Muestreo de señales y teorema de Nyquist

Fija una frecuencia de señal y una frecuencia de muestreo para ver si la señal se capta fielmente o sufre aliasing.

Ejemplo resuelto — Muestreo de señales y teorema de Nyquist

SNR de cuantización	49.92dB

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Dos frecuencias distintas pueden dejar muestras idénticas 🖖

El muestreo solo funciona cuando la frecuencia de muestreo capta la oscilación más rápida presente. Si f_s < 2 f_señal, distintas frecuencias continuas producen muestras idénticas, por lo que la reconstrucción se fija en una frecuencia alias falsa más baja.

Al menos dos puntos por onda 🖖

Para fijar una onda hay que atraparla subiendo y bajando: al menos dos muestras en cada ciclo. Con menos, esos mismos puntos podrían pertenecer a muchas ondas distintas y la copia digital adivina mal. El audio de CD usa 44,100 muestras por segundo porque el oído humano llega hasta unos 20 kHz, y 2 × 20 kHz deja un margen cómodo.

Por qué las ruedas giran al revés en el cine 🖖

El efecto rueda de carro es Nyquist en el mundo visible. Una cámara de cine muestrea el movimiento a 24 fotogramas por segundo; si una rueda con radios gira algo menos que el hueco entre radios entre dos fotogramas, cada toma queda un poco antes que la anterior y el ojo ve la rueda girar despacio hacia atrás. La misma matemática que el aliasing de audio: la frecuencia de fotogramas es la frecuencia de muestreo, y una rotación rápida se pliega en una lenta falsa.

Problemas resueltos al detalle

La regla de 6 dB por bit y el 1,76 extra para un conversor de 8 bits 5 pasos
Deduzca desde cero la regla de los 6 dB por bit para un convertidor de 8 bits —¿de dónde sale ese 1,76 aislado?— y señale después lo que no garantiza.
1. El redondeo al nivel más cercano deja un error no mayor que medio escalón, y en una señal compleja ese error se distribuye de forma uniforme por todo el intervalo. Su varianza es la integral de e² sobre una distribución uniforme.
  
  $Δ = \frac{V _{F S}}{2 ^{N}}, e \sim U (- \frac{Δ}{2}, \frac{Δ}{2}), σ_{e}^{2} = \frac{1}{Δ} \int_{- Δ/2}^{Δ/2} e^{2} d e = \frac{Δ ^{2}}{12}$
2. La señal de referencia es una sinusoide que ocupa todo el rango de entrada, de modo que su potencia es la mitad del cuadrado de su amplitud.
  
  $P_{sig} = \frac{( V _{F S} /2 ) ^{2}}{2} = \frac{V _{F S}^{2}}{8}$
3. Divida ambos valores. El rango a plena escala se cancela, motivo por el cual el resultado es una función exclusiva del número de bits y no de la tensión.
  
  $SNR = \frac{V _{F S}^{2} /8}{Δ ^{2} /12} = \frac{12}{8} (\frac{V _{F S}}{Δ})^{2} = \frac{3}{2} \cdot 2^{2 N}$
4. Tome logaritmos. El 6,02 es 20 log₁₀2 —un bit duplica el número de niveles— y el 1,76 es la fracción 3/2 sobrante de la línea anterior.
  
  $SN R_{dB} = 10 lo g_{10} \frac{3}{2} + 20 N lo g_{10} 2 = 1.76 + 6.02 N$
5. Evalúe en 8 bits y luego en 16. Cada bit adicional aporta algo más de 6 dB, por lo que los ocho bits adicionales del audio de CD aportan 48 dB.
  
  $N = 8 : 6.02 (8) + 1.76 = 49.92 dB; N = 16 : 98.08 dB$
Respuesta

49,92 dB, y el 1,76 es 10 log₁₀(3/2). Es el cociente entre el valor cuadrático medio de una sinusoide y la varianza del error uniforme del cuantificador, y constituye la única parte de la fórmula que no consiste simplemente en contar bits. Observe lo que nunca aparece: la frecuencia de muestreo. Un convertidor de 24 bits a 8 kHz dispone de 146 dB de resolución en amplitud y, aun así, no puede representar un tono de 5 kHz: los bits aportan precisión vertical, la frecuencia de muestreo aporta ancho de banda, y ninguna cantidad de uno sustituye al otro. Por eso los dos deslizadores de esta página son ejes verdaderamente independientes y no dos formas distintas de decir "calidad".

$SN R_{dB} = 6.02 N + 1.76 = 49.92 dB (N = 8)$
Un tono de 30 kHz en un CD y por dónde reaparece 7 pasos
Un micrófono capta una componente de 30 kHz, muy por encima del umbral de audición, y llega a un conversor de 44,1 kHz sin ningún filtro previo. ¿Qué queda registrado en la grabación y de qué otros tonos resulta ya indistinguible?

Abre este problema en la herramienta
1. Empieza por el límite superior. Un convertidor que funciona a 44 100 muestras por segundo puede representar fielmente cualquier frecuencia por debajo de la mitad de esa tasa. Nuestro tono supera ese límite, así que, tengan el aspecto que tengan las muestras después, no pueden significar lo que parecen significar.
  
  $f_{N y q u i s t} = \frac{f _{s}}{2} = \frac{44 100}{2} = 22050 Hz 30000 > 22050$
2. Escribe lo que almacena en realidad el convertidor. Nunca ve la onda. Ve el valor de la onda una vez cada 1/44 100 de segundo, y nada más.
  
  $x [n] = sin (2 π f \frac{n}{f _{s}}) = sin (2 π \cdot \frac{30 000}{44 100} n)$
3. Ahora añade un número entero de ciclos entre una muestra y la siguiente. Cada muestra adquiere una fase adicional de 2πk, y una onda senoidal no cambia tras dar vueltas completas. Los números almacenados resultan idénticos, dígito por dígito.
  
  $sin (2 π \frac{f + k f _{s}}{f _{s}} n) = sin (2 π \frac{f}{f _{s}} n + 2 π k n) = sin (2 π \frac{f}{f _{s}} n) k \in Z$
4. Por tanto, las muestras no identifican una frecuencia. Identifican una familia, y la reproducción tiene que elegir un miembro de ella. Elige el más próximo a cero, que es la distancia desde 30 000 Hz hasta el múltiplo más cercano de la frecuencia de muestreo.
  
  $k = round (\frac{30 000}{44 100}) = 1, f_{a l ia s} = ∣ 30000 - 1 \cdot 44100 ∣ = 14100 Hz$
5. Esa es la cifra que muestra la herramienta. 14 100 Hz es un pitido agudo y sutil, audible para la mayoría de los oyentes jóvenes y una de las primeras cosas que se pierden con la edad, y no estaba en la sala: el mero acto de grabarla ha convertido una componente inaudible en una audible.
  
  $OSR = \frac{f _{s}}{2 f _{s i g na l}} = \frac{44 100}{2 \cdot 30 000} = 0.735 < 1$
6. ¿Qué otros tonos acaban en ese mismo lugar? Todos los miembros de la familia, y hay infinitos. Los que se sitúan una frecuencia de muestreo completa por encima regresan cifra por cifra; los reflejados vuelven con el signo cambiado en cada muestra, lo que equivale al mismo tono con la fase invertida. De cualquier manera, la grabación conserva un solo número por muestra y no mantiene registro alguno del tono que lo originó.
  
  $∣ k f_{s} \pm 14100 ∣ = {14100, 30000, 58200, 74100, 102300, \dots}$
7. Por eso el filtro tiene que ser analógico y debe situarse antes del convertidor, lo que determina además cómo de abrupto debe ser: dejar pasar 20 kHz y cortar en 22 050 Hz, un margen de apenas un séptimo de octava. Construir algo así en electrónica analógica es difícil, y esa es la razón práctica por la que existen los convertidores con sobremuestreo. Muestrea más rápido, la banda de guarda se ensancha, el filtro analógico puede ser suave y la parte más exigente de la tarea pasa a la aritmética, donde resulta barata.
  
  $lo g_{2} \frac{22 050}{20 000} = 0.141 octave$
Respuesta

14 100 Hz, con toda su intensidad. Un tono de 30 kHz muestreado a 44,1 kHz es indistinguible de un tono de 14 100 Hz, y lo mismo ocurre con 58 200 Hz, 74 100 Hz y cualquier otro miembro de |k·f_s ± 14 100|. El aliasing destruye información en el momento del muestreo, de modo que ningún procesamiento posterior puede volver a separar los tonos solapados. El único lugar donde evitarlo es antes del convertidor.

$f_{a l ia s} = f - f_{s} round (\frac{f}{f _{s}}) = 14100 Hz$

Referencias (2)

Where the sampling theorem is stated: C. E. Shannon, "Communication in the Presence of Noise." Proceedings of the IRE 37, 10–21, 1949.
And the information-theoretic frame it sits in: C. E. Shannon, "A Mathematical Theory of Communication." Bell System Technical Journal 27, 379–423, 1948.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.