Longitud de onda de de Broglie y ondas de materia

Elige una partícula y su energía cinética —o, si es un electrón o un protón, la tensión que la aceleró—; para la pelota, indica una velocidad. La página calcula la longitud de onda a partir del momento, tanto de forma exacta como con la fórmula habitual, y el ángulo con el que la superficie de un cristal de níquel desviaría el haz.

Ejemplo resuelto — Longitud de onda de de Broglie y ondas de materia

Energía en reposo	511,0 keV
Momento, expresado como pc	7,429 keV
Longitud de onda	0,1669 nm
Longitud de onda según la fórmula no relativista	0,1669 nm
Exceso de esa fórmula	0,00264%
Velocidad como fracción de c	0,01454
Primer haz de las filas superficiales del níquel	50,66°

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Longitud de onda de de Broglie y ondas de materia

Una partícula en movimiento tiene asociada una longitud de onda, la longitud de onda de de Broglie λ = h/p, donde p es su cantidad de movimiento y h, la constante de Planck. Por tanto, un haz de partículas se difracta, igual que la luz, al incidir sobre una red cuyo periodo es comparable con λ. Para una masa m y una energía cinética K, la cantidad de movimiento cumple pc = √(K² + 2K·mc²). Si K es mucho menor que la energía en reposo mc², se obtiene la conocida expresión p = √(2mK). Un electrón o un protón acelerado desde el reposo por una diferencia de potencial de V voltios tiene K = eV.

Qué significa cada símbolo

λ: la longitud de onda de de Broglie de la partícula
h: la constante de Planck, exactamente 6,62607015×10⁻³⁴ J·s
p: la cantidad de movimiento de la partícula; pc expresa esa misma magnitud como energía
K: la energía cinética; para una carga elemental acelerada mediante V voltios, K = eV
mc²: la energía en reposo, 511,0 keV para un electrón y 938,3 MeV para un protón
d: la separación entre las hileras de átomos de la cara (111) del níquel, 0,2158 nm
φ: el ángulo entre el haz incidente y el primer haz difractado, obtenido de sin φ = λ/d

Supone: Todas las partículas del haz tienen la misma energía, K = eV para una carga acelerada desde el reposo, medida fuera del cristal. El haz incide perpendicularmente sobre la superficie del níquel, que se modeliza como hileras de átomos separadas 0,2158 nm: una red de difracción por reflexión en la que solo interviene la capa superior. La separación del níquel se calcula a partir de su constante de red, 0,352387 nm. Se toma para la pelota una masa de 145 g, aproximadamente la de una pelota de béisbol.
Falla cuando: Dentro del metal, el cristal atrae al electrón y hace que se mueva más deprisa que fuera, por lo que allí su longitud de onda es menor. En 1928, Davisson y Germer publicaron que sus haces no obedecían la ley de Bragg en las capas situadas bajo la superficie. Siguiendo una propuesta de Carl Eckart, atribuyeron la discrepancia a esta refracción. La fórmula para las hileras superficiales que se emplea aquí no se ve afectada, pues la atracción es perpendicular a la superficie y no altera la componente de la cantidad de movimiento paralela a ella. La fórmula es válida para cualquier partícula, tenga carga o no: en 1930, Immanuel Estermann y Otto Stern dirigieron haces de átomos de helio y moléculas de hidrógeno contra un cristal de fluoruro de litio y observaron su difracción.

Un electrón de 54 voltios tiene el tamaño del espacio entre dos átomos 🖖

Pulsa 54 V de Davisson y Germer. La longitud de onda del electrón es de 0,1669 nm. En la cara (111) de un cristal de níquel, las hileras de átomos están separadas 0,2158 nm. La superficie forma así una red de difracción por reflexión cuyo periodo apenas supera la longitud de onda, y el primer haz difractado sale con sin φ = λ/d, a 50,66° del haz incidente. En 1927, Clinton Davisson y Lester Germer lanzaron electrones de 54 V perpendicularmente contra una cara de este tipo en los Laboratorios Bell de Nueva York y detectaron un haz intenso a 50°. Su experimento había comenzado como un estudio sobre la dispersión de electrones en los metales; no se convirtió en una prueba de la idea de de Broglie hasta el verano de 1926. Pulsa Cuatro veces el voltaje: λ se reduce casi a la mitad, hasta 0,08344 nm, y el haz se acerca al incidente hasta formar 22,75°. Por debajo de 32,30 V, la longitud de onda supera la separación entre las hileras y no aparece ningún haz difractado. Es un límite análogo al que la <a href="/phy/braggs-law">ley de Bragg</a> impone a los rayos X.

Un neutrón a temperatura ambiente ya tiene una longitud de onda del tamaño de un cristal 🖖

Pulsa Neutrón a 20 °C. Tiene 0,0253 eV, el valor de kT a 20 °C: la energía típica de un neutrón que ha chocado suficientes veces con los átomos del moderador de un reactor para alcanzar su temperatura. Basta con eso para que su longitud de onda sea 0,1798 nm, mayor que la del electrón de 54 V. Un electrón necesita 46,52 eV para igualarla, 1.839 veces más, justo la razón entre ambas masas. La longitud de onda depende del momento, no de la energía. A igual energía, el momento varía como √m, de modo que la partícula más pesada tiene la onda más corta: en la segunda tabla, un electrón con los mismos 0,0253 eV que el neutrón tiene 7,710 nm, una longitud 42,9 veces mayor. Precisamente por eso se hicieron pasar por cristales los neutrones lentos de los primeros reactores de investigación. Clifford Shull compartió el Premio Nobel de Física de 1994 por convertir este fenómeno en la técnica de difracción de neutrones.

A los 100 kV de un microscopio, la fórmula habitual se excede un 4,78% 🖖

Pulsa Microscopio: 100 kV. La fórmula que suele enseñarse, λ = h/√(2meV), da 3,878 pm. Sin embargo, el electrón se mueve a 0,548c y su momento ya no es √(2mK). Con la relación exacta (pc)² = K² + 2K·mc², la longitud de onda es 3,701 pm; el valor de la fórmula habitual es un 4,78% mayor. La tabla inferior muestra cómo crece el error: 0,00264% a 54 V, 0,488% a 10 kV y 18,0% a 400 kV. La relatividad también invalida la regla 1/√V que cumplen los dos primeros valores predefinidos. Al pasar de 100 kV a 400 kV, cuatro veces la tensión, λ baja de 3,701 a 1,644 pm: se divide por 2,25, no por 2. Cuando K representa ya una fracción apreciable de la energía en reposo, 511 keV, el momento crece más deprisa que √K. En la gráfica, la curva exacta se separa de la discontinua cerca de mₑc², aumenta su pendiente y tiende hacia λ ∝ 1/K.

Problema resuelto al detalle

Un electrón y un rayo X con la misma longitud de onda 5 pasos
Los rayos X Kα del cobre, de 0,154184 nm, son los que utiliza la ley de Bragg para medir cristales. ¿Qué tensión da a un electrón la misma longitud de onda, cuánta energía transporta un fotón de esos rayos X y cómo cambia la comparación para ondas más largas? Pulsa Davisson y Germer: 54 V como punto de partida.

Abre este problema en la herramienta
1. A 54 V, la página muestra esta longitud de onda para el electrón:
  
  $λ_{54 V} = 0.1669 nm$
2. Muy por debajo de mc², λ varía como 1/√V, así que la tensión correspondiente a la onda más corta se obtiene con el cuadrado de la razón:
  
  $V = 54 V \times (\frac{0 . 16689 nm}{0 . 154184 nm})^{2} = 63.27 V$
3. La energía de un fotón es hc/λ, con hc = 1239,84 eV·nm:
  
  $E_{γ} = \frac{h c}{λ} = \frac{1239 . 84 eV nm}{0 . 154184 nm} = 8, 041 eV$
4. El fotón transporta 127 veces la energía del electrón:
  
  $\frac{E _{γ}}{K} = \frac{8 , 041 eV}{63 . 27 eV} = 127.1$
5. Para un electrón lento, K = h²/(2mλ²), mientras que la energía del fotón es hc/λ. La razón entre ambas es, por tanto, 2mcλ/h: el doble de la longitud de onda dividido por la longitud de onda de Compton del electrón, h/mₑc = 2,4263 pm.
  
  $\frac{E _{γ}}{K} = \frac{h c / λ}{h ^{2} / ( 2 m _{e} λ ^{2} )} = \frac{2 λ}{h / ( m _{e} c )} = \frac{2 \times 154 . 184 pm}{2 . 4263 pm} = 127.1$
Respuesta

Una tensión de 63,27 V da al electrón la longitud de onda de 0,154184 nm del Kα del cobre. Un fotón con esa longitud de onda transporta 8.041 eV, 127,1 veces más. Como la razón es 2λ/λ_C, crece en proporción a la longitud de onda: a las escalas relevantes para los cristales, una partícula con masa alcanza esas longitudes con una pequeña fracción de la energía que necesita la luz, y cuanto mayor es la masa, menor es esa fracción. Es el caso del neutrón del tercer valor predefinido. La razón solo se aproxima a 1 para longitudes de onda muy inferiores a λ_C, donde el electrón es tan rápido que su energía, como la del fotón, es simplemente pc.

$K = 63.27 eV, E_{γ} = 8, 041 eV, \frac{E _{γ}}{K} \approx \frac{2 λ}{λ _{C}}$

Ruta de aprendizaje

Mecánica cuántica: la materia como ondas

Referencias (4)

Davisson's own account of the experiment: a 54-volt beam aimed at the (111) face of a nickel crystal, how the work began as a study of electron scattering and became a test of de Broglie only in 1926, and the check of λ = h/p against λ = 12.25/√V Å for nineteen beams: C. J. Davisson, "The discovery of electron waves." Nobel Lecture, 13 December 1937.
Diffraction is not special to electrons: Stern's account of sending helium atoms and hydrogen molecules at a lithium fluoride crystal, and checking de Broglie's formula to about 2%: O. Stern, "The method of molecular rays." Nobel Lecture, 12 December 1946.
The 54 V, 50° peak itself, and its reading as Bragg reflection from planes inside the crystal: R. Nave, "Davisson-Germer Experiment." HyperPhysics, Department of Physics and Astronomy, Georgia State University.
Neutrons from a reactor, slowed to thermal speeds and reflected by a crystal because of their wave nature, as the basis of neutron diffraction: The Royal Swedish Academy of Sciences, "The Nobel Prize in Physics 1994." Press release, 12 October 1994.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.