Letras, notas y bonos: el efecto del rendimiento en el precio

Compra un título del Tesoro a la par en un día de 2026, revalúalo en otro y observa cómo se mueve el precio. Los números son las propias curvas diarias del Tesoro, nominales y protegidas contra la inflación.

Ejemplo resuelto — Letras, notas y bonos: el efecto del rendimiento en el precio

El tramo largo de 2026, medido	4 de septiembre
Variación del rendimiento	+38 bp
Rendimiento real (TIPS)	+33 bp
Inflación de equilibrio	+5 bp
Precio por 100 nominal	94,28
Cambio desde la compra	−5,72%
Duración modificada	15,70
Puntos básicos por 1 % de precio	6

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Letras, notas y bonos: el efecto del rendimiento en el precio

Un bono es una promesa de pago de cantidades fijas en fechas fijas. Su precio y su rendimiento son un mismo dato expresado de dos maneras: el rendimiento es la única tasa de descuento que hace que esos pagos prometidos sumen ese precio. Fija los pagos y ambas variables solo podrán moverse en direcciones opuestas.

Qué significa cada símbolo

P: precio por 100 de nominal
c: el cupón anual, pagado en dos mitades
y: el rendimiento por año
n: el número de pagos aún por llegar
D: duración modificada, el porcentaje que cae el precio cuando el rendimiento sube un punto porcentual

Supone: Que los pagos llegan. Un título del Tesoro de EE. UU. no incluye prima de impago en su rendimiento, lo que lo convierte en el instrumento perfecto para esta lección. Aquí los precios se calculan en fecha de cupón, por lo que no hay que sumar intereses devengados, y cada título se compra a la par, de modo que su cupón iguala el rendimiento en la fecha de compra.
Falla cuando: La duración es una línea recta trazada junto a una curva, por lo que exagera las pérdidas y subestima las ganancias, y el error crece con el tamaño del movimiento: 0,02 puntos porcentuales en la nota a 2 años este año, 0,25 en el bono a 30 años. Esa curvatura es la convexidad, y el gráfico dibuja ambas líneas para que puedas ver cómo se separan. La duración también asume que toda la curva se desplaza a la vez. Eso no ocurrió en 2026, cuando el tramo corto se movió más del doble que el largo.

El tramo largo fue el que menos subió en 2026 y el que más perdió 🖖

Durante los ocho meses hasta el 4 de septiembre, el rendimiento a 2 años subió 90 puntos básicos y el de 30 años subió 38. Compra cada uno a la par el 2 de enero y revalúalos en la curva de septiembre: el de 2 años vale 98,29 y el de 30 años 94,28. El bono largo perdió 3,35 veces más dinero a partir de 0,42 veces el movimiento del rendimiento. La duración es la única razón, y la herramienta la imprime: 1,92 años frente a 15,70. Desplaza el selector de títulos hacia abajo en la lista y observa cómo la pérdida crece mientras el movimiento del rendimiento se reduce.

Casi nada fue inflación 🖖

El Tesoro publica una segunda curva para los valores protegidos contra la inflación, y la diferencia entre ambas es la tasa de inflación que descuenta el mercado. De los 38 puntos básicos que sumó el bono a 30 años este año, 33 provinieron del rendimiento real, que pasó del 2,63% al 2,96% y tocó el 3,06% el 17 de agosto. 5 provinieron de la inflación esperada. El miedo a la inflación es la explicación habitual de un rendimiento alto a largo plazo, y aquí apenas influye.

La inflación a treinta años se valora por debajo de la inflación a diez años, y así ha sido todo el año 🖖

El 4 de septiembre, la inflación de equilibrio fue del 2,35 % a diez años y del 2,28 % a treinta. Eso está al revés para cualquiera que espere que la inflación se acumule durante décadas. No es la rareza de un solo día: se mantuvo así en 170 de las 171 sesiones del archivo. Selecciona la nota a 10 años, lee la tarjeta de equilibrio y luego selecciona el bono a 30 años.

Un precio de 94 no es una pérdida a menos que vendas 🖖

El bono a 30 años a 94,28 sigue pagando 100 al vencimiento, y todos los cupones intermedios. La pérdida es de quien vende. Por eso un banco puede mantener el mismo bono a 94 y otro a 100, dependiendo de si lo conserva hasta el vencimiento, y esta es la distinción que sentenció al Silicon Valley Bank en 2023. Lo que muestra la tarjeta de precio es lo que otra persona te pagaría hoy.

Cada vencimiento de la curva cuesta ahora más de lo que la deuda ya paga 🖖

El tipo de interés medio de toda la deuda federal que devenga intereses era del 3,447 % el 31 de julio. El punto más barato en la curva del 4 de septiembre es el vencimiento constante a un mes al 3,79 %, y el de treinta años está al 5,24 %. A medida que la deuda antigua vence y se vuelve a emitir, la media trepa hacia la curva. Esto ocurre independientemente de si un solo rendimiento vuelve a moverse alguna vez.

Problema resuelto al detalle

¿Qué pierde más: 90 puntos básicos en uno de dos años, o 38 en uno de treinta años? 7 pasos
Ambos se compraron a la par el 2 de enero de 2026. Durante los ocho meses hasta el 4 de septiembre, el rendimiento de la nota a 2 años subió 90 puntos básicos y el del bono a 30 años subió 38, menos de la mitad. Calcula cuál perdió más dinero y por cuánto antes de leer las tarjetas de precios.
1. La duración es una media ponderada de cuándo llega el dinero de un bono; cada pago se pondera por su cuota en el precio. Una nota a dos años abona casi todo en un plazo de dos años. Un bono a treinta años tiene cupones que aterrizan tres décadas más tarde, y sobre esos pagos lejanos es donde una tasa de descuento tiene mayor poder.
  
  $D = \frac{\sum _{t} t \frac{C _{t}}{( 1 + i ) ^{t}}}{\sum _{t} \frac{C _{t}}{( 1 + i ) ^{t}}}$
2. Para un bono comprado a la par existe una fórmula cerrada, por lo que no hace falta sumar sesenta términos a mano. Siendo i el rendimiento por semestre y n el número de semestres, la duración de Macaulay es ((1 + i) / i) × (1 − (1 + i)⁻ⁿ), medida en semestres.
  
  $at par : D = \frac{1 + i}{i} (1 - (1 + i)^{- n}) half-years$
3. La nota a dos años: i = 3,47 / 200 = 0,01735 y n = 4. Eso da 3,8988 semestres, es decir, 1,9494 años.
  
  $i = \frac{3 . 47}{200} = 0.01735, n = 4 : D = 3.8988 \to 1.9494 years$
4. El bono a treinta años: i = 4,86 / 200 = 0,02430 y n = 60. Eso da 32,1709 semestres, lo que equivale a 16,0854 años. Ocho veces la cifra de la nota a dos años, a partir de quince veces el vencimiento.
  
  $i = \frac{4 . 86}{200} = 0.02430, n = 60 : D = 32.1709 \to 16.0854 years$
5. La duración modificada divide cada cifra por (1 + i): 1,9162 y 15,7038. Ese es el número que pide la pregunta, porque un cambio de precio equivale aproximadamente a −D veces el cambio de rendimiento.
  
  $D_{mod} = \frac{D}{1 + i} : 1.9162 and 15.7038$
6. La nota a dos años: −1,9162 × 0,90 % = −1,725 %. El bono a treinta años: −15,7038 × 0,38 % = −5,967 %.
  
  $\frac{Δ P}{P} \approx - D_{mod} Δ y : - 1.9162 \times 0 . 90% = - 1 . 725%, - 15.7038 \times 0 . 38% = - 5 . 967%$
7. Ahora compara los precios exactos: −1,71 % y −5,72 %. La duración exageró ambos, en 0,02 puntos porcentuales para el título a dos años y 0,25 para el de treinta años.
  
  $2-year 30-year Δ y + 0 . 90% + 0 . 38% duration says - 1 . 725% - 5 . 967% actual - 1 . 71% - 5 . 72% error 0.02 0.25$
Respuesta

El bono a treinta años pierde un 5,72 % frente al 1,71 % del de dos años, una proporción de 3,35 a partir de 0,42 veces el movimiento del rendimiento. La duración por sí sola predecía 3,46, y la diferencia es la convexidad: la relación precio-rendimiento es una curva, la duración es la línea recta tangente en el punto de compra, y cuanto más largo es el bono, antes abandona esa línea la curva. Abre el panel de precio y rendimiento para ver ambas dibujadas juntas. El error se da hacia un solo lado: la curva se dobla hacia arriba en todas partes, por lo que la duración siempre exagera una pérdida y siempre subestima una ganancia.

$\frac{5 . 72}{1 . 71} = 3.35 from \frac{0 . 38}{0 . 90} = 0.42$

Referencias (2)

The two curves this tool is built from, and how they are constructed — which is why its figures are closes rather than intraday quotes: U.S. Department of the Treasury, "Interest Rate Statistics" — Daily Treasury Par Yield Curve Rates and Daily Treasury PAR Real Yield Curve Rates.
The long-end intervention the tool's opening section describes, in Treasury's own words: U.S. Department of the Treasury, "Treasury Announces Increased Sizes of Nominal Long-End Liquidity Support Buybacks Beginning September 9", press release, 19 August 2026.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.