Principio de incertidumbre y paquetes de ondas

Elige la forma y la anchura del paquete. La página muestra, uno junto al otro, el paquete y la distribución de los números de onda que lo componen, y calcula Δx·Δk. Indica una partícula y un tiempo para averiguar cuánto se ensancha el paquete una vez liberado.

Ejemplo resuelto — Principio de incertidumbre y paquetes de ondas

Dispersión del número de onda	0,5000 nm⁻¹
Producto de las dos dispersiones	0,5000
Dispersión del momento	5,273×10⁻²⁶ kg·m/s
Dispersión de la velocidad	5,788×10⁴ m/s
Tiempo que tarda en duplicarse la anchura	29,92 fs
Anchura 100,0 fs después de la liberación	5,874 nm

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Principio de incertidumbre y paquetes de ondas

Un paquete de ondas es una suma de ondas planas e^ikx. Sus amplitudes φ(k), repartidas entre distintos números de onda, se superponen para formar una onda confinada en una región. Las anchuras Δx y Δk son las desviaciones estándar de |ψ(x)|² y |φ(k)|². Toda suma de este tipo cumple Δx·Δk ≥ ½, y la igualdad solo se alcanza con una gaussiana. En una onda de materia, el momento es p = ħk, de modo que la misma desigualdad se convierte en el principio de incertidumbre de Heisenberg: Δx·Δp ≥ ħ/2.

Qué significa cada símbolo

Δx: la desviación estándar de la posición, calculada a partir de |ψ(x)|²
Δk: la desviación estándar del número de onda, calculada a partir del espectro |φ(k)|²
Δp: la desviación estándar del momento, ħΔk
ħ: la constante de Planck reducida, h/2π = 1,055×10⁻³⁴ J s
t₂: el tiempo que tarda un paquete libre en duplicar su Δx

Supone: Una partícula libre en una dimensión, sin fuerzas después de la liberación, y un paquete real y simétrico en el instante de liberarlo. Así, su velocidad media es nula y ninguna parte lleva ventaja al principio. Se usa la energía no relativista, E = p²/2m. Las anchuras son desviaciones estándar; de ahí que el límite sea ½. Si se emplean anchuras a media altura, el producto de la gaussiana es 4 ln 2 ≈ 2,77.
Falla cuando: Si la fase varía de un punto a otro, el paquete tiene chirp: conserva el mismo |ψ(x)|², pero su espectro es más ancho y queda por encima del límite. Cuando las partes rápidas comienzan en la zona posterior, el paquete se estrecha antes de dispersarse. Una fuerza cambia por completo la evolución. En un pozo armónico, una gaussiana con la anchura adecuada, correspondiente al estado fundamental del oscilador, conserva esa anchura indefinidamente. En la práctica, un grano de polvo nunca permanece aislado el tiempo suficiente para dispersarse. Las colisiones con las moléculas del aire y los fotones térmicos registran su posición mucho antes de que pueda duplicar su anchura. Ese fenómeno se denomina decoherencia.

Solo la gaussiana alcanza ½; el paquete rectangular ni se acerca 🖖

Cada paquete de ondas es una suma de ondas planas, y Δx·Δk ≥ ½ expresa una propiedad de esas sumas: se cumple para el sonido y la luz antes de decirnos nada sobre los electrones. Observa la tabla con cinco formas, todas con el mismo Δx. La gaussiana da 0,5000. El triángulo da 0,5477; el arco de coseno, 0,5679; y la exponencial, cuya amplitud en k es una lorentziana, 0,7071. El rectángulo, que parece la forma más confinada de las cinco, da infinito. Sus bordes son discontinuidades de salto, y para formar un salto se necesitan ondas de todos los números de onda. Por eso, una <a href="/math/fourier-series">serie de Fourier</a> de una onda cuadrada nunca agota sus armónicos. Su espectro solo decrece como 1/k², y la integral que define Δk no converge. Pulsa Rectángulo: las oscilaciones de sus lóbulos laterales llegan hasta ambos extremos de la gráfica y continúan más allá, donde el espectro de la gaussiana hace tiempo que se ha anulado. La igualdad solo se alcanza con la gaussiana; es un teorema, no una peculiaridad de estas cinco formas. Al multiplicar por ħ, pues p = ħk para una onda de materia, se obtiene la relación de Heisenberg Δx·Δp ≥ ħ/2.

Un electrón confinado en 1 nm duplica su anchura en 29,92 femtosegundos 🖖

Cuando liberas un paquete, las ondas que lo forman se separan porque cada una lleva su propio momento ħk. La dispersión de velocidades es Δv = ħΔk/m y la anchura crece como √(Δx² + (Δv t)²). Se duplica cuando Δv t = √3 Δx. Para una gaussiana, ese tiempo es 2√3 mΔx²/ħ: proporcional a la masa y al cuadrado de la anchura inicial. Pulsa Electrón, 1 nm: 29,92 fs. Con Electrón, 0,1 nm, el paquete parte diez veces más estrecho y se duplica cien veces antes, en 0,2992 fs. Pulsa ahora Grano de polvo. Un microgramo confinado en un micrómetro duplica su anchura en 1,041×10⁶ años y, un año después de la liberación, todavía mide 1,000 µm con cuatro cifras significativas. El grano también se dispersa. Tiene una masa 10²¹ veces mayor que la del electrón y parte con una anchura mil veces mayor; ambos factores multiplican el tiempo de duplicación.

Si lo comprimes diez veces más, acaba siendo casi diez veces más ancho 🖖

Una anchura inicial menor implica una dispersión de velocidades mayor. Con tiempo suficiente, esa dispersión domina. Pulsa Electrón, 1 nm y consulta la fila de la anchura: 100 fs después de la liberación, el paquete mide 5,874 nm. Pulsa Electrón, 0,1 nm. Empezó siendo diez veces más estrecho y ahora mide 57,88 nm. Para cada tiempo t existe una anchura inicial óptima, √(ħt/2m). Si t = 100 fs, vale 2,406 nm y termina multiplicada por √2, en 3,402 nm. Cualquier inicio más estrecho o más ancho produce un paquete más ancho al cabo de 100 fs. La escala de anchuras iniciales muestra el mínimo. En la gráfica de dispersión, la línea morada, que parte diez veces más estrecha, cruza la azul durante los primeros femtosegundos y permanece por encima. Una localización inicial más precisa se paga después con una incertidumbre mayor.

Problema resuelto al detalle

Por qué un átomo tiene el tamaño que tiene 5 pasos
La atracción de un protón mantiene cerca a un electrón. Si el principio de incertidumbre determina su momento mínimo, ¿qué tamaño tiene el átomo y con qué energía está ligado el electrón? Pulsa Electrón, 0,1 nm para dar el primer paso.

Abre este problema en la herramienta
1. Con Δx = 0,1 nm, la menor dispersión del momento permitida por el límite es ħ/2Δx. La página muestra este valor para la gaussiana:
  
  $Δ p = \frac{ℏ}{2 Δ x} = \frac{1 . 0546 \times 1 0 ^{- 34} J s}{2 \times 1 0 ^{- 10} m} = 5.273 \times 1 0^{- 25} kg m/s$
2. Esa dispersión ya supone una energía cinética:
  
  $E_{k} = \frac{Δ p ^{2}}{2 m _{e}} = \frac{( 5 . 273 \times 1 0 ^{- 25} ) ^{2}}{2 \times 9 . 109 \times 1 0 ^{- 31} kg} = 1.526 \times 1 0^{- 19} J = 0.9525 eV$
3. Llama r al tamaño del confinamiento, aproxima el momento por ħ/r y añade la atracción del protón. La energía total es
  
  $E (r) = \frac{ℏ ^{2}}{2 m _{e} r ^{2}} - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r}$
4. Alcanza su mínimo cuando la pendiente se anula:
  
  $\frac{d E}{d r} = - \frac{ℏ ^{2}}{m _{e} r ^{3}} + \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} = 0 \Rightarrow r = \frac{4 π ε _{0} ℏ ^{2}}{m _{e} e ^{2}} = 5.292 \times 1 0^{- 11} m$
5. y la energía mínima es
  
  $E (r) = - \frac{m _{e} e ^{4}}{2 ( 4 π ε _{0} ) ^{2} ℏ ^{2}} = - 2.180 \times 1 0^{- 18} J = - 13.61 eV$
Respuesta

La estimación sitúa el electrón a 0,05292 nm del protón, ligado por 13,61 eV. La distancia es el radio de Bohr, y la energía coincide con la energía de ionización del hidrógeno con un error inferior al 0,1%. Parte del acuerdo es casual: tomar p ≈ ħ/r es una elección; con ħ/2r, el radio resultaría cuatro veces menor. Lo esencial no depende de esa elección. Al comprimir el electrón, su energía cinética crece como 1/r², mientras que la atracción solo aumenta como 1/r. Por debajo de cierto radio, comprimirlo cuesta más energía de la que se gana. Un electrón clásico no tiene ese límite inferior y caería sobre el protón.

$r = 0.05292 nm = a_{0}, E = - 13.61 eV (hydrogen: - 13.598 eV)$

Ruta de aprendizaje

Mecánica cuántica: la materia como ondas

Referencias (3)

A packet built from plane waves, how its width grows once released, σ²(t) = Δx² + α²t²/(4Δx²) with α = ħ/m, and Δx·Δk ≳ ½ from the same analysis: R. Fitzpatrick, "Evolution of Wave Packets" and "Heisenberg's Uncertainty Principle", in Quantum Mechanics (lecture notes), Department of Physics, University of Texas at Austin, 2010.
The mathematics of the inequality: Heisenberg's Δx·Δk ≥ ½ for any square-integrable function, with equality only for Gaussians, and its many variants: G. B. Folland and A. Sitaram, "The uncertainty principle: A mathematical survey", Journal of Fourier Analysis and Applications 3, 207–238 (1997).
The constants, ħ = h/2π, the electron and proton masses and ε₀, and the Bohr radius the worked problem lands on: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018", Reviews of Modern Physics 93, 025010 (2021); values as printed on NIST's CODATA 2018 wall chart.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.