Neeldumis- ja emissioonijooned

Määra allika temperatuur, gaasi temperatuur ja optiline paksus ning vaata, kuidas seesama spekstrijoon tumeneb, helendab või kaob.

Näidisarvutus — Neeldumis- ja emissioonijooned

Pidevspektri kiirguslikkus	2,24 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Gaasi enda kiirguslikkus	7,55 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Gaasi läbinud kiirgus	8,25 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Gaasi kiiratud kiirgus	4,77 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Vaadeldav joone kiirguslikkus	1,30 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Kiirguslikkuse erinevus	−1,49 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Kontrast	−9,40 × 10¹² W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹
Kontrast pidevspektri suhtes	−41,9%

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Neeldumis- ja emissioonijooned

Spektrijoon on selline lainepikkus, mille juures gaas neelab ja kiirgab kordades paremini kui naaberlainepikkustel. Aseta see gaas millegi ette ning korraga juhtub kaks asja. Gaas nõrgendab tagant tulevat valgust teguri e^−τ võrra ja lisab juurde omaenda kiirguse. Nähtavaks tulemuseks on summa I = I_sourcee^−τ + B(T_gas)(1 − e^−τ). Sama võrrand kehtib olenemata sellest, kas joon on tume või hele.

Mida iga sümbol tähendab

τ: optiline paksus: kui suur osa taustavalgusest läbib gaasi, väljendatuna kui e astmes miinus τ
B(T): heledus, mida temperatuuril T keha sellel lainepikkusel kiirgab

Eeldab: Mudel eeldab üht joont, ühtainsat gaasikihti ühel temperatuuril ja lokaalset termodünaamilist tasakaalu. Tasakaal tähendab, et gaas kiirgab kui keha omaenda temperatuuril. Tõelise täheatmosfääri temperatuur aga muutub sügavusega. Just see sügavusest sõltuv temperatuur annabki reaalsetele joontele nende kuju, selle asemel et tekitada vaid üksainus fikseeritud sügavus.

Tumeduse või heleduse määrab taust 🖖

Leht avaneb Päikesel: allikas temperatuuriga 5772 K, selle ees vesinikupilv 4500 K juures, optiline paksus 1 ja H-alfa joon lainepikkusel 656,28 nm. Protsendinäidikul on -41,9% ning joon on tume. Nihuta gaasi liugur temperatuurini 8000 K. Näit on +127,0% ning seesama joon on nüüd ümbritsevast pidevspektrist heledam. Vesiniku enda juures ei muutunud midagi. Fraunhofer kaardistas Päikese tumedad jooned aastal 1814, kuid ei osanud nende olemust selgitada. Kirchhoff suutis seda aastal 1859 ja allolevad read on tema vastus.

Päikese tumedad jooned ütlevad just nii palju ja ei enamat. Neid tekitava gaasi temperatuur on 4500 K lähedal. See on piisavalt kuum, et sulatada meie kõige kangekaelsemat metalli volframit. Gaas paistab tume üksnes seetõttu, et selle all paiknev fotosfäär on veelgi kuumem. Määra gaasi temperatuuriks uuesti 4500 K ja tõmba allika liugur hoopis 4000 K peale. Uus näit on +53,4%. Pilv, mida pidasid neelajaks, hoopis helendab, ilma et seda ennast oleks kuidagi muudetud.

Ühel kindlal temperatuuril joon kaob täielikult 🖖

Leidub üks konkreetne gaasi temperatuur, mille juures joon täielikult kaob. See on allika enda temperatuur. Nihuta gaasi liugurit ülespoole, kuni see jõuab allikaga samale tasemele 5772 K juures, või klõpsa kaduva joone näidet. Kontrasti real on 0 ja selle all asuval suhtelise kontrasti real 0,0%. See pole märkamatult väike jääk viieteistkümnendal kümnendkohal ega graafiku jaoks liiga pisike väärtus. See on puhas null.

See jääb nulliks, ükskõik mida edasi teed. Suurenda τ väärtuseni 5. Nüüd on pilv piisavalt paks, et asendada peaaegu kogu taustalt tulev valgus. Liigu seejärel läbi kogu lainepikkuste vahemiku 100 nm kuni 2000 nm. Joont ei ilmu.

Põhjuseks on Kirchhoffi soojuskiirguse seadus. Lokaalses termodünaamilises tasakaalus olev gaas kiirgab igal lainepikkusel täpselt võrdeliselt sellega, kui tugevalt ta samal lainepikkusel neelab, ning see on eeldus, millele käesolev mudel toetub. Mõlemat protsessi juhib üks ja sama temperatuur. Võrdsusta see allika temperatuuriga ja pilv asendab täpselt selle valgushulga, mille ta ära võtab. Gaas neelab tohutu hooga ja kiirgab sama intensiivselt. Sinuni jõudev spekter ei anna selle olemasolust vähimatki märki.

Optiline paksus määrab sügavuse, mitte suuna 🖖

Vii gaas tagasi 4500 K peale 5772 K allika ees ja mängi τ liuguriga. Alampiiril 0,01 on protsendinäit -0,7%. Ülempiiril 5 on see -65,9% ning joone keskkoht on kaotanud kaks kolmandikku pidevspektri heledusest. Iga vahepealne väärtus on negatiivne. Joon muutub kogu aeg sügavamaks ega ületa kordagi nulli.

Optiline paksus mõjutab kontrasti ainult teguri (1 − e^(−τ)) kaudu. See tähistab allika valguse osa, mille pilv kinni püüab ja enda omaga asendab. Nimetatud osa kasvab peaaegu olematust väärtusest 1 poole ega saa kunagi muutuda negatiivseks. Seega muudab see kontrasti ulatust, kuid ei suuda mõjutada märki. Märk sõltub täielikult temperatuuridest.

Liugurit nihutades jälgi pigem arve kui pilti. Spektripaneel kohandab oma skaalat parajasti joonistatava joone järgi, mistõttu kõige madalam sälk ja kõige sügavam lohk kuvatakse täpselt ühesuurusena.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kui sügav on joon ja kui külm peab olema gaas 7 sammu
Valgus lahkub fotosfäärist temperatuuril 5772 K ja läbib tähe enda atmosfäärikihi temperatuuril 4500 K. Kihi optiline paksus H-alfa joone kohal (õhus 656,28 nm) on üks. Arvuta, kui palju allpool pidevspektrit joone südamik asub. Seejärel lahenda sama füüsikaülesanne tagurpidi. Teine täht, millel on sama 5772 K pind ja sama optiline paksus, näitab H-alfa südamikku pidevspektrist 25,0% allpool. Kui kuum on see neelav gaas?

Ava see ülesanne tööriistas
1. Plancki seadus vajab esimese asjana eksponenti. Kindlal lainepikkusel on see üks konstant jagatud temperatuuriga. Lainepikkusel 656,28 nm on suuruse hc/λk väärtus 21923,2 K, seega on allika eksponent 21923,2 / 5772 = 3,7982. Pannes selle valemisse, on pidevspektri kiirguslikkus 2,24 × 10¹³ W·m⁻²·sr⁻¹·m⁻¹. Täpselt seda näitab ka pidevspektri kiirguslikkuse rida.
  
  $I_{0} = \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} ( e ^{h c / λk T_{0}} - 1 )} = \frac{1.19104 \times 1 0 ^{- 16}}{( 6.5628 \times 1 0 ^{- 7} ) ^{5} ( e ^{3.7982} - 1 )} = 2.24 \times 1 0^{13}$
2. Gaas allub omaenda temperatuuril samale seadusele. 21923,2 / 4500 = 4,87183. Suurem eksponent tähendab suuremat nimetajat ja väiksemat kiirguslikkust, mis on siin 7,55 × 10¹². Gaasi enda kiirguslikkuse rida on sellega nõus. Joone saatus on siinkohal otsustatud, juba enne optilise paksuse mängu tulekut. Külmem pind kiirgab igal lainepikkusel vähem, seega saab joone südamik olla vaid pidevspektrist tumedam.
  
  $B = \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} ( e ^{h c / λk T} - 1 )} = \frac{1.19104 \times 1 0 ^{- 16}}{( 6.5628 \times 1 0 ^{- 7} ) ^{5} ( e ^{4.87183} - 1 )} = 7.55 \times 1 0^{12}$
3. Optilise paksusega τ kiht teeb kaht asja korraga. See laseb läbi osa e^−τ taustavalgusest, mis väärtusel τ = 1 on 0,36788, ja asendab ülejäänu enda emissiooniga, olles 0,63212 suurusega B. Läbilastud 8,25 × 10¹² ja kiiratud 4,77 × 10¹² annavad vaadeldava joone kiirguslikkuse reale väärtuse 1,30 × 10¹³. Selles kahes arvus seisnebki kogu kiirguse levi läbi kihi.
  
  $I = I_{0} e^{- τ} + B (1 - e^{- τ}) = 8.25074 \times 1 0^{12} + 4.77324 \times 1 0^{12} = 1.30 \times 1 0^{13}$
4. Kontrast on see, mida vaatleja näeb, miinus see, mida ta oleks näinud ilma gaasita. Kirjuta see nagu kontrasti rida, kujul (B − I₀)(1 − e^−τ), sest siis toimub lahutamine enne skaleerimist. Kaks võrdset temperatuuri koonduvad nii puhtaks nulliks. −1,48767 × 10¹³ korda 0,63212 on −9,40 × 10¹².
  
  $Δ I = (B - I_{0}) (1 - e^{- τ}) = - 1.48767 \times 1 0^{13} \cdot 0.63212 = - 9.40 \times 1 0^{12}$
5. Jaga tulemus pidevspektriga ja sügavus on 41,9%. Selle all asuv rida, joon kaob temperatuuril, näitab 5772 K. See arv on täpne, mitte lihtsalt ligikaudne. Allika enda temperatuuril on B − I₀ arv, millest on lahutatud tema ise. Seega on kontrast null igal lainepikkusel ja igal optilisel paksusel. Õige temperatuuriga paks pilv on endiselt nähtamatu, mistõttu on paksus ja suund kaks täiesti eraldi küsimust.
  
  $\frac{Δ I}{I _{0}} = \frac{- 9.40386 \times 1 0 ^{12}}{2.24278 \times 1 0 ^{13}} = - 0.419, Δ I = 0 ⟺ T = T_{0} = 5772 K$
6. Nüüd jõuame mõõtmistulemuseni, mille teleskoobist tegelikult saad. See on ainult sügavus ning ei midagi muud. Tähistame suhtelise sügavuse tähega d, nii et d = −ΔI/I₀ = (1 − B/I₀)(1 − e^−τ). Avaldame nüüd sügavuse asemel gaasi kiirguslikkuse: B = I₀(1 − d/(1 − e^−τ)). Kui d = 0,250 ja τ = 1, on sulgudes olev avaldis 1 − 0,395495 = 0,604505 ning B = 1,3558 × 10¹³. Tööriist seda sammu sinu eest ei tee.
  
  $d = (1 - \frac{B}{I _{0}}) (1 - e^{- τ}) \Rightarrow B = I_{0} (1 - \frac{d}{1 - e ^{- τ}}) = 2.24278 \times 1 0^{13} \times 0.604505 = 1.3558 \times 1 0^{13}$
7. Veel üks teisendus ja temperatuur ongi käes. Pööra avaldis B = 2hc²/(λ⁵(eˣ − 1)) kujule eˣ = 1 + 2hc²/(λ⁵B), mille väärtuseks kujuneb 73,158. Sellest tulenevalt x = ln 73,158 = 4,2926. Eksponent oli kogu aja 21923,2/T, järelikult T = 21923,2 / 4,2926 = 5107 K. Nihuta gaasi temperatuuri liugur sellele väärtusele ja pidevspektri suhtes arvutatud kontrasti rida näitab −25,0%.
  
  $e^{x} = 1 + \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} B} = 73.158 \Rightarrow x = 4.2926, T = \frac{h c}{λk x} = \frac{21923.2}{4.2926} = 5107 K$
Vastus

4500 K juures olev kiht viib H-alfa südamiku 41,9% allapoole pidevspektrit, tasemele 1,30 × 10¹³ pidevspektri 2,24 × 10¹³ vastu. Teise tähe olukorda tagasi arvutades vajab 25,0% sügavusega südamik gaasi temperatuuril 5107 K. See on taustast vaid 665 K külmem. Pöördarvutus ütleb ka seda, millal selle usaldamine lõpetada. Lase gaasi temperatuuril langeda absoluutse nulli suunas ja B läheneb nullile koos sellega. Seega on kõige sügavam südamik, mida optiline paksus 1 tekitada suudab, 1 − e⁻¹ ehk 63,2% pidevspektrist. Mõõda joon, mille sügavus on 70%, ja sellega ei sobi ükski gaasi temperatuur. Pilv peab lihtsalt olema paksem.

$T = \frac{h c / λk}{ln ( 1 + \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5} I _{0} ( 1 - d / ( 1 - e ^{- τ} ) )} )} = 5107 K$

Allikad (1)

Who drew the Sun's dark lines, and who explained them: J. Fraunhofer, "Bestimmung des Brechungs- und des Farbenzerstreuungs-Vermögens verschiedener Glasarten." Denkschriften der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu München 5, 1814–15, pp. 193–226. G. Kirchhoff, "Über den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht und Wärme." Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1859, pp. 783–787.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.