La mancha de Arago

Elige un disco opaco, un orificio redondo o una placa zonal, la longitud de onda y la distancia a la pantalla. La página calcula la luz sobre la pantalla por difracción de Fresnel, anillo a anillo, dibuja las zonas de Fresnel en el obstáculo y deja la respuesta de la óptica de rayos como un fantasma discontinuo.

Ejemplo resuelto — La mancha de Arago

Zonas de Fresnel que cubre el obstáculo, N	3,160
Centro, fórmula cerrada de Fresnel, × haz libre	1,000
Centro, teoría escalar exacta, × haz libre	0,999996

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — La mancha de Arago

Visto desde un punto a una distancia z tras un plano, este se divide en zonas de Fresnel, anillos con bordes en r_n = √(nλz), y la luz de cada uno llega media longitud de onda detrás del anterior. Un disco u orificio de radio a cubre N = a²/λz de ellas. En la teoría de Fresnel, el centro de la sombra de un disco opaco es exactamente tan brillante como el haz libre para cualquier N: se trata de la mancha de Arago, también llamada mancha de Poisson. El centro de la luz de un orificio equivale a 4 sin²(πN/2) veces el haz libre, negro siempre que N sea par. Una placa zonal bloquea una de cada dos zonas y enfoca la luz en f = r₁²/λ.

Qué significa cada símbolo

a: el radio del disco u orificio
z: la distancia desde él a la pantalla
λ: la longitud de onda
N: a²/λz, el número de zonas de Fresnel que cubre el disco u orificio
r_n: el borde exterior de la enésima zona, √(nλz); en una placa zonal, r₁√n

Falla cuando: La teoría de Fresnel asume que la luz llega a la pantalla en ángulos pequeños. La teoría escalar exacta sitúa el centro de la sombra en z²/(z² + a²) del haz libre: 0,999996 para la pantalla de Arago a medio metro, pero 0,8 en z = 2a y la mitad en z = a. Fresnel indicó la misma condición: el teorema se cumple «tant qu'il n'en résulte pas une trop grande obliquité».

El centro de una sombra es brillante 🖖

Pulsa Pantalla Arago de 2 mm. La óptica de rayos dibuja un círculo negro, el fantasma discontinuo. La sombra calculada es oscura, por debajo de una quinta parte del haz libre en todas partes desde la mancha hasta nueve décimas partes del camino hacia el borde, sin embargo, en el mismísimo centro marca 1,000: tan brillante como si el disco no estuviera allí. Poisson descubrió esto en las integrales de la memoria de Fresnel para el premio de la Academia de 1818 y lo presentó como una objeción. El informe de Arago, leído el 15 de marzo de 1819, afirma «l'observation a parfaitement confirmé le calcul», y Fresnel atribuye a Arago haberlo visto detrás de una pantalla de 2 milímetros de ancho. El recuadro muestra por qué ocurre. Visto desde el centro de la pantalla, el plano del disco se divide en zonas de Fresnel, anillos cuyos bordes se sitúan a √(nλz), y la luz de cada uno llega media onda detrás del anterior. El disco bloquea las primeras 3,160 de estas zonas, y todo lo que queda fuera suma una luz exactamente tan brillante como el haz libre, sea cual sea el tamaño o la distancia del disco, siempre y cuando la luz se curve en ángulos pequeños: la tabla inferior abarca radios de 0,5 a 5 mm a 5 cm y a 1 m de distancia, y la integral numérica arroja 1,0000 cada vez. Fresnel añadió que el resultado no depende de la longitud de onda, por lo que la mancha debe ser blanca con luz blanca. Pulsa Lo mismo en luz blanca: su color difiere del haz libre en Δu′v′ = 0,0000. Un orificio es distinto, como también notó Poisson: pulsa Segundo caso: orificio, que es negro en su centro con luz roja y azul con luz blanca.

La mancha necesita un punto de luz y un círculo perfecto 🖖

Pulsa Iluminado por el Sol. Cada punto de una fuente proyecta su propio patrón, desplazado lateralmente por z veces su ángulo, y la página los suma todos. Con una fuente del tamaño del Sol, de 4,65 mrad de radio, el centro cae de 1,000 a 0,018. La mancha es una pequeña imagen de la fuente, de unos 0,383 λz/a de radio desde un punto único, y una fuente cuyo radio angular se acerque a 0,383 λ/a la difumina por completo: detrás del disco de 2 mm, la mancha solo conserva la mitad de su altura mientras la fuente tenga menos de 0,169 mrad de radio, un orificio de 0,34 mm a un metro de distancia, 27 veces más pequeño que el Sol. Maraldi, en 1723, dejó entrar la luz del Sol en una habitación oscura por un pequeño agujero y colgó una bola de una línea de diámetro, unos 2,3 mm, a 25 pies de él, unos 8 m, y vio «au milieu une aire circulaire fort claire» en su sombra, más grande detrás de bolas más pequeñas, tal como predice 0,383 λz/a. Lo explicó como luz fluyendo alrededor de la bola. El borde importa tanto como la fuente. La luz del borde llega al centro con una fase πr²/λz, por lo que un borde irregular la desordena. Cuánto depende de cómo se distribuyan los errores; para errores dispersos como una campana de Gauss con un valor cuadrático medio σ, la mancha decae como exp(−(2πaσ/λz)²), y para la pantalla de Arago a medio metro se reduce a la mitad en σ = 42 µm. Tras un disco de 60 µm de diámetro, con una rugosidad de unos 300 nm, un haz de moléculas de deuterio produjo una mancha de alrededor de una centésima del haz libre.

Bloquea una de cada dos zonas y la sombra se convierte en una lente 🖖

Pulsa Placa zonal, foco rojo. Por sí sola, una zona de Fresnel envía al centro el doble de amplitud que el haz libre, y las zonas vecinas llegan en fase opuesta, motivo por el cual todo el plano abierto produce apenas la mitad de la amplitud de la primera zona aislada. Bloquea las zonas pares y las impares llegarán al unísono: diez zonas abiertas dan (2 × 10)² = 400 veces el haz libre, y la integral arroja 399,999 a 0,3949 m. Los bordes r_n = r₁√n están grabados en la placa, de modo que coinciden con las zonas de Fresnel una a una solo a la distancia f = r₁²/λ, que es inversamente proporcional a la longitud de onda: 0,3846 m para luz roja de 650 nm y 0,5556 m para luz azul de 450 nm, 1,44 veces más lejos. Una lente de cristal hace lo contrario y enfoca el azul más cerca que el rojo. El panel inferior muestra picos igual de altos en f/3, f/5 y f/7, donde cada anillo abierto alberga tres, cinco o siete zonas de Fresnel y las impares siguen superando a las pares. Ajusta λ a 450 sin mover la pantalla y el centro caerá a 0,127. La placa zonal suele atribuirse a J. L. Soret (1875); el libro Physical Optics de R. W. Wood reproduce la anotación del cuaderno de Rayleigh del 11 de abril de 1871 que describe una.

Problema resuelto al detalle

Un disco de 2 cm, a cinco metros de la pared 3 pasos
Un disco de 2 cm de diámetro se encuentra a 5 m de una pared, iluminado por un láser de 633 nm. ¿Cuántas zonas cubre, qué anchura tiene la mancha y qué tan liso debe ser su borde, con errores dispersos en forma de campana de Gauss, para que la mancha pierda la mitad de su brillo? El campo del radio se detiene en 5 mm, sin llegar a este disco. Pulsa primero Pantalla Arago de 2 mm: la página imprime el primer mínimo de la mancha, 0,1205 mm, para un disco diez veces más pequeño a una décima parte de la distancia.

Abre este problema en la herramienta
1. Las zonas que cubre, N = a²/λz:
  
  $N = \frac{a ^{2}}{λ z} = \frac{( 0 . 01 m ) ^{2}}{633 \times 1 0 ^{- 9} m \times 5 m} = 31.6$
2. En lo profundo de la sombra, el radio de la mancha hasta su primer mínimo es de 0,38274 λz/a, y λz/a es el mismo que para la pantalla de 2 mm a medio metro:
  
  $ρ_{0} = 0.38274 \frac{λ z}{a} = 0.38274 \times \frac{633 \times 1 0 ^{- 9} \times 5}{0 . 01} m = 0.38274 \times 316.5 μ m = 0.1211 mm$
3. El error del borde que reduce la mancha a la mitad resuelve exp(−(2πaσ/λz)²) = ½:
  
  $⟨ e^{i (2 π a / λ z) δ} ⟩^{2} = δ \sim N (0, σ^{2}) e^{- (2 π aσ / λ z)^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow σ = \frac{ln 2}{2 π} \frac{λ z}{a} = 0.1325 \times 316.5 μ m = 41.9 μ m$
Respuesta

31,6 zonas, una mancha de 0,1211 mm de radio y un borde con una precisión r.m.s. de 42 µm. La fórmula de sombra profunda da a la pantalla de 2 mm el mismo 0,1211 mm, ya que depende de a y z solo a través de λz/a; la integral completa de la página sitúa el primer mínimo de esa pantalla en 0,1205 mm, puesto que 3,16 zonas todavía no es sombra profunda. Tras el disco de 2 cm, con diez veces más zonas, la integral completa y la fórmula coinciden hasta el cuarto decimal. La tolerancia del borde también la fija λz/a, por lo que no es más estricta, aunque la sombra alrededor de la mancha es ahora mucho más oscura.

$N = 31.6, ρ_{0} = 0.1211 mm, σ_{1/2} = 41.9 μ m$

Ruta de aprendizaje

Óptica ondulatoria

Referencias (3)

Arago's report on the 1818 diffraction prize, read on 15 March 1819: “M. Poisson, avait déduit des intégrales rapportées par l'auteur le résultat singulier que le centre de l'ombre d'un écran circulaire opaque devait … être aussi éclairé que si l'écran n'existait pas … l'observation a parfaitement confirmé le calcul” (No. XIII, p. 236); and Fresnel's own note: the theorem holds whatever the screen's diameter and distance “tant qu'il n'en résulte pas une trop grande obliquité”, for every colour, so the point must be white in white light, and “M. Arago a vérifié [ce résultat] sur l'ombre d'un écran de 2 millimètres de diamètre” (No. XIV, Note I, p. 369): A. Fresnel, Œuvres complètes, tome I, ed. H. de Senarmont, É. Verdet and L. Fresnel. Imprimerie impériale, Paris, 1866. No. XIII (Arago's report, pp. 229–246) and No. XIV, Note I (pp. 365–369).
Why a real spot falls short: in the wave picture the spot “has intensity equal to the undisturbed wave front”, but “it is necessary to include disc-edge roughness to account for the intensity variation in experimental Poisson spot measurements”; their 2009 deuterium experiment used a disc of radius 30 µm with an edge roughness of about 300 nm and gave a spot “about a factor of 100 less than the undisturbed wave front”: T. Reisinger, G. Bracco and B. Holst, “Particle–wave discrimination in Poisson spot experiments”, New Journal of Physics 13, 065016 (2011).
The zone plate's history: “usually attributed to Soret, though Lord Rayleigh constructed one four years previously, as shown by an entry in his notebook”, with the entry of 11 April 1871 quoted (“The experiment of blocking out the odd Huygens zones so as to increase the light at centre succeeded very well”): R. W. Wood, Physical Optics, 3rd edition. Macmillan, New York, 1934. pp. 37–38.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.