La media móvil como filtro

Pulsa Alemania, 7 días. Estos casos caen al principio de cada semana y se acumulan después: los lunes promedian el 60,1 % de la semana a su alrededor, los jueves el 130,7 %. En la media de 7 días, la oscilación entre días es de 0,8 puntos. Cada ventana de siete días consecutivos contiene exactamente un lunes, un martes y así hasta el domingo, de modo que cualquier patrón que se repita semanalmente añade la misma cantidad a cada ventana, tenga la forma que tenga. En el gráfico inferior, la ganancia sen(7πf)/(7 sen πf) es exactamente cero a 1/7, 2/7 y 3/7 de ciclo al día, el ciclo semanal y los únicos dos armónicos que puede llevar una serie de valores diarios. Ese 0,8 no es cero porque el patrón real no se repite con exactitud; pulsa Solo el patrón semanal y será 0,0. Los días festivos rompen la repetición por completo. El día de Navidad registra 0 y el día siguiente 39.988, el máximo de cualquier día en la serie, por lo que el 22 de diciembre la media centrada cae a 21.025, ya que su ventana termina en el cero, y un día después, con el 39.988 dentro, vuelve a 22.266. Ahora cambia M en un día. Ocho días contienen un día de la semana dos veces y conservan un octavo de la oscilación, 8,8 puntos de 70,7 en la semana sintética; seis días dejan fuera un día de la semana y conservan un sexto, 11,8. Catorce y veintiuno lo borran de nuevo. Una media rezagada registra los mismos números en un día posterior, por lo que borra el ciclo semanal igual de bien.

Pulsa Una onda de 5 días: un coseno con un periodo de 5 días, a través de la misma media de 7 días. Se supone que el suavizado encoge una oscilación rápida, y el fantasma a rayas es esa expectativa, la onda más pequeña pero derecha. La media sale a −0,2311 de la onda: más pequeña, e invertida, con sus picos en los días en que la entrada tiene valles. El motivo cabe en una ventana. Cualesquiera cinco días consecutivos contienen un ciclo entero, que suma cero, de forma que a una ventana de 7 días le quedan sus dos días de los extremos, a 3 días a cada lado del centro. Tres días son seis décimas de ciclo, y los dos días a esa distancia a cada lado de cualquier punto suman 2 cos(6π/5) = −1,618 veces el valor de la onda ahí. Dividido entre 7, eso es −0,2311. En el gráfico inferior, la ganancia es negativa para cualquier periodo entre 3,5 y 7 días, su valor más negativo es de −0,2330 cerca de los 4,86 días, y vuelve a ser positiva entre 2,33 y 3,5. Pulsa Un día sí, un día no: la oscilación más rápida que puede contener una serie diaria pasa a −0,1429, un séptimo de su tamaño. El libro de texto sobre DSP de Steven W. Smith llama a la media móvil "un filtro de suavizado excepcionalmente bueno" y "un filtro de paso bajo excepcionalmente malo" en una sola frase, y estos lóbulos son la razón.

Pulsa Rezagada, como en paneles. Un panel no puede promediar días que no han ocurrido, por lo que sitúa cada media de 7 días en el último día de su ventana. Son los mismos siete números y la misma media, registrados 3 días después del centro de la ventana; la línea discontinua es la media centrada, y la línea continua es esa curva deslizada hacia la derecha. La media de 7 días más alta en estos casos, 25.851 al día, pertenece a la semana del 18 al 24 de diciembre. Centrada, se sitúa el 21 de diciembre. Rezagada, se sitúa el 24. Ninguna de las dos ubicaciones sale gratis. La media centrada es puntual y se detiene 3 días antes que los datos, porque sus últimas ventanas aún no están completas. La media rezagada llega hasta hoy y describe una semana cuyo centro fue hace 3 días; en una tendencia en línea recta lleva un retraso de exactamente 3 días de cambio. La ganancia queda intacta, por lo que el ciclo semanal sigue desapareciendo: solo se mueve la temporización, en los mismos 3 días para cada frecuencia. Para una ventana de M días el retraso es de (M − 1)/2 días, así que una media rezagada de 14 días va 6,5 días por detrás.