Efecto túnel cuántico

Elige una partícula, su energía E, y la altura U y la anchura a de la barrera que encuentra. La página resuelve exactamente la ecuación de Schrödinger delante, dentro y detrás de la barrera; dibuja la onda y muestra la fracción que logra atravesarla junto a la estimación para barreras gruesas, 16E(U − E)/U² · e^−2κa.

Ejemplo resuelto — Efecto túnel cuántico

Número de onda fuera de la barrera	3,623 nm⁻¹
Longitud de onda fuera de la barrera	1,734 nm
Constante de decaimiento dentro de la barrera	3,623 nm⁻¹
Anchura de la barrera en unidades de 1/κ	1,811
Transmisión exacta	10,14%
Aproximación de barrera gruesa	10,68%
Reflexión	89,86%

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Efecto túnel cuántico

El efecto túnel cuántico permite que una partícula atraviese una región donde su energía E es menor que la energía potencial U, algo imposible según la mecánica clásica. Dentro de esa barrera, la función de onda no oscila: es una combinación de e^−κx y e^+κx. Si la barrera es gruesa, predomina casi por completo la parte decreciente, con κ = √(2m(U − E))/ħ; la amplitud que queda al otro lado continúa como una onda propagante. El coeficiente de transmisión T es la fracción de la corriente de probabilidad incidente que atraviesa la barrera. Para una barrera rectangular tiene una expresión exacta y cerrada; cuando κa supera 2, difiere en menos de un 4% de 16E(U − E)/U² · e^−2κa.

Qué significa cada símbolo

E: la energía cinética de la partícula fuera de la barrera
U: la altura de la barrera: la energía potencial de la partícula en su interior
a: la anchura de la barrera
κ: la constante de decaimiento dentro de la barrera; si esta es gruesa, |ψ|² se reduce en un factor e a lo largo de una distancia 1/(2κ)
T: el coeficiente de transmisión, la fracción de partículas que atraviesan la barrera; el resto, R = 1 − T, se refleja

Supone: Una dimensión, una barrera de lados verticales y parte superior plana, y el mismo potencial a ambos lados. La partícula tiene una energía definida y se representa mediante una onda plana, no mediante un paquete de ondas; por tanto, T es una probabilidad por partícula. No se tienen en cuenta efectos relativistas: aquí las energías se expresan en electronvoltios, frente a los 511 keV de la energía en reposo de un electrón.
Falla cuando: Una barrera real tiene lados inclinados. En el hueco de vacío de un microscopio, la carga imagen que el electrón induce en cada metal rebaja y redondea la barrera; además, una tensión aplicada inclina su parte superior. Si el campo es suficientemente intenso, la barrera se vuelve triangular y los electrones escapan de un metal frío por efecto túnel: es la emisión de campo, que obedece la ley de Fowler–Nordheim y no la expresión anterior. Para una barrera suave, la aproximación WKB sustituye κa por la integral de κ(x) a través de ella. En un experimento se envía un paquete de ondas con cierta dispersión de energías, y la transmisión se promedia sobre esa distribución, lo que difumina las resonancias nítidas situadas por encima de la barrera.

A partir de 0,4 nm, cada 0,1 nm de separación divide la corriente por 8,8 🖖

Pulsa Hueco del STM. El electrón está 4,5 eV por debajo de la parte superior de la barrera, un valor próximo a la función de trabajo de un metal, y el hueco mide 0,5 nm. Si lo ensanchas 0,1 nm, T se reduce por un factor de 8,789; la aproximación de barrera gruesa, e^{2κ × 0,1 nm}, da 8,790. A partir de 0,4 nm, la tabla escalonada situada bajo los resultados muestra este mismo factor para cualquier anchura, con una diferencia inferior al 0,3%. Los primeros pasos son menores: de 0,1 a 0,2 nm, el factor es 7,293 porque una barrera tan estrecha aún no es gruesa en unidades de 1/κ. Gerd Binnig, Heinrich Rohrer y sus colaboradores del laboratorio de investigación de IBM en Zúrich aprovecharon esta gran sensibilidad para construir el microscopio de efecto túnel, que presentaron en 1982. Mientras la punta recorre la muestra, el sistema mantiene constante la corriente y la altura de la punta reproduce el relieve de la superficie. Como un átomo situado 0,2 nm más atrás, dos pasos por debajo en la tabla, aporta unas 77 veces menos corriente, casi toda fluye por el único átomo del extremo. El factor 8,8 tampoco depende de E. Cambia E y U a la vez manteniendo U − E en 4,5 eV: el factor seguirá siendo 8,79, pues κ = √(2m(U − E))/ħ solo depende de la diferencia.

Un protón atraviesa la barrera unas 10⁶⁶ veces menos que un electrón 🖖

Pulsa Electrón, 0,5 eV y después Protón, 0,5 eV: la misma energía y la misma barrera, de 1 eV y 0,5 nm. El electrón la atraviesa el 10,14% de las veces. El protón, 1836 veces más pesado, lo hace con una probabilidad de 1,535×10⁻⁶⁷. La masa aparece bajo una raíz cuadrada en κ, de modo que el κa del protón es solo √1836 ≈ 42,85 veces el del electrón: 77,62 frente a 1,811. Sin embargo, κa está en un exponente, y e^−2κa convierte un factor de 43 en 66 órdenes de magnitud. El muón, cuya masa es 206,8 veces la del electrón, queda entre ambos con 9,530×10⁻²³; la tabla situada bajo la escala incluye las tres partículas. El efecto túnel no es una propiedad general de los objetos pequeños. Favorece a las partículas ligeras y las barreras estrechas: fija la anchura en 0,05 nm y la T del protón subirá a 7,252×10⁻⁷.

Por encima de la barrera, aún se refleja el 46% 🖖

Pulsa 1,2 eV sobre 1 eV. El electrón tiene un 20% más de energía que la altura de la barrera; en la física clásica, siempre la superaría. La página da T = 53,64%. La reflexión se produce en los bordes. En x = 0, la longitud de onda cambia bruscamente: pasa de 1,120 nm fuera de la barrera a un valor mayor en su interior. Cualquier cambio abrupto en el medio por el que se propaga una onda devuelve parte de ella, igual que el vidrio refleja una pequeña fracción de la luz que entra. Las reflexiones en los bordes delantero y trasero interfieren. Cuando dentro de la barrera cabe un número entero de semilongitudes de onda, qa = nπ, se anulan exactamente y T = 1. Esto ocurre cuando E − U = n²h²/(8ma²), los niveles de energía de una <a href="/phy/particle-in-a-box">partícula en una caja</a> tan ancha como la barrera. Pulsa Nivel de la caja: para una barrera de 1 nm, E − U = 0,376 eV, el nivel fundamental de un electrón en una caja de 1 nm, y T = 100,00%. La gráfica de energía señala estos niveles con líneas discontinuas; la curva alcanza 1 en cada uno.

Problema resuelto al detalle

¿Qué desnivel mínimo puede detectar un microscopio de efecto túnel? 4 pasos
La electrónica de un microscopio de efecto túnel mantiene estable la corriente con una precisión del 2%. La energía del electrón está 4,5 eV por debajo del máximo de una barrera de 0,5 nm de anchura. ¿Qué variación de la separación corresponde a un cambio del 2% en la corriente? Pulsa Separación STM para dar el primer paso.

Abre este problema en la herramienta
1. La página muestra la constante de decaimiento dentro de la barrera, que es gruesa comparada con 1/κ:
  
  $κ = \frac{2 m _{e} \times 4 . 5 eV}{ℏ} = 10.87 n m^{- 1}, κa = 5.434$
2. Con ese espesor, T es el producto de e^−2κa y un prefactor que no depende de a. Como la corriente sigue a T, ln T decrece linealmente con a:
  
  $T \approx \frac{16 E ( U - E )}{U ^{2}} e^{- 2 κa} \Rightarrow ln T = ln \frac{16 E ( U - E )}{U ^{2}} - 2 κa$
3. Al reducir la separación en Δa, la corriente aumenta un 2%, lo que supone un incremento de ln 1,02 en ln T:
  
  $Δ a = \frac{ln 1 . 02}{2 κ} = \frac{0 . 019803}{21 . 736 n m ^{- 1}} = 9.111 \times 1 0^{- 4} nm = 0.9111 pm$
4. Si se resuelve la fórmula exacta para obtener ese mismo factor de 1,02, en lugar de usar la estimación, el resultado coincide hasta la cuarta cifra:
  
  $T (a + Δ a) = \frac{T ( a )}{1 . 02} (exact formula) \Rightarrow Δ a = 0.9111 pm$
Respuesta

Una variación de 0,9111 pm en la separación cambia la corriente un 2%: es la cincuentaiochoava parte del radio de Bohr, que mide 52,92 pm, y se obtiene con una electrónica que no hace nada más ingenioso que mantener constante una corriente. La punta no tiene que ser así de afilada; basta con que termine en un átomo más próximo a la muestra que sus vecinos, pues la corriente depende casi por completo de la distancia entre ese átomo y la superficie. Por eso un microscopio de efecto túnel puede seguir el relieve de una superficie con una precisión muy inferior a la altura de un átomo.

$Δ a = 0.9111 pm \approx \frac{a _{0}}{58}, a_{0} = 52.92 pm$

Ruta de aprendizaje

Mecánica cuántica: la materia como ondas

Referencias (3)

The rectangular barrier solved exactly, with the reflection and transmission probabilities for E below the top in closed form, the same formula this page evaluates: R. Fitzpatrick, "Square Potential Barrier", in Quantum Mechanics (lecture notes), Department of Physics, University of Texas at Austin, 2010.
The first scanning tunnelling microscope, which turned the exponential dependence of the tunnelling current on the gap into a picture of a surface: G. Binnig, H. Rohrer, Ch. Gerber and E. Weibel, "Surface Studies by Scanning Tunneling Microscopy", Physical Review Letters 49, 57–61 (1982).
The constants: the Planck constant and the elementary charge, exact in the SI, and the electron, muon and proton masses: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018", Reviews of Modern Physics 93, 025010 (2021); values as printed on NIST's CODATA 2018 wall chart.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.