Velocidad terminal y ley de Stokes

Ajusta un radio, un material y un fluido para ver a qué velocidad sedimenta una esfera, y el tamaño en el que la fórmula deja de cumplirse.

Ejemplo resuelto — Velocidad terminal y ley de Stokes

Dirección	se hunde
Predicción de la ley de Stokes	0,8985 m/s
Número de Reynolds de la esfera	895,4
Predicción por resistencia cuadrática	0,2146 m/s
Radio máximo que cubre la ley de Stokes	5,19 × 10⁻⁵ m
Su velocidad terminal	0,009671 m/s

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Velocidad terminal y ley de Stokes

La velocidad terminal se alcanza cuando una esfera en caída deja de acelerar porque la resistencia ha crecido hasta igualar su peso en el fluido. Hablamos del peso menos el empuje, así que lo determinante es la diferencia de densidad y no la densidad en sí. La ley de resistencia que debes aplicar depende de la velocidad que ya lleve la esfera: la ley de Stokes, donde la resistencia es proporcional a la velocidad, es válida mientras el flujo a su alrededor se mantenga laminar.

Qué significa cada símbolo

Δρ: la densidad de la esfera menos la densidad del fluido
μ: la viscosidad dinámica del fluido

Supone: Una esfera rígida y lisa, completamente sola en un fluido infinito. Verás que ninguna de estas premisas se cumple en una probeta: las paredes frenan la sedimentación, las partículas vecinas alteran mutuamente sus flujos y un grano de arena no es una esfera.

El número de Reynolds es 895,4; la ley de Stokes requiere Re ≤ 1 🖖

Pulsa Grano arena 1 mm en agua. La Predicción de la ley de Stokes es 0,8985 m/s, y a simple vista no hay nada extraño: la arena se hunde, y un grano de ese tamaño cayendo a cerca de un metro por segundo entra dentro del orden de magnitud que podrías esperar. La fila de abajo indica 895,4. Ese es el propio número de Reynolds del grano a la velocidad que acabamos de citar. La ley de Stokes se deduce para un flujo reptante y solo mantiene un error de unos pocos puntos porcentuales mientras Re se mantenga por debajo de aproximadamente 1. El flujo se separa detrás de una esfera alrededor de Re = 20. Este grano está dejando una estela.

La fórmula v = 2r²Δρg / (9η) no contiene ningún término capaz de oponerse, por lo que responde con la misma compostura a Re = 895 que a Re = 0,001. La fila de predicción por resistencia cuadrática da 0,2146 m/s para ese mismo grano, lo cual es cuatro veces más lento. Esa cifra tampoco es segura, ya que Re = 895 cae en la franja entre ambas leyes, donde ninguna es precisa y no existe una solución exacta.

El límite es una raíz cúbica, y el gráfico lo sombrea 🖖

Sustituir la propia velocidad de Stokes de nuevo en el número de Reynolds lo reduce a una única potencia del radio: Re(r) = 4gρ_fΔρr³ / (9η²). Si igualas eso a 1, el radio se despeja como r³ = 9η² / (4gρ_fΔρ). Como Re crece de forma monótona con r, hay exactamente una raíz positiva y nada que buscar. Para la arena de cuarzo en agua es de 5,19 × 10⁻⁵ m, y sedimenta a 0,009671 m/s. Pulsa Arena en límite Re = 1 y la fila de Reynolds marcará 1,0000. Stokes dedujo la resistencia sobre la que se apoya esto en 1851, en un artículo donde se preguntaba por qué un péndulo oscila de manera distinta en el aire que en el vacío; la esfera fue un resultado secundario.

El gráfico marca ese radio en rojo y sombrea todo lo que hay más allá. Ambas predicciones se dibujan en todo el dominio. En ejes log-log sus pendientes difieren: 2 para la ley de Stokes frente a ½ para la resistencia cuadrática. Por tanto, las dos líneas se cruzan una vez y se separan en cualquier dirección a partir del cruce. Cambia el fluido a miel y el borde rojo se desplazará hasta 0,02360 m. Eso equivale a una bola de arena de 2,4 cm de radio, que sigue cayendo en flujo reptante porque la viscosidad de la miel es cuatro órdenes de magnitud superior a la del agua.

La velocidad varía con r², el número de Reynolds con r³ 🖖

Fíjate en las dos fórmulas para ver sus potencias de r. La velocidad de Stokes lleva r², así que un grano diez veces más ancho sedimenta cien veces más rápido. El número de Reynolds vuelve a multiplicar esa velocidad por el diámetro, lo que lo sitúa en r³: diez veces más ancho, mil veces el número de Reynolds. Arrastra el deslizador y observa ambas filas. La arena de 5 µm de radio en agua sedimenta a 8,98 × 10⁻⁵ m/s con Re = 8,95 × 10⁻⁴; a 50 µm sedimenta a 0,008985 m/s con Re = 0,8954.

Ese cubo es la razón por la que la ventana de uso se cierra tan rápido. La arena en agua abandona la ley de Stokes en 5,19 × 10⁻⁵ m y llega al régimen de Newton en 5,19 × 10⁻⁴ m, exactamente una década después, porque 1000 es 10³. En diámetros, eso es 0,104 mm y 1,04 mm, lo que en la escala de Wentworth va desde arena muy fina hasta arena muy gruesa. Toda la franja intermedia cabe en una sola década del deslizador.

Problema resuelto al detalle

Cuánto tarda un grano de cuarzo en sedimentar a través de 2 m de agua en reposo 7 pasos
Pulsa Grano arena 1 mm en agua. La ley de Stokes responde 0,8985 m/s, y dará una respuesta para cualquier grano que le proporciones. ¿Pero es legítimo que lo haga? Si no es así, encuentra el grano más grueso para el que sí sea legítimo y calcula su tiempo de caída a través de una columna de 2 m de agua en reposo.

Abre este problema en la herramienta
1. Una única resta prepara todo lo que viene a continuación. El cuarzo tiene 2650 kg/m³ y el agua a 20 °C tiene 998,2, por lo que el grano pesa más que el agua que desplaza y la fila de Dirección indica se hunde. Lo que tira de él hacia abajo es la diferencia en lugar de la propia densidad del grano: si pones el mismo grano en glicerol a 1261 kg/m³, la cifra impulsora cae de 1651,8 a 1389. La ley de Stokes es directamente proporcional a ella. La fórmula de resistencia cuadrática que verás más abajo varía con su raíz cuadrada.
  
  $Δ ρ = ρ_{s} - ρ_{f} \Rightarrow 2650 - 998.2 = 1651.8 kg m^{- 3}$
2. A velocidad terminal la fuerza neta es cero, así que el peso menos la flotabilidad iguala a la resistencia. La ley de Stokes asume que esa resistencia es 6πηrv, y al despejar v se obtiene la fila Predicción de la ley de Stokes. La fórmula requiere un radio, así que un grano de 1 mm de diámetro se introduce como 5×10⁻⁴ m. La herramienta imprime 0,8985 m/s.
  
  $v = \frac{2 r ^{2} Δ ρ g}{9 η} = \frac{2 ( 5 \times 1 0 ^{- 4} ) ^{2} ( 1651.8 ) ( 9.80665 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 0.8985 m s^{- 1}$
3. Ahora pregúntate si la fórmula tenía permitido responder. Stokes la dedujo para el flujo reptante, y la magnitud que indica si el flujo es reptante es el propio número de Reynolds del grano, construido a partir de la velocidad que acabas de calcular. La longitud que incluye es el diámetro, 2r, que es donde suele perderse un factor de dos. El Número de Reynolds de la esfera marca 895,4 frente a un techo de 1, y la fila de Régimen nombra la franja en la que ha aterrizado: Intermedio (1 < Re ≤ 1000), donde ninguna solución analítica es precisa y los ingenieros recurren a correlaciones empíricas en su lugar.
  
  $R e = \frac{ρ _{f} v ( 2 r )}{η} = \frac{( 998.2 ) ( 0.8985 ) ( 1.0 \times 1 0 ^{- 3} )}{1.0016 \times 1 0 ^{- 3}} = 895.4 \Rightarrow 1 < R e \leq 1000$
4. La otra fórmula de los libros de texto es la resistencia cuadrática, con C_d ≈ 0,47 para una esfera lisa, y es la precisa desde Re = 1000 hasta unos 2×10⁵. La predicción por resistencia cuadrática indica 0,2146 m/s. Un grano, dos fórmulas, un factor de 4,19 entre sus respuestas, y el grano se encuentra fuera del dominio de ambas. Ninguna de las cifras es la velocidad de sedimentación de un grano de arena de 1 mm.
  
  $v_{N} = \frac{8 r g ∣ Δ ρ ∣}{3 C _{d} ρ _{f}} = \frac{8 ( 5 \times 1 0 ^{- 4} ) ( 9.80665 ) ( 1651.8 )}{3 ( 0.47 ) ( 998.2 )} = 0.046035 = 0.2146 m s^{- 1} \frac{0.8985}{0.2146} = 4.187$
5. Así que encuentra el grano para el que la página sí pueda responder. Sustituir la v de Stokes de nuevo en el número de Reynolds deja únicamente una función del radio, proporcional a r³ y por tanto estrictamente creciente. En consecuencia, Re = 1 tiene exactamente una raíz positiva y se puede escribir directamente en lugar de buscarla. El Radio máximo que cubre la ley de Stokes indica 5,19×10⁻⁵ m. Eso es un grano de 0,104 mm de diámetro, en el extremo más fino de lo que cualquiera llamaría arena.
  
  $R e (r) = \frac{4 g ρ _{f} Δ ρ r ^{3}}{9 η ^{2}} = 1 \Rightarrow r_{m a x} = 3 \frac{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{4 ( 9.80665 ) ( 998.2 ) ( 1651.8 )} = 3 1.3960 \times 1 0^{- 13} = 5.1875 \times 1 0^{- 5} m$
6. Su velocidad terminal marca 0,009671 m/s. Lleva la raíz sin redondear a esa línea: 51,8 µm devuelve 0,009643 m/s, y entonces el radio y la velocidad no estarían en la misma curva. El grano límite cae 93 veces más lento de lo que la ley de Stokes afirmaba para el de 1 mm, y aquí se detiene la herramienta. Divide 2 m por esa velocidad y el grano necesita 206,8 segundos, es decir, tres minutos y veintisiete segundos. Ninguna fila de esta página imprime un tiempo.
  
  $v (r_{m a x}) = \frac{2 ( 5.1875 \times 1 0 ^{- 5} ) ^{2} ( 1651.8 ) ( 9.80665 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 0.009671 m s^{- 1} t = \frac{2}{0.009671} = 206.8 s$
7. Esa división asumía que el grano ya iba a 0,009671 m/s cuando se soltó. Si linealizas la caída, m·dv/dt = W_b − 6πηrv, la aproximación a la velocidad terminal es exponencial con constante de tiempo τ = m/(6πηr), que equivale a 2r²ρ_s/(9η) una vez que se desarrolla la masa. Contando solo la propia inercia del grano, eso es 1,582 milisegundos, y la distancia que pierde mientras acelera es vτ = 15,3 µm, menos de ocho partes por millón de la columna. Añadir la inercia del agua desplazada eleva τ a 1,88 ms y no altera nada que alguien pudiera cronometrar.
  
  $τ = \frac{2 r _{m a x}^{2} ρ _{s}}{9 η} = \frac{2 ( 5.1875 \times 1 0 ^{- 5} ) ^{2} ( 2650 )}{9 ( 1.0016 \times 1 0 ^{- 3} )} = 1.582 \times 1 0^{- 3} s v τ = 0.009671 \times 1.582 \times 1 0^{- 3} = 1.530 \times 1 0^{- 5} m$
Respuesta

La ley de Stokes cubre el cuarzo en agua hasta un radio de 51,9 µm, y ese grano cruza 2 m en 3 minutos y 27 segundos. El grano de 1 mm por el que empezaste no obtiene ninguna respuesta. Sus dos fórmulas dictan 2,2 segundos y 9,3 segundos, y nada en la página puede decirte a qué extremo creer.

Esos 206,8 segundos son los que convierten una columna de sedimentación en un instrumento. Remueve una muestra de limo en agua en reposo, extrae con una pipeta desde una profundidad fija después de un tiempo fijo, y la ley de Stokes transforma el reloj en un tamaño de grano. Ese es el método de la pipeta, y sigue siendo la forma en la que se mide la fracción de limo y arcilla de un suelo. Funciona mientras Re se mantenga por debajo de 1, lo que para el cuarzo en agua significa un radio inferior a unos 52 µm. Por encima de ese límite, la medición del tiempo sigue siendo igual de repetible, pero el tamaño que reporta es erróneo.

$t = \frac{h}{v} = \frac{9 η h}{2 r ^{2} Δ ρ g}$

Referencias (1)

Where the drag on a slow-moving sphere comes from — a paper about pendulums: G. G. Stokes, "On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of Pendulums." Transactions of the Cambridge Philosophical Society 9, 1851, pp. 8–106.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.