada más.

Aumentar un borrón solo te da un borrón más grande 🖖

Pulsa Hubble y el módulo lunar, luego Los mismos, 8 aumentos, o arrastra el control Aumentar. Todo crece a la vez: el borrón, sus anillos y la separación entre los dos fantasmas discontinuos, de modo que la forma de la imagen no cambia y sigue teniendo un solo pico. Una abertura circular no deja pasar ningún patrón más fino que λ/D en ángulo. Las franjas en la Luna con un periodo inferior a λd/D, 88,09 m para el Hubble, llegan a la imagen sin ningún contraste en absoluto: exactamente cero, no solo tenues. Los dos lados del módulo no forman dos picos: a lo largo de la línea que los atraviesa, la imagen difiere de la de un solo punto del doble de brillo en un máximo del 0,71 % de su pico. Superado el aumento en el que tu ojo es capaz de distinguir el borrón, seguir ampliando no te mostrará nada nuevo, razón por la cual los ópticos lo llaman aumento vacío.

El espejo del JWST, aunque más grande, es más borroso que el del Hubble en el infrarrojo 🖖

El límite depende de D/λ, la abertura medida en longitudes de onda, y no solo de D. Los dieciocho segmentos del JWST actúan como un espejo único de unos 6,5 m de ancho, 2,71 veces el del Hubble. Sin embargo, sus instrumentos operan desde 0,6 µm, en el extremo rojo del espectro visible, hasta 28,5 µm en el infrarrojo, y la documentación del STScI señala que proporciona imágenes limitadas por difracción en longitudes de onda superiores a 2 µm. A 2 µm, en 6,5 m caben 3.250.000 longitudes de onda; en los 2,4 m del Hubble caben 4.363.636 longitudes de onda de luz verde. Por tanto, a 2 µm el primer anillo oscuro del JWST está a 0,0774″, un valor 1,34 veces mayor que los 0,0577″ del Hubble en luz verde, e igualándose ambos a 1.490 nm. Pulsa Dos puntos a 110 m, que el Hubble logra separar, y luego Esos 110 m, JWST a 2 µm, donde se funden. La tabla inferior lleva esta misma comparación hasta tu propio ojo: una pupila de 3 mm contiene 5.455 longitudes de onda de luz verde, y su límite es de 46,1″.

Problema resuelto al detalle

¿Qué tamaño de espejo separaría el módulo? 3 pasos
Las patas de un módulo lunar tienen una envergadura de 9,4 m. ¿Qué tamaño de espejo situaría sus dos lados a un primer anillo oscuro de separación, vistos desde la Tierra en luz verde de 550 nm? El campo de diámetro llega solo hasta 10 m, quedándose corto para la respuesta. Pulsa Hubble y el módulo lunar primero: la página te dará θ₁ y los 107,4 m.

Abre este problema en la herramienta
1. Los dos lados están separados por α = s/d. Iguala esto a θ₁ = 1,21967 λ/D y despeja D:
  
  $α = \frac{s}{d} = 1.21967 \frac{λ}{D} \Rightarrow D = \frac{1 . 21967 λ d}{s} = \frac{1 . 21967 \times 550 \times 1 0 ^{- 9} \times 3 . 844 \times 1 0 ^{8}}{9 . 4} = \frac{257 . 86}{9 . 4} = 27.43 m$
2. Lo mismo usando la propia cifra de la página: el límite del Hubble en la Luna es de 107,4 m, 11,4 veces los 9,4 m, y el límite varía como 1/D:
  
  $D = 2.4 m \times \frac{107 . 4 m}{9 . 4 m} = 2.4 m \times 11.4 \approx 27.4 m$
3. En el infrarrojo a 2 µm, D/λ debe mantenerse constante, por lo que el espejo crece en proporción a λ:
  
  $D_{2 μ m} = 27.43 m \times \frac{2000 nm}{550 nm} = 99.75 m$
Respuesta

Unos 27,4 m, 11,4 veces el espejo del Hubble. A 2 µm harían falta 99,8 m. Y aun así el módulo formaría dos patrones de Airy superpuestos a la separación de Rayleigh, no una fotografía nítida de la nave: mostrar su forma requiere varios elementos de resolución a lo largo de ella.

$D \approx 27.4 m = 11.4 \times D_{Hubble}; D_{2 μ m} \approx 99.8 m$

Ruta de aprendizaje

Óptica ondulatoria

Referencias (3)

Airy's own derivation of the pattern a round object-glass makes of a star: “The image of a star will not be a point but a bright circle surrounded by a series of bright rings”, their sizes “inversely as the aperture”; the central spot at half its light at n = 1.616 and “a black ring, when n = 3,832” (p. 287): G. B. Airy, “On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture”, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 5, pp. 283–291 (1835; read 24 November 1834).
The Apollo 11 lunar module's size: the descent stage “an octagonal prism 4.2 meters across”, and “the distance between the ends of the footpads on opposite landing legs was 9.4 m”: NASA Space Science Data Coordinated Archive, “Apollo 11 Lunar Module / EASEP”, NSSDCA ID 1969-059C.
JWST's mirror and where it becomes diffraction-limited: the primary is “18 hexagonal segments … which, when properly phased together, act as a single mirror ~6.5 m in diameter”, and “At wavelengths λ > 2 μm, JWST obtains diffraction-limited imaging with a Strehl ratio = 0.8”: Space Telescope Science Institute, JWST User Documentation: “JWST Telescope” and “MIRI Point Spread Functions”.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.