Ley de Malus y polarizadores cruzados

Ajusta el eje de cada filtro y mira qué queda del haz. Añadir un filtro suele costar luz. A veces, la recupera.

Ejemplo resuelto — Ley de Malus y polarizadores cruzados

Tras el filtro 1 (0,0°)	50,000%
Tras el filtro 2 (45,0°)	25,000%
A través de la pila	12,500%
Sin el filtro 2	0%
Mejor ángulo para el filtro 2	45,0°
Lectura en ese ángulo	12,500%
El mejor con 3 filtros en 90,0°	12,500%

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Ley de Malus y polarizadores cruzados

La ley de Malus dice qué deja un filtro polarizador de la luz que ya está polarizada: I = I₀cos²θ, donde θ es el ángulo entre el plano de la luz y el eje de transmisión del filtro. La luz no polarizada es el otro caso y no tiene ningún θ en absoluto. Llega con todas las direcciones representadas por igual, de manera que el primer filtro que encuentra se lleva exactamente la mitad y transmite un haz polarizado a lo largo de su propio eje. Por tanto, cada filtro después del primero se encuentra en el caso de Malus, porque el que le precede hizo la polarización.

Qué significa cada símbolo

I₀: la intensidad que llega al filtro, no la intensidad inicial
θ: el ángulo entre el plano de la luz y el eje del filtro. Solo importa esta diferencia, por lo que girar toda la pila junta no cambia ninguna lectura en la página
φ: el plano de un haz ya polarizado, si es que lo hay. La luz natural no tiene φ, y por eso su primer filtro cuesta una mitad fija en lugar de un coseno
cos²θ: la fracción que sobrevive: un medio a 45°, un cuarto a 60°, nada a 90°

Supone: Filtros ideales, que transmiten perfectamente a lo largo del eje y bloquean perfectamente en la perpendicular. Una lámina real no hace ninguna de las dos cosas, y Polaroid nombró a su material por el hueco: una lámina HN-38 deja pasar el 38% de la luz natural donde la aritmética aquí dice 50%, y esos doce puntos que faltan se absorben en lugar de polarizarse.
Falla cuando: En una pila alta de láminas reales, que es donde reside la afirmación más sorprendente de esta página. Cada filtro real multiplica su propia absorción junto a su cos², por lo que el ascenso hacia el 50% se invierte tras unas pocas láminas y luego decae. Noventa y un filtros ideales marcan 48,648%; una pila de noventa y un filtros reales es opaca.

Dos filtros bloquean todo. Tres dejan pasar un octavo. 🖖

Ajusta el primer eje a 0° y el segundo a 90°. cos²(90°) es exactamente cero, el medidor marca 0% y nada de lo que le hagas a la lámpara lo cambiará.

Ahora desliza un tercer filtro entre ambos, a 45°. La lectura es 12,500%.

El nuevo filtro absorbe luz como los otros dos. Lo que también hace es redirigirla, de modo que la luz cruza dos intervalos de 45° en vez de uno de 90°, y cos²(45°) es un medio. La mitad de la mitad de la mitad que dejó pasar el primer filtro resulta en un octavo.

La fila Sin el filtro 2 se sitúa justo debajo de A través de la pila. Así, ambos números siguen en pantalla mientras arrastras el eje central.

Diez filtros son más brillantes que tres, y el 50% es el límite 🖖

Mantén el primer eje a 0° y el último a 90°, y rellena el espacio con filtros equidistantes. Dos dan 0%. Tres dan 12,500%. Cuatro, 21,094%. Cinco, 26,540%. Diez, 37,957%. Noventa y uno de ellos, con un grado de separación, dan 48,648%.

Cada filtro de esa fila absorbe luz, y cada filtro que se añade eleva la lectura, porque un giro grande cuesta más que el mismo giro dado en pasos pequeños.

Esta subida tiene un techo que nunca alcanza. La luz natural pierde exactamente la mitad en el primer filtro que encuentra, sin importar su ángulo, y nada en el resto del trayecto puede devolverle esa mitad.

El tercio central de la vuelta cuesta el doble que cualquiera de los extremos 🖖

Cambia la fuente a Polarizada y deja un filtro en el haz. A 0° la lectura es 100,000%. Gíralo a 30° y queda un 75,000%. Gíralo a 60° y queda un 25,000%. Gíralo a 90° y no queda nada.

Tres giros iguales de 30°, y el central cuesta el doble que cualquiera de sus vecinos. cos²θ es plana donde el cos está cerca de 1 y tiene su máxima pendiente a 45°.

Cualquiera que haya girado un filtro polarizador en una cámara conoce esa sensación. La primera parte del giro apenas cambia el cielo, y la parte central lo cambia todo.

Problema resuelto al detalle

El filtro que deja pasar luz al interponerse 6 pasos
Luz natural de intensidad I₀ encuentra un filtro con su eje a 0°, y luego un segundo a 90°. Se intercala un tercer filtro entre ellos con su eje a 30°. ¿Qué fracción de I₀ sale de la pila, dónde debería estar ese tercer filtro para lograr el mejor resultado, y qué se gana con ese mejor ajuste?

Abre este problema en la herramienta
1. El primer filtro es el único que no obedece la ley de Malus. La luz natural no tiene un plano único desde el que medir un ángulo, así que no hay un θ que poner en cos²θ; llega como una mezcla uniforme de todas las direcciones y el filtro deja pasar la media, que es exactamente un medio. Con esta pila montada la fila Tras el filtro 1 (0,0°) marca 50,000%, y girar ese primer filtro adonde quieras lo mantiene en 50,000%.
  
  $unpolarised light: \frac{I _{1}}{I _{0}} = \frac{1}{2} at every angle$
2. Todo lo que hay después entra en el caso de Malus, porque el primer filtro polarizó el haz a lo largo de su propio eje. El segundo filtro en esta pila es el que está a 30°, así que el hueco es de 30° y el factor es cos²(30°) = 0,75. La mitad de la luz, tres cuartos de eso: 37,500%, y la fila Tras el filtro 2 (30,0°) así lo indica.
  
  $\frac{I _{2}}{I _{0}} = \frac{1}{2} cos^{2} (3 0^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 0.75 = 0.375$
3. El último filtro se sitúa a 90°, que son 60° más allá de 30°. cos²(60°) = 0,25, y un cuarto de 37,500% es 9,375%. Esa es la respuesta a la primera pregunta, y la fila A través de la pila contiene toda la cadena que la produjo: ½ · cos²(30°) · cos²(60°).
  
  $\frac{I _{3}}{I _{0}} = \frac{1}{2} cos^{2} (3 0^{\circ}) cos^{2} (6 0^{\circ}) = 0.375 \cdot 0.25 = 0.09375$
4. Ahora quita el filtro central, que es el paso que merece la pena hacer despacio. El haz se encuentra entonces con 0° y 90° sin nada en medio, un hueco de 90°, y cos²(90°) es cero. La fila Sin el filtro 2 marca 0%. Una lámina de plástico absorbente, introducida en un haz que ya estaba muerto, llevó la lectura de nada a 9,375%.
  
  $filter 2 removed: \frac{1}{2} cos^{2} (9 0^{\circ}) = 0$
5. Entonces, ¿dónde hace más bien? Los dos huecos tienen que sumar 90°, y lo que se está maximizando es cos²(δ)·cos²(90° − δ). Los huecos iguales ganan: ½ · ½ · ½ = 12,500% a 45°, frente a 9,375% a 30°. La fila Mejor ángulo para el filtro 2 marca 45,0° y la fila Lectura en ese ángulo marca 12,500%.
  
  $δ max \frac{1}{2} cos^{2} (δ) cos^{2} (9 0^{\circ} - δ) \Rightarrow δ = 4 5^{\circ}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0.125$
6. Los huecos iguales siguen ganando sin importar cuántos filtros haya, y la razón es que ln cos es cóncava, así que un giro total fijo resulta más barato si se divide uniformemente. Pulsa Añadir filtro para poner un cuarto y Repartir uniformemente para colocarlos: 21,094%. Diez filtros a lo largo del mismo cuarto de vuelta alcanzan un 37,957%.
  
  $\frac{I _{n}}{I _{0}}_{even} = \frac{1}{2} cos^{2 (n - 1)} (\frac{9 0 ^{\circ}}{n - 1}) : n = 4 \to 0.21094, n = 10 \to 0.37957$
Respuesta

9,375% a 30°, y 12,500% a 45°, que es lo máximo que pueden lograr tres filtros en un cuarto de vuelta. La cifra que merece la pena recordar no es ninguna de las dos. Es la nada que regresa en el instante en que retiras el filtro central. Ese filtro absorbe luz al igual que los otros dos, y la pila brilla más con él que sin él. Lo que hace es girar la luz, de modo que al último filtro se le plantea una cuestión más sencilla.

$\frac{1}{2} cos^{2} (3 0^{\circ}) cos^{2} (6 0^{\circ}) = 9.375% against \frac{1}{2} cos^{4} (4 5^{\circ}) = 12.5%$

Referencias (3)

The paper the law is named after, written by an army engineer who noticed it in the windows of the Luxembourg Palace: É. L. Malus, "Sur une propriété de la lumière réfléchie." Mémoires de physique et de chimie de la Société d'Arcueil 2, 1809, pp. 145–158.
Where the 38% comes from — the man who invented sheet polarisers, on how well they really work: E. H. Land, "Some Aspects of the Development of Sheet Polarizers." Journal of the Optical Society of America 41(12), 1951, pp. 957–963. DOI 10.1364/JOSA.41.000957
The textbook treatment of ideal polarisers and the stacked-filter result: E. Hecht, Optics, 5th edition, Pearson, 2017, chapter 8 (Polarization).

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.