Espectrograma

Cuatro piezas breves de tonos puros, su espectrograma y un corte transversal. Cambia la longitud de la ventana y observa cómo se separan las notas cercanas mientras el tiempo se difumina, o al revés. Las barras discontinuas son la partitura: dónde están realmente las notas.

Ejemplo resuelto — Espectrograma

Semitono sobre nota más grave	26,16 Hz
Un batimiento de ese semitono	38,2 ms
Ventana que lo separa siempre	50,6 ms
Ventana en semicorcheas a 120	0,31
Lóbulo principal, centro a 0	26,2 Hz
Picos dentro de 6 dB a 1,06 s	dos
Cortes que muestran dos picos	61,9%

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Espectrograma

Un espectrograma muestra cómo el espectro de una señal cambia en el tiempo. La señal se corta en fragmentos superpuestos, cada uno multiplicado por una ventana de longitud T y transformado mediante Fourier (la transformada de Fourier de tiempo corto), y las magnitudes se colocan lado a lado. Una ventana de longitud T difumina el tiempo en aproximadamente T y el tono en aproximadamente 1/T, por lo que ninguna longitud por sí sola muestra tonos cercanos y cambios rápidos a la vez. Dos tonos separados por un semitono difieren en Δf = f(2^1/12 − 1), y baten una vez cada 1/Δf.

Supone: Tonos sinusoidales puros de igual sonoridad. Cuando una nota real tiene armónicos, los enésimos armónicos de dos notas separadas por un semitono están n veces más separados que las propias notas, por lo que un espectrograma separa esos armónicos con ventanas más cortas de las que necesitan las fundamentales; qué parte de un sonido de bajo reside en sus armónicos depende del instrumento.

Dos notas separadas por un semitono necesitan una ventana más larga que un batimiento 🖖

Pulsa Batimiento, rectangular. La4 y La♯4 están separadas por 26,16 Hz, así que juntas baten 26,16 veces por segundo, una vez cada 38,2 ms. Una ventana de esa longitud es la regla general habitual: la resolución de frecuencia es uno dividido por la longitud de la ventana. La página cuenta los cortes y solo el 61,9% muestra dos picos. Los que fallan son los momentos en que los dos tonos están en fase y se suman a mitad de camino entre sus tonos formando una sola joroba; un batimiento después vuelven a estar en fase. Todos los cortes se separan solo cuando la ventana abarca 1,33 batimientos, 50,6 ms, para una ventana rectangular, o 1,88 batimientos, 72,0 ms, para Hann, cuyos extremos ahusados hacen que escuche durante menos tiempo de lo que mide. Pulsa Suficientemente larga: a 80 ms cada corte muestra ambas notas. La regla de Julius Smith en Spectral Audio Signal Processing, dos batimientos para rectangular y cuatro para Hann, es más conservadora de lo que requiere esta prueba, ya que exige que los dos lóbulos principales no se superpongan en absoluto.

Una línea de bajo necesita un reloj más lento que una melodía 🖖

Un semitono es una proporción fija, 2^1/12, así que su ancho en hercios se reduce con el tono: 52,33 Hz en La5, 3,27 Hz en La1, cuatro octavas más grave. La ventana tiene que crecer en consonancia, y la tabla bajo los resultados muestra la escala: una ventana de Hann necesita 36,0 ms para separar un semitono en La5 y 576,2 ms en La1, más de cuatro semicorcheas y media a 120 pulsaciones por minuto. Pulsa Trino de melodía: La5 y La♯5 alternando en semicorcheas, y una ventana de 36 ms muestra qué nota suena en el 95,0% de los cortes. Pulsa Trino de bajo, el mismo trino cuatro octavas más grave, a través de una ventana tan larga como una nota, 125 ms: 1,2%. Ahora arrastra la ventana. Si es corta, es demasiado imprecisa para distinguir 55 Hz de 58,27 Hz; si es lo bastante larga para distinguirlos, abarca cuatro o cinco notas y escucha ambas a la vez. Ninguna ventana desde 10 ms hasta un segundo muestra qué nota de bajo suena en una cuarta parte de los cortes. Los analizadores construidos para música resuelven esto dando a cada tono su propia ventana: la transformada Q constante de Judith Brown de 1991 hace que la longitud de la ventana sea inversamente proporcional a la frecuencia, larga para los graves y corta para los agudos.

Una nota que se desliza tiene una ventana óptima, y una más larga la difumina 🖖

Pulsa Un deslizamiento: un tono que se desliza de 440 Hz a 880 Hz en dos segundos, 220 Hz cada segundo. A través de una ventana de Hann de 140 ms su línea tiene 18,2 Hz de ancho en el centro. Reduce la ventana a la mitad hasta 70 ms y la línea se ensancha a 29,0 Hz, como debería hacer una ventana más corta. Duplícala a 280 ms y también se ensancha, a 30,8 Hz. Una ventana más larga tiene un lóbulo principal más estrecho, pero el tono se mueve mientras escucha: en 280 ms el deslizamiento cubre 61,6 Hz, y la ventana difumina todo ese tramo en una sola línea. Las dos difuminaciones tiran en direcciones opuestas, y para este deslizamiento la línea es más estrecha cerca de los 140 ms. Un acorde mantenido no tiene esa longitud óptima: pasados los 72,0 ms todos los cortes de Hann se separan, y una ventana más larga solo estrecha los lóbulos. Debajo de ambos hay un límite inferior sobre cuán pequeña puede ser la dispersión de una ventana en el tiempo multiplicada por su dispersión en el tono, de lo cual trata la página sobre paquetes de ondas.

Problema resuelto al detalle

La nota más grave del piano 4 pasos
El La más grave de un piano es La0, 27,5 Hz. ¿Qué longitud de ventana de Hann necesita un espectrograma para mostrar La0 y La♯0 como dos picos en cada corte, y cómo se compara con una semicorchea a 120 pulsaciones por minuto? ¿Qué ventana usa allí un analizador de Q constante como el de Judith Brown? Pulsa Trino de bajo primero: la página da las cifras para La1, una octava más aguda.

Abre este problema en la herramienta
1. El semitono sobre La0:
  
  $Δ f = 27.5 Hz \times (2^{1/12} - 1) = 27.5 \times 0.05946 = 1.635 Hz$
2. Una ventana de Hann necesita 1,8845 batimientos. Una octava por debajo de La1 la brecha se reduce a la mitad, así que la ventana duplica los 576,2 ms de la página:
  
  $T = \frac{1 . 8845}{1 . 635 Hz} = 1.152 s = 2 \times 576.2 ms$
3. En semicorcheas a 120 pulsaciones por minuto, 125 ms cada una:
  
  $\frac{1 , 152 ms}{125 ms} = 9.2$
4. Las ventanas de Q constante de Brown contienen Q = 34 ciclos del tono que analizan (con forma de Hamming, para resolución de cuarto de tono), por lo que su longitud es Q/f:
  
  $T_{Q} = \frac{Q}{f} = \frac{34}{27 . 5 Hz} = 1.236 s; \frac{34}{440 Hz} = 77.3 ms$
Respuesta

Alrededor de 1,15 s, más de nueve semicorcheas. Con esa longitud una sola ventana abarca más de nueve notas de un pasaje rápido en la octava inferior del piano. La ventana de Brown en La0, 1,24 s, es aún más larga; en La4 sus 77,3 ms quedan cerca de los 72,0 ms de la página para Hann, partiendo de un criterio diferente.

$T \approx 1.15 s > 9 \times 125 ms$

Ruta de aprendizaje

La transformada de Fourier en la práctica

Referencias (2)

How long a window must be to resolve two sinusoids Δf apart: M ≥ K fₛ/|f₂ − f₁|, “the window length M must span at least K periods of the difference frequency”, with K = 2 for the rectangular window and 4 for Hann, a sharper empirical K* of 1.44 and 2.36, and the summary that “the window must ‘see’ at least 1.5 cycles of the minimum difference frequency”: J. O. Smith III, Spectral Audio Signal Processing, W3K Publishing (2011), “Resolving Sinusoids”, “Simple Sufficient Condition for Peak Resolution” and “Summary”.
The constant-Q transform, built because the DFT's fixed resolution does not suit musical pitch: “for the ratio of frequency to bandwidth to be a constant (constant Q), then the window size must vary inversely with frequency”, with Q = f/δf = f/0.029f = 34 for quarter-tone resolution and window length N[k] = (S/fₖ)Q samples (p. 427): J. C. Brown, “Calculation of a constant Q spectral transform”, Journal of the Acoustical Society of America, vol. 89, no. 1, pp. 425–434 (1991).

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.