Lección
La teoría — Transformada de Fourier discreta
La transformada de Fourier discreta de N muestras x0 … xN−1 son N números Xk = Σn xn e−2πikn/N, uno por banda k, cada uno midiendo qué cantidad de una onda que completa k ciclos en las N muestras contiene la señal. Trata las muestras como un período de una señal que se repite, por lo que es exacta para los tonos que completan ciclos enteros y dispersa cualquier otro tono por todas las bandas: fuga espectral. Una ventana wn multiplica primero las muestras para suavizar la costura.
Qué significa cada símbolo
A_k- la amplitud que implica la banda k, lo que muestran las barras: 2|Xk|/(N·G) para 0 < k < N/2, y |Xk|/(N·G) en k = 0 y k = N/2, que no tienen banda espejo con la que compartir. Un tono de amplitud 1 en una banda marca 1
G- la ganancia coherente de la ventana, la media de wn: 1 sin ventana, ½ para Hann
- Supone
- Cada tono comienza en su pico, como un coseno. Las cifras de la falda lejana se mueven con la fase inicial: la banda 31 del tono de 10,5 ciclos está 26,3 dB por debajo de la barra más alta para un coseno y 31,2 dB por debajo para un seno, mientras que el 81% en las dos bandas más cercanas apenas se mueve. La ventana de Hann es la forma periódica, ½ − ½cos(2πn/N), cuya transformada abarca exactamente tres bandas.
Problema resuelto al detalle
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Corrige una lectura y luego elimina la necesidad de hacerlo 4 pasos
Un analizador toma 8000 muestras por segundo y transforma 64 muestras a la vez, sin ventana. Le introduces un tono de prueba de 1312,5 Hz y la barra más alta marca 0,32. ¿Cuál es la verdadera amplitud del tono y cuántas muestras por bloque pondrían el tono exactamente en una banda? Pulsa Las flechas se curvan: la página reproduce un tono a esa frecuencia.
Abre este problema en la herramienta
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Las bandas están separadas por 8000/64, por lo que el tono completa 10,5 ciclos por bloque: a medio camino entre las bandas 10 y 11.
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A medio camino, la barra más alta de la página marca el 64,61% del tono. Divide para despejarlo:
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El tono cae en una banda cuando un bloque contiene un número entero de sus ciclos. Con 128 muestras, las bandas están separadas por 62,5 Hz:
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Si el analizador hubiera usado una ventana de Hann en las 64 muestras, la barra más alta habría marcado el 84,89% del tono, por lo que el mismo tono mostraría:
Respuesta
Aproximadamente 0,495 y 128 muestras por bloque. Cualquier múltiplo de 128 también sirve, ya que 1312,5 Hz necesita 128 muestras para completar un número entero de ciclos (21). La página está fija en 64, por lo que el caso de 128 muestras va más allá de lo que puede mostrar; a 128 la barra marca el 0,495 completo, y la ventana ya no sería necesaria para leer la amplitud, sino solo para evitar que la falda de un tono fuerte oculte a uno débil.
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Ruta de aprendizaje
La transformada de Fourier en la práctica
Referencias (2)
- The standard reference on windows. Leakage defined as the page shows it: of all frequencies “only those which coincide with the basis will project onto a single basis vector; all other frequencies will exhibit non zero projections on the entire basis set”, because “the periodic extension of a signal not commensurate with its natural period exhibits discontinuities at the boundaries of the observation” (p. 52). Table I (p. 55) gives coherent gain 1.00 and 0.50 and scalloping loss 3.92 dB and 1.42 dB for the rectangle and Hann windows: F. J. Harris, “On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform”, Proceedings of the IEEE, vol. 66, no. 1, pp. 51–83 (1978).
- The DFT's definition, and what happens to a frequency that is not a bin: the sum “is N if ωₖ = ωₓ and zero at ωₗ, for l ≠ k. However, the sum is nonzero at all other frequencies”: J. O. Smith III, Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with Audio Applications, 2nd ed., W3K Publishing (2007), “DFT Definition” and “Frequencies in the ‘Cracks’”.