Red de difracción

Ajusta las líneas por milímetro de la red, la longitud de onda, cuántas líneas ilumina el haz y la distancia a la pantalla. La página calcula todos los órdenes, dónde aparecen y la anchura de sus máximos. Si añades una segunda longitud de onda, también indica el primer orden que permite distinguirlas.

Ejemplo resuelto — Red de difracción

Paso de la red	3,333 µm
Paso en longitudes de onda	6,266
Órdenes por lado	6
Ángulo del primer orden	9,18°
Primer orden en la pantalla	161,7 mm
Aprox. de ángulo pequeño	159,6 mm
Error de la aprox. angular	1,28%
Orden 1: máximo a cero	0,01544°

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Red de difracción

Una red de difracción es una superficie con muchas líneas paralelas separadas una distancia d, que transmiten o reflejan la luz. La diferencia de camino entre la luz que sale de líneas vecinas con un ángulo θ es d sin θ. Las ondas de todas las líneas llegan en fase y la intensidad solo es máxima cuando d sin θ = mλ, donde m es un número entero llamado orden. En los demás ángulos, las contribuciones de las N líneas se cancelan casi por completo; el primer cero junto a cada máximo está a solo unos λ/(N d cos θ). Dos longitudes de onda aparecen como líneas separadas cuando el poder de resolución R = mN es igual o superior a λ/Δλ.

Qué significa cada símbolo

d: la distancia entre líneas vecinas: 1 mm dividido entre el número de líneas por milímetro
λ: la longitud de onda de la luz en el aire, después de la red
m: el orden, un número entero; m = 0 corresponde al haz no desviado, y solo existen órdenes con mλ < d
N: el número de líneas que ilumina realmente el haz, no el total de líneas trazadas en la red
R: el poder de resolución, mN: la menor diferencia de longitudes de onda que separa el orden es λ/R

Supone: Se supone luz de una sola longitud de onda y con incidencia normal. La fuente y la pantalla están lo bastante alejadas para que todas las líneas emitan ondas con el mismo ángulo. Las líneas son tan estrechas que cada una difracta la luz por todo el semiespacio, de modo que todos los órdenes tienen la misma intensidad. Las N líneas iluminadas reciben la misma cantidad de luz. Con incidencia normal, una red de reflexión, como un disco, obedece la misma fórmula que una red de transmisión.
Falla cuando: Las líneas reales tienen una anchura a, y la luz que sale de cada una forma su propio patrón de rendija única. Este patrón atenúa los órdenes altos y elimina cualquier orden que coincida con uno de sus ceros: si a = d/2, desaparecen todos los órdenes pares. Cuando la luz llega con un ángulo θᵢ, la ecuación pasa a ser d(sin θᵢ + sin θ) = mλ. Con incidencia rasante, esto permite difractar longitudes de onda de hasta 2d; por eso un disco Blu-ray inclinado respecto a la luz sí muestra algo de color. Además, un haz de anchura finita ilumina más las líneas centrales que las de los bordes, lo que suaviza los lóbulos secundarios sin desplazar los órdenes.

Con dos rendijas o seiscientas líneas, el primer orden está a 9,18° 🖖

Pulsa Dos rendijas, luz verde y después 300 líneas/mm, N=600. El paso no ha cambiado, y tampoco los ángulos: el primer orden está a 9,18° en ambos casos y el sexto, a 73,26°. Lo que cambia es la anchura. Con dos rendijas, una franja brillante abarca 4,607° desde su máximo hasta el primer mínimo oscuro; con 600 líneas, solo 0,01544°, es decir, 298,4 veces menos. Los ángulos dependen únicamente de d sin θ = mλ, la condición para que la luz procedente de líneas vecinas llegue con una diferencia de camino igual a un número entero de longitudes de onda. N no interviene. En cambio, N determina lo deprisa que las ondas dejan de estar en fase al apartarte de ese ángulo: con 600 fuentes, basta una desviación de unos λ/(Nd cos θ) para que se cancelen por completo. Una red escolar se comporta, por tanto, como una doble rendija cuyas franjas brillantes se han afinado hasta convertirse en líneas. «Más líneas por milímetro» y «más líneas iluminadas» son instrucciones distintas. La primera desplaza los órdenes; la segunda solo los hace más estrechos y luminosos.

La luz roja da dos órdenes en un CD, uno en un DVD y ninguno en un disco Blu-ray 🖖

Un orden solo existe mientras mλ sea menor que d, de modo que una red de menor paso produce menos órdenes. La luz roja de 650 nm sobre los surcos de 1,6 µm de un CD produce dos, a 23,97° y 54,34°. El segundo no está al doble del ángulo del primero, que serían 47,94°. Los incrementos iguales corresponden a los senos, 0,4063 y 0,8125, no a los ángulos. En un DVD, con un paso de 0,740 µm, solo cabe un orden, a 61,45°. Los surcos de un disco Blu-ray están separados 0,32 µm, menos que cualquier longitud de onda visible e incluso menos que los 405 nm del láser violeta que lo lee. Con incidencia normal, la luz no puede formar ningún orden, y la tabla inferior indica «ninguno». Este mismo cálculo muestra el límite de la fórmula que suele enseñarse primero. Para una doble rendija, y = mλL/d es una buena aproximación porque los ángulos son diminutos; en el CD sitúa el primer orden a 406,3 mm sobre una pantalla situada a 1 m, mientras que la página obtiene 444,6 mm. Con los ángulos propios de una red necesitas y = L tan θ.

El doblete del sodio se resuelve en el segundo orden, pero no en el primero 🖖

Las dos líneas amarillas del sodio tienen longitudes de onda de 588,9950 y 589,5924 nm, separadas 0,5974 nm. El criterio de lord Rayleigh considera resueltas dos líneas cuando el máximo de una coincide con el primer cero de la otra o lo sobrepasa. En una red, esto corresponde a un poder de resolución R = mN. El doblete requiere 986,4. Pulsa Doblete del sodio: 600 líneas/mm, con 500 iluminadas. En el primer orden, R vale 500; los dos máximos están separados 0,02196°, mientras que cada uno dista 0,04328° de su primer cero, y ves una sola línea borrosa. En el segundo orden de la misma red, R vale 1.000. Los máximos están separados 0,05809° y cada uno dista 0,05722° de su primer cero, por lo que llegas a ver dos líneas, apenas separadas. El paso de la red no aparece en R. Una red de menor paso con las mismas 500 líneas iluminadas separa más el par en cualquier orden, pero ensancha cada máximo en la misma proporción; su capacidad de resolución no cambia. Para separar el doblete en el primer orden necesitas que el haz cubra 987 líneas, sea cual sea la red.

Problema resuelto al detalle

¿Qué órdenes de la luz blanca se superponen? 5 pasos
Sobre una red de 300 líneas por milímetro incide normalmente luz blanca de 400 a 700 nm. ¿Dónde empieza y termina el espectro de cada orden? ¿Cuáles se superponen? ¿Una red de menor paso lograría mantenerlos separados? Pulsa 300 líneas/mm, N=600 para comprobar el primer paso.

Abre este problema en la herramienta
1. El paso de la red es 1 mm dividido entre 300. La página muestra:
  
  $d = \frac{1 mm}{300} = 3.333 μ m = 3333.3 nm$
2. El espectro de primer orden va desde el ángulo en el que el violeta satisface d sin θ = λ hasta aquel en el que lo satisface el rojo:
  
  $m = 1 : arcsin \frac{400}{3333 . 3} = 6.8 9^{\circ} \dots arcsin \frac{700}{3333 . 3} = 12.1 2^{\circ}$
3. El segundo orden va de 13,89° a 24,83°, así que queda un intervalo claro entre este y el primero:
  
  $m = 2 : arcsin \frac{800}{3333 . 3} = 13.8 9^{\circ} \dots arcsin \frac{1400}{3333 . 3} = 24.8 3^{\circ}, 12.1 2^{\circ} < 13.8 9^{\circ}$
4. El tercer orden comienza a 21,10°, antes de que termine el segundo. Allí donde aparece su violeta, el segundo orden muestra luz naranja de 600 nm, porque 3 × 400 = 2 × 600:
  
  $m = 3 : arcsin \frac{1200}{3333 . 3} = 21.1 0^{\circ} < 24.8 3^{\circ}, 3 \times 400 nm = 2 \times 600 nm$
5. Los órdenes m y m + 1 se superponen cuando m por el extremo rojo es mayor que m + 1 por el extremo violeta. El paso d se cancela:
  
  $m \times 700 > (m + 1) \times 400 ⟺ 300 m > 400 ⟺ m > \frac{4}{3}$
Respuesta

El primer orden va de 6,89° a 12,12° y no se superpone con ningún otro. A partir del segundo, cada espectro invade el siguiente: el extremo rojo del segundo está a 24,83° y el tercero comienza a 21,10°. Ninguna red puede separarlos, porque la condición m·700 > (m + 1)·400 no contiene d. Una red de menor paso dispersa más los órdenes y admite menos; el segundo solo queda libre cuando la red es tan fina que ya no existe un tercer orden con el que pueda coincidir. El primer orden está despejado porque la luz visible abarca menos de una octava: 700/400 = 1,75. Los espectrómetros que trabajan en órdenes superiores colocan delante de la red un filtro que bloquea la luz de los órdenes vecinos, llamado filtro de selección de órdenes.

$\frac{700}{400} = 1.75 < 2 \Rightarrow m = 1 ✓; m \geq 2 : m \times 700 > (m + 1) \times 400 \forall d$

Referencias (3)

The resolving power of a grating, R = mN with N the number of lines illuminated, from the Rayleigh criterion applied to the diffraction maxima, and the sodium doublet as the standard benchmark: R. Nave, "Resolvance of Grating." HyperPhysics, Department of Physics and Astronomy, Georgia State University.
The two yellow lines of neutral sodium, the D lines, at 5889.950 and 5895.924 Å in air, which the sodium preset uses: J. E. Sansonetti and W. C. Martin, "Handbook of Basic Atomic Spectroscopic Data", NIST Standard Reference Database 108, table of Strong Lines of Sodium (Na). National Institute of Standards and Technology.
The DVD standard, which fixes the track pitch at 0.74 µm, the spacing that makes a DVD a grating with room for only one order of red light: Ecma International, Standard ECMA-267, "120 mm DVD - Read-Only Disk", 3rd edition, April 2001.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.