Interferencia en películas delgadas

Una película de jabón escurre sobre una cartulina negra, más fina arriba y más gruesa abajo. Cada color que ves se calcula a partir de la luz que refleja. A su lado está el fantasma: las mismas dos superficies sumadas como lo hace la óptica de rayos, sin interferencia. Pulsa sobre la película, o escribe un grosor, para ver el espectro que refleja.

Ejemplo resuelto — Interferencia en películas delgadas

Superficie superior sola	2,055%
El fantasma con luz blanca	4,025%
Un cuarto de onda a 550 nm	103,0 nm

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Interferencia en películas delgadas

Interferencia en películas delgadas: la luz reflejada por las dos superficies de una capa regresa como dos ondas, la segunda retrasada en δ = 4πn₁d/λ para una capa de índice n₁ y grosor d en incidencia normal. Cada superficie refleja una amplitud r = (n_a − n_b)/(n_a + n_b), negativa cuando la luz entra en un material más denso. Al sumar las ondas, con cada rebote dentro de la película, se obtiene la reflectancia R = (r₀₁² + r_1s² + 2r₀₁r_1s cos δ)/(1 + r₀₁²r_1s² + 2r₀₁r_1s cos δ).

Qué significa cada símbolo

d: el grosor de la película, en nm
n_1: el índice de refracción de la película a la longitud de onda en cuestión; el agua es 1,3347 a 550 nm
δ: cuánto se retrasa la luz de la superficie inferior, en radianes: 2π es una longitud de onda entera
Y: la reflectancia luminosa con luz blanca: el espectro reflejado ponderado por la sensibilidad del ojo, 100% para un reflector blanco perfecto

Supone: Luz que llega de frente, una película de grosor uniforme sobre la zona observada, y sin absorción. Una película de jabón se trata como agua; las capas de jabón en cada cara no se modelizan. La luz blanca es el iluminante D65 de la CIE.

La película de jabón más fina es la más oscura 🖖

Pulsa A punto de estallar. La parte superior de la película es ahora 10 nm de agua, y es negra. Una superficie de agua por sí sola refleja un 2,055% de la luz de 550 nm, y la óptica de rayos, al sumar las dos superficies de la película, prevé un 4,027%. La película refleja un 0,197%, menos de la décima parte de una sola superficie. Las dos reflexiones tienen casi el mismo tamaño, pero la de la parte superior, donde la luz pasa del aire al agua, vuelve invertida (r = −0,1434), y la de la parte inferior, del agua al aire, no (+0,1434). En una película mucho más fina que la longitud de onda, regresan casi al unísono y se cancelan. Aumenta el grosor de la película y la luz de la parte inferior se retrasará en δ = 4πn₁d/λ; en un cuarto de onda, a 103,0 nm, las dos se suman y la película refleja un 7,892%, casi el doble que el fantasma. Justo antes de volverse negra, la película tiene un tono gris azulado tenue, porque las longitudes de onda más cortas, con la mayor δ, son las últimas en cancelarse. Newton observó este fenómeno en una burbuja de jabón bajo una cubierta de cristal: una mancha negra crecía en la parte superior donde, según escribió, "Al principio creí que en ese lugar el agua no reflejaba luz alguna", y luego, al mirar más de cerca, vio una vela tenuemente reflejada en ella.

Una película gruesa vuelve a ser blanca, y sigue interfiriendo 🖖

Pulsa Película de 3 µm. A 550 nm esta película refleja un 7,635%, casi el máximo posible para cualquier grosor. Sin embargo, con luz blanca refleja un 4,013%, frente al 4,025% del fantasma, y se ve del mismo gris. El espectro explica el porqué: hay once picos de reflexión entre 380 y 780 nm, de modo que cada una de las tres funciones de mezcla de colores que la página integra abarca varias franjas brillantes y oscuras, y la suma resulta igual a la del fantasma. Ahora pulsa Verde cancelado. A 206 nm hay un único valle en el espectro visible, centrado en 550 nm, que elimina el verde y deja un violeta a 0,256 del blanco. La película más colorida de toda la escala está a unos pocos nanómetros de esta. Para que haya color se necesita un hueco en el espectro tan ancho como un color, algo que solo produce una película fina, y desde unos 2 µm hasta los 5 µm que alcanza la página, la película nunca vuelve a acercarse a más de 0,005 del blanco, frente al 0,256 de este violeta. El segundo libro de la Óptica de Newton comienza con esto, como algo que otros ya habían visto: las placas delgadas muestran colores "según sus distintos grosores, aunque a un grosor mayor parecen muy transparentes e incoloras". La óptica de rayos acierta con una película gruesa solo porque la luz blanca promedia las franjas hasta eliminarlas. La luz de una sola longitud de onda nunca lo hace.

Un recubrimiento con el doble de grosor se anula a sí mismo 🖖

Pulsa Lente recubierta. 100 nm de fluoruro de magnesio sobre vidrio crown reducen la reflexión a 550 nm del 4,239% al 1,247%. Parte de esto se debe a los saltos más suaves en el índice: sumar las dos superficies como hace la óptica de rayos da un 2,754%. El resto es cancelación. Ambas reflexiones invierten la onda, ya que cada una entra en un material más denso, y una capa de un cuarto de onda retrasa la segunda media vuelta (δ = 0,5013 vueltas), por lo que llegan desfasadas. Ahora pulsa Recubrimiento doble. A 200 nm el retraso es de una vuelta entera, las reflexiones vuelven a estar en fase, y la cara refleja un 4,239% a 550 nm, igual que el vidrio desnudo; con luz blanca refleja un 4,082%, frente al 4,24% al desnudo. Más recubrimiento no es mejor; el grosor adecuado sí lo es. Como un cuarto de onda solo encaja con una longitud de onda, la cara recubierta refleja un 1,634% a 450 nm y un 1,418% a 650 nm, más en ambos extremos del espectro que en el centro, razón por la cual la cara recubierta de la imagen es tenuemente violeta. La cancelación total necesita una capa de índice √1,5185 = 1,2323: escríbelo como índice de la película, ajusta d al cuarto de onda que dan los resultados, 111,6 nm, y la reflexión a 550 nm caerá al 0,000%. Carl Zeiss solicitó el 1 de noviembre de 1935 la patente de una capa evaporada sobre el vidrio en el vacío. Nombra como precursora una patente británica de Taylor de 1904, motivada por lentes antiguas cuyas zonas desgastadas parecían más transparentes que el vidrio pulido a su lado.

Problema resuelto al detalle

¿Cuántas superficies de vidrio reducen la luz a la mitad? 3 pasos
El objetivo de una cámara tiene muchas superficies de vidrio en fila. ¿Cuántas superficies de N-BK7 sin recubrir hacen falta para perder la mitad de la luz por reflexión, y cuántas recubiertas? Cuenta solo la luz que atraviesa cada superficie sin reflejarse. Pulsa Lente recubierta: la página te da la reflectancia a 550 nm de la superficie desnuda y la de la recubierta.

Abre este problema en la herramienta
1. Cada superficie deja pasar 1 − R de lo que le llega, así que k superficies dejan pasar (1 − R)^k. Iguala eso a un medio:
  
  $(1 - R)^{k} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{ln 2}{- ln ( 1 - R )}$
2. Para el vidrio desnudo, con R = 4,239%:
  
  $k = \frac{0 . 69315}{- ln 0 . 95761} = \frac{0 . 69315}{0 . 043315} = 16.00$
3. Para la superficie recubierta, con R = 1,247%:
  
  $k = \frac{0 . 69315}{- ln 0 . 98753} = \frac{0 . 69315}{0 . 012548} = 55.24$
Respuesta

Diecisiete superficies desnudas, o 56 recubiertas. El cálculo da k = 16,00 y 55,24, y las superficies vienen enteras: dieciséis desnudas aún dejan pasar un 50,01%, por lo que se necesitan nueve elementos de lente sin recubrir en el aire, no ocho, para perder la mitad de la luz de 550 nm. Diez superficies dejan pasar un 64,8% al natural frente a un 88,2% con recubrimiento. La luz que se pierde no desaparece: rebota entre las superficies y parte de ella llega a la imagen como neblina. La patente de Zeiss de 1935 menciona ese velo del negativo como su segunda razón para el recubrimiento.

$(1 - 0.04239)^{16} = 50 . 01%, (1 - 0.04239)^{17} = 47 . 89%; (1 - 0.01247)^{56} = 49 . 52%$

Ruta de aprendizaje

Óptica ondulatoria

Referencias (3)

Newton's own account of a soap bubble under a glass cover: the coloured rings descending as the water subsides, and the black spot that grows at the top, from which he first thought no light was reflected (Obs. 17); the order of the colours as the bubble thins, the early ones "very dilute and dirty" (Obs. 18); and the opening of the book, that thin plates show colours "according to their various thinness, altho' at a greater thickness they appear very clear and colourless": I. Newton, Opticks: or, A Treatise of the Reflections, Refractions, Inflections and Colours of Light, 4th edition. William Innys, London, 1730. Book II, Part I, opening paragraph and Observations 17–18.
Carl Zeiss's patent on raising the transmission of optical parts with a layer of lower index evaporated onto the glass in a vacuum, applied for on 1 November 1935; it gives Fresnel's reflectance, says that reflected and re-reflected light fogs a photographic negative, names calcium fluoride as the layer, and describes Taylor's British patent of 1904 as its forerunner, prompted by old lenses whose weathered patches looked more transparent: Carl Zeiss, Verfahren zur Erhöhung der Lichtdurchlässigkeit optischer Teile durch Erniedrigung des Brechungsexponenten an den Grenzflächen dieser optischen Teile, German patent DE 685767, filed 1 November 1935, published 23 December 1939.
The CIE 1931 2° colour-matching functions and the spectrum of standard illuminant D65, the two tables every colour on this page is computed from, taken at 5 nm from 380 to 780 nm: CIE, Colour-matching functions of CIE 1931 standard colorimetric observer (dataset CIE_xyz_1931_2deg.csv), 2019, doi:10.25039/CIE.DS.xvudnb9b; and CIE standard illuminant D65 (dataset CIE_std_illum_D65.csv), doi:10.25039/CIE.DS.hjfjmt59. International Commission on Illumination, Vienna.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.